2016中考数学二次函数压轴题(含答案)

1 中考数学冲刺复习资料 二次函数压轴题 面积类 1 如图 已知抛物线经过点 A 1 0 B 3 0 C 0 3 三点 1 求抛物线的解析式 2 点 M 是线段 BC 上的点 不与 B C 重合 过 M 作 MN y 轴交抛物线于 N 若点 M 的横坐标为 m 请用 m 的代数式表示 MN 的长 3 在 2 的条件下 连接 NB NC 是否存在 m 使 BNC 的面积最大 若存在 求 m 的值 若不存在 说明理由 解答 解 1 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 3 则 a 0 1 0 3 3 a 1 抛物线的解析式 y x 1 x 3 x 2 2x 3 2 设直线 BC 的解析式为 y kx b 则有 解得 故直线 BC 的解析式 y x 3 已知点 M 的横坐标为 m MN y 则 M m m 3 N m m 2 2m 3 故 MN m 2 2m 3 m 3 m 2 3m 0 m 3 3 如图 S BNC S MNC S MNB MN OD DB MN OB S BNC m 2 3m 3 m 2 0 m 3 当 m 时 BNC 的面积最大 最大值为 2 2 如图 抛物线 的图象与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 已知 B 点坐标为 4 0 1 求抛物线的解析式 2 试探究 ABC 的外接圆的圆心位置 并求出圆心坐标 3 若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点 求 MBC 的面积的最大值 并求出此时 M 点的坐标 解答 解 1 将 B 4 0 代入抛物线的解析式中 得 0 16a 4 2 即 a 抛物线的解析式为 y x 2 x 2 2 由 1 的函数解析式可求得 A 1 0 C 0 2 OA 1 OC 2 OB 4 即 OC 2 OA OB 又 OC AB OAC OCB 得 OCA OBC ACB OCA OCB OBC OCB 90 ABC 为直角三角形 AB 为 ABC 外接圆的直径 所以该外接圆的圆心为 AB 的中点 且坐标为 0 3 已求得 B 4 0 C 0 2 可得直线 BC 的解析式为 y x 2 设直线 l BC 则该直线的解析式可表示为 y x b 当直线 l 与抛物线只有一个交点时 可列方程 x b x2 x 2 即 x2 2x 2 b 0 且 0 4 4 2 b 0 即 b 4 直线 l y x 4 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点 有 3 解得 即 M 2 3 过 M 点作 MN x 轴于 N S BMC S 梯形 OCMN S MNB S OCB 2 2 3 2 3 2 4 4 平行四边形类 3 如图 在平面直角坐标系中 抛物线 y x2 mx n 经过点 A 3 0 B 0 3 点 P 是直线 AB 上的动点 过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M 设点 P 的横坐标为 t 1 分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式 2 若点 P 在第四象限 连接 AM BM 当线段 PM 最长时 求 ABM 的面积 3 是否存在这样的点 P 使得以点 P M B O 为顶点的四边形为平行四边形 若存 在 请直接写出点 P 的横坐标 若不存在 请说明理由 1 分别利用待定系数法求两函数的解析式 把 A 3 0 B 0 3 分别代入 y x2 mx n 与 y kx b 得到关于 m n 的两个方程组 解方程组即可 2 设点 P 的坐标是 t t 3 则 M t t 2 2t 3 用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标 得到 PM 的长 即 PM t 3 t 2 2t 3 t 2 3t 然后根据二次函数的最值得到 4 当 t 时 PM 最长为 再利用三角形的面积公式利用 S ABM S BPM S APM 计算即可 3 由 PM OB 根据平行四边形的判定得到当 PM OB 时 点 P M B O 为顶点的 四边形为平行四边形 然后讨论 当 P 在第四象限 PM OB 3 PM 最长时只有 所以不 可能 当 P 在第一象限 PM OB 3 t 2 2t 3 t 3 3 当 P 在第三象限 PM