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2015年高考模拟试卷(7) 第卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1复数 2 设全集1,2,3,4,5，2,4，则 3 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 4某单位有职工52人,现将所有职工按l,2,3,52随机编号,若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知6号,32号,45号职工在样本中,则样本中还有一个职工的编号是_.5执行如图所示的程序框图,若输出的值为11,则输入自然数的值是 6一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_7 已知各项均为正数的等比数列中，与的等比中项为，则的最小值为 .8 给出下列几个命题：若函数是定义域为的奇函数，对于任意的都有，则函数的图象关于直线对称；已知是函数定义域内的两个值，当时，则是减函数；设函数的最大值和最小值分别为和，则；若是定义域为的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数其中正确的命题序号是 （写出所有正确命题的序号）9设F1、F2是双曲线y21的两个焦点，P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时， 的值为 10已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为 11已知正实数满足，则的最大值为 12已知圆C：，点P在直线l：上，若圆C上存在两点A、B使得，则点P的横坐标的取值范围是 13在中，内角所对的边分别为，令若函数（是常数）只有一个零点则实数的取值范围是 14设两个向量和，其中若，则的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共90分15（本小题满分14分）在中，角的对边分别为，已知，且成等比数列(1)求的值；(2)若，求的值16（本小题满分14分）如图，直角梯形中，,平面平面,为等边三角形，分别是的中点，(1)证明;(2)证明平面;(3)若,求几何体的体积17（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，其焦点在圆上（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上的三点（异于椭圆的顶点），且存在锐角，使 求证:直线与的斜率的乘积为定值； 求的值18 (本小题满分16分) 某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，且中，经测量得到为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点作一条直线交于，从而得到五边形的市民健身广场（1）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；（2）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积ABCDEFMNG 19（本小题满分16分）已知函数（）（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，求证：（其中是的导函数）20（本小题满分16分）设数列的各项均为正数，若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列（1）若数列是“型”数列，且，求；（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明数列是等比数列第卷（附加题，共40分）21选做题本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 A（选修：几何证明选讲）如图，的直径的延长线与弦的延长线相交于点，为上一点，求证：B（选修：矩阵与变换）已知二阶矩阵有特征值，及对应的一个特征向量，并且对应的变换将点变换成，求矩阵 C（选修：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆C的圆心坐标为，半径为2 以极点为原点，极轴为的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）（1）求圆C的极坐标方程；（2）设与圆C的交点为， 与轴的交点为，求D（选修：不等式选讲）已知，为正实数，若，求证：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分22（本小题满分10分）如图，在四棱锥中，底面， ， ，点为棱的中点 （1）证明；（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值23（本小题满分10分）已知（1）若，求证是奇数；（2）求证对于任意，都存在正整数，使得2015年高考模拟试卷(7)参考答案第卷（必做题，共160分）一、填空题1 ； 2 1,3,5； 3 ； 4 19； 5 4； 6 32【解析】设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2r2r4r2，设球的半径是R，则球的表面积是4R2，根据已知4R24r2，所以Rr所以圆柱的体积是r22r2r3，球的体积是r3，所以圆柱的体积和球的体积的比是32； 78； 8；93；10 ； 11【解析】令，则，令得，进而可求得，所以； 12；13或【解析】，得函数只有一个零点，即方程在上只有一解，即函数与的图像只有一个交点，所以或，从而或；14 【解析】由，得由，得，又， 则，解得，而，故.二、解答题15 (1)根据题意得，由正弦定理得，(2)， 由余弦定理得 16(1) 为等边三角形，是的中点，又因为平面平面，交线为,平面根据面面垂直的性质定理得 平面； 又平面 .(2)取中点G，连接 ,且 ,且 ,四边形是平行四边形 ,又平面，平面平面.(3)依题，直角梯形中，,则直角梯形的面积为 ,由（1）可知平面，是四棱锥的高,在等边中，由边长,得,故几何体的体积为 .17（1）根据题意得，于是,所以椭圆方程为 （2）设则，又设，由得， 又在椭圆上，整理得,，为定值 ,又, ,.18（1）作GHEF，垂足为H，因为，所以，因为所以，所以 过作交于T，则，所以 由于与重合时，适合条件，故, （2）， 所以当且仅当，即时，取得最大值2000， 答：当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为 19（1）当时，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即 （2），则，故时，当时，；当时，故在处取得极大值 又，则，所以，在上的最小值是 在上有两个零点的条件是，解得所以实数的取值范围是 . （3）因为的图象与轴交于两个不同的点所以方程的两个根为，则，两式相减得，又，则下证（*），即证明即证明在上恒成立 因为又，所以所以，在上是增函数，则，从而知故，即成立20 （1）由题意得，成等比数列，且公比, （2）由是“型”数列得成等比数列，设公比为 由是“型”数列得成等比数列，设公比为；成等比数列，设公比为；成等比数列，设公比为； 则，不妨令，则 ,综上，从而是等比数列 第卷（附加题，共40分）21 A ，为直径又.B设，由=3，得 由=，得， 可以解得， 故 C （1）法一：在直角坐标系中，圆心的坐标为，所以圆C的方程为即， 化为极坐标方程得，即.法二：令圆上任一点，在中（其中为极点）， 由余弦定理得从而圆的极坐标方程为.（2）法一：把代入得，所以点A、B对应的参数分别为,令得点P对应的参数为.所以.法二：把化为普通方程得， 令得点坐标为，又因为直线l恰好经过圆的圆心，故.D.， . 22 依题意，以点为原点建立空间直角坐标系，可得，由为棱的中点，得（1）向量，故 所以，.（2）向量，来源:Z,xx,kCom由点在棱上，设，故由，得，因此，解得 即设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量 取平面的法向量，则易知，二面角是锐角，所以其余弦值为 23 （1）由二项式定理得，所以，为奇数 （2）由（1），设所以 当为偶数时，存在，使得；当为奇数时，存在，使得；综上，对于任意，都存在正整数，使得
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