OB 3 t 2 3t 3 分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值 解答 解 1 把 A 3 0 B 0 3 代入 y x2 mx n 得 解得 所以抛物线的解析式是 y x2 2x 3 设直线 AB 的解析式是 y kx b 把 A 3 0 B 0 3 代入 y kx b 得 解得 所以直线 AB 的解析式是 y x 3 2 设点 P 的坐标是 t t 3 则 M t t 2 2t 3 因为 p 在第四象限 所以 PM t 3 t 2 2t 3 t 2 3t 当 t 时 二次函数的最大值 即 PM 最长值为 则 S ABM S BPM S APM 3 存在 理由如下 PM OB 当 PM OB 时 点 P M B O 为顶点的四边形为平行四边形 当 P 在第四象限 PM OB 3 PM 最长时只有 所以不可能有 PM 3 当 P 在第一象限 PM OB 3 t 2 2t 3 t 3 3 解得 t1 t 2 舍去 所以 P 点的横坐标是 当 P 在第三象限 PM OB 3 t 2 3t 3 解得 t1 舍去 t 2 所以 P 点的横坐标是 所以 P 点的横坐标是 或 5 4 如图 在平面直角坐标系中放置一直角三角板 其顶点为 A 0 1 B 2 0 O 0 0 将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90 得到 A B O 1 一抛物线经过点 A B B 求该抛物线的解析式 2 设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点 是否存在点 P 使四边形 PB A B 的面积 是 A B O 面积 4 倍 若存在 请求出 P 的坐标 若不存在 请说明理由 3 在 2 的条件下 试指出四边形 PB A B 是哪种形状的四边形 并写出四边形 PB A B 的两条性质 解 1 A B O 是由 ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90 得到的 又 A 0 1 B 2 0 O 0 0 A 1 0 B 0 2 方法一 设抛物线的解析式为 y ax 2 bx c a 0 抛物线经过点 A B B 解得 满足条件的抛物线的解析式为 y x 2 x 2 方法二 A 1 0 B 0 2 B 2 0 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 2 将 B 0 2 代入得出 2 a 0 1 0 2 解得 a 1 故满足条件的抛物线的解析式为 y x 1 x 2 x 2 x 2 2 P 为第一象限内抛物线上的一动点 设 P x y 则 x 0 y 0 P 点坐标满足 y x 2 x 2 6 连接 PB PO PB S 四边形 PB A B S B OA S PB O S POB 1 2 2 x 2 y x x2 x 2 1 x 2 2x 3 A O 1 B O 2 A B O 面积为 1 2 1 假设四边形 PB A B 的面积是 A B O 面积的 4 倍 则 4 x 2 2x 3 即 x2 2x 1 0 解得 x 1 x2 1 此时 y 1 2 1 2 2 即 P 1 2 存在点 P 1 2 使四边形 PB A B 的面积是 A B O 面积的 4 倍 3 四边形 PB A B 为等腰梯形 答案不唯一 下面性质中的任意 2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相等 等腰梯形对角线相等 等腰梯形上底与下底平行 等腰梯形两腰相等 10 分 或用符号表示 B A B PBA 或 A B P BPB PA B B B P A B B A PB 5 如图 抛物线 y x2 2x c 的顶点 A 在直线 l y x 5 上 1 求抛物线顶点 A 的坐标 2 设抛物线与 y 轴交于点 B 与 x 轴交于点 C D C 点在 D 点的左侧 试判断 ABD 的形状 3 在直线 l 上是否存在一点 P 使以点 P A B D 为顶点的四边形是平行四边形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 7 解 1 顶点 A 的横坐标为 x 1 且顶点 A 在 y x 5 上 当 x 1 时 y 1 5 4 A 1 4 2 ABD 是直角三角形 将 A 1 4 代入 y x2 2x c 可得 1 2 c 4 c 3 y x 2 2x 3 B 0 3 当 y 0 时 x 2 2x 3 0 x 1 1 x 2 3 C 1 0 D 3 0 BD2 OB2 OD2 18 AB 2 4 3 2 12 2 AD2 3 1 2 42 20 BD 2 AB2 AD2 ABD 90 即 ABD 是直角三角形 3 存在 由题意知 直线 y x 5 交 y 轴于点 E 0 5 交 x 轴于点 F 5 0 OE OF 5 又 OB OD 3 OEF 与 OBD 都是等腰直角三角形 BD l 即 PA BD 则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD 如图 过点 P 作 y 轴的垂线 过点 A 作 x 轴的垂线交过 P 且平行于 x 轴的直线于点 G 设 P x 1 x 1 5 则 G 1 x 1 5 则 PG 1 x 1 AG 5 x 1 4 1 x 1 PA BD 3 由勾股定理得 1 x 1 2 1 x 1 2 18 x 12 2x 1 8 0 x 1 2 或 4 P 2 7 或 P 4 1 存在点 P 2 7 或 P 4 1 使以点 A B D P 为顶点的四边形是平行四边 形 8 周长类 6 如图 Rt ABO 的两直角边 OA OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上 O 为坐 标原点 A B 两点的坐标分别为 3 0 0 4 抛物线 y x2 bx c 经过点 B 且顶 点在直线 x 上 1 求抛物线对应的函数关系式 2 若把 ABO 沿 x 轴向右平移得到 DCE 点 A B O 的对应点分别是 D C E 当四边形 ABCD 是菱形时 试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上 并说明理由 3 在 2 的条件下 连接 BD 已知对称轴上存在一点 P 使得 PBD 的周长最小 求 出 P 点的坐标 4 在 2 3 的条件下 若点 M 是线段 OB 上的一个动点 点 M 与点 O B 不重合 过点 M 作 BD 交 x 轴于点 N 连接 PM PN 设 OM 的长为 t PMN 的面积为 S 求 S 和 t 的函数关系式 并写出自变量 t 的取值范围 S 是否存在最大值 若存在 求出最 大值和此时 M 点的坐标 若不存在 说明理由 9 解 1 抛物线 y 经过点 B 0 4 c 4 顶点在直线 x 上 b 所求函数关系式为 2 在 Rt ABO 中 OA 3 OB 4 AB 四边形 ABCD 是菱形 BC CD DA AB 5 C D 两点的坐标分别是 5 4 2 0 当 x 5 时 y 当 x 2 时 y 点 C 和点 D 都在所求抛物线上 3 设 CD 与对称轴交于点 P 则 P 为所求的点 设直线 CD 对应的函数关系式为 y kx b 则 解得 当 x 时 y P 4 MN BD OMN OBD 即 得 ON 设对称轴交 x 于点 F 则 PF OM OF t S PNF NF PF t S 0 t 4 a 0 抛物线开口向下 S 存在最大值 由 S PMN t 2 t t 2 当 t 时 S 取最大值是 此时 点 M 的坐标为 0 10 等腰三角形类 7 如图 点 A 在 x 轴上 OA 4 将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120 至 OB 的位置 1 求点 B 的坐标 2 求经过点 A O B 的抛物线的解析式 3 在此抛物线的对称轴上 是否存在点 P 使得以点 P O B 为顶点的三角形是等腰 三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 解 1 如图 过 B 点作 BC x 轴 垂足为 C 则 BCO 90 AOB 120 BOC 60 又 OA OB 4 OC OB 4 2 BC OB sin60 4 2 点 B 的坐标为 2 2 2 抛物线过原点 O 和点 A B 可设抛物线解析式为 y ax2 bx 将 A 4 0 B 2 2 代入 得 解得 此抛物线的解析式为 y x2 x 3 存在 如图 抛物线的对称轴是直线 x 2 直线 x 2 与 x 轴的交点为 D 设点 P 的坐标为 2 y 若 OB OP 则 22 y 2 42 解得 y 2 当 y 2 时 在 Rt POD 中 PDO 90 sin POD POD 60 11 POB POD AOB 60 120 180 即 P O B 三点在同一直线上 y 2 不符合题意 舍去 点 P 的坐标为 2 2 若 OB PB 则 42 y 2 2 42 解得 y 2 故点 P 的坐标为 2 2 若 OP BP 则 22 y 2 42 y 2 2 解得 y 2 故点 P 的坐标为 2 2 综上所述 符合条件的点 P 只有一个 其坐标为 2 2 8 在平面直角坐标系中 现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限 斜靠在两坐标轴 上 且点 A 0 2 点 C 1 0 如图所示 抛物线 y ax2 ax 2 经过点 B 1 求点 B 的坐标 2 求抛物线的解析式 3 在抛物线上是否还存在点 P 点 B 除外 使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直 角三角形 若存在 求所有点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 解 1 过点 B 作 BD x 轴 垂足为 D BCD ACO 90 ACO CAO 90 BCD CAO 1 分 又 BDC COA 90 CB AC BCD CAO 2 分 BD OC 1 CD OA 2 3 分 12 点 B 的坐标为 3 1 4 分 2 抛物线 y ax2 ax 2 经过点 B 3 1 则得到 1 9a 3a 2 5 分 解得 a 所以抛物线的解析式为 y x2 x 2 7 分 3 假设存在点 P 使得 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形 若以点 C 为直角顶点 则延长 BC 至点 P1 使得 P1C BC 得到等腰直角三角形 ACP 1 8 分 过点 P1 作 P1M x 轴 CP 1 BC MCP 1 BCD P 1MC BDC 90 MP 1C DBC 10 分 CM CD 2 P 1M BD 1 可求得点 P1 1 1 11 分 若以点 A 为直角顶点 则过点 A 作 AP2 CA 且使得 AP2 AC 得到等腰直角三角形 ACP 2 12 分 过点 P2 作 P2N y 轴 同理可证 AP 2N CAO 13 分 NP 2 OA 2 AN OC 1 可求得点 P2 2 1 14 分 经检验 点 P1 1 1 与点 P2 2 1 都在抛物线 y x2 x 2 上 16 分 9 在平面直角坐标系中 现将一块等腰直角三角板放在第一象限 斜靠在两坐标轴上 且 点 A 0 2 点 C 1 0 如图所示 抛物线 y ax2 ax 2 经过点 B 1 求点 B 的坐标 2 求抛物线的解析式 3 在抛物线上是否还存在点 P 点 B 除外 使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直 角三角形 若存在 求所有点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 13 解 1 过点 B 作 BD x 轴 垂足为 D BCD ACO 90 AC 0 OAC 90 BCD CAO 又 BDC COA 90 CB AC BDC COA BD OC 1 CD OA 2 点 B 的坐标为 3 1 2 抛物线 y ax2 ax 2 过点 B 3 1 1 9a 3a 2 解得 a 抛物线的解析式为 y x2 x 2 3 假设存在点 P 使得 ACP 是等腰直角三角形 若以 AC 为直角边 点 C 为直角顶点 则延长 BC 至点 P1 使得 P1C BC 得到等腰直角三角形 ACP1 过点 P1 作 P1M x 轴 如图 1 CP 1 BC MCP 1 BCD P 1MC BDC 90 MP 1C DBC CM CD 2 P 1M BD 1 P 1 1 1 经检验点 P1 在抛物线 y x2 x 2 上 若以 AC 为直角边 点 A 为直角顶点 则过点 A 作 AP2 CA 且使得 AP2 AC 得到等腰直角三角形 ACP2 过点 P2 作 P2N y 轴 如图 2 同理可证 AP 2N CAO NP 2 OA 2 AN OC 1 P 2 2 1 经检验 P2 2 1 也在抛物线 y x2 x 2 上 若以 AC 为直角边 点 A 为直角顶点 则过点 A 作 AP3 CA 且使得 AP3 AC 得到等腰直角三角形 ACP3 过点 P3 作 P3H y 轴 如图 3 同理可证 AP 3H CAO HP 3 OA 2 AH OC 1 P 3 2 3 经检验 P3 2 3 不在抛物线 y x2 x 2 上 14 故符合条件的点有 P1 1 1 P 2 2 1 两点