导数综合应用(含答案)

11 导数的综合应用 含答案 高二 1 15 北京理科 已知函数 1lnxf 求曲线 在点 处的切线方程 yx0f 求证 当 时 1 32xf 设实数 使得 对 恒成立 求 的最大值 k 3fxk 01 k 答案 证明见解析 的最大值为 2 20y 试题解析 曲线21 ln 1 0 01xfxfxff 在点 处的切线方程为 yf 0f y 当 时 即不等式 对1x 32xf 3 2 0 xf 成立 设 0 则 3 31ln2 ln 1 l 2 x xFx x 当 时 故 在 0 1 上为增函数 42 0 x F 则 因此对 0Fx 0 1 x 成立 32 f 使 成立 等价于 3xfk 01x 31 ln Fxx 422 2 1kxk 当 时 函数在 0 1 上位增函数 0 k Fx 0Fx 符合题意 当 时 令 2 402 0 1 k x0 xx0 x F 0 xA 极小值 A 显然不成立 0 综上所述可知 的最大值为 2 k 考点 1 导数的几何意义 2 利用导数研究函数的单调性 证明不等式 3 含参问题 讨论 2 15 年安徽理科 设函数 2 fxab 1 讨论函数 内的单调性并判断有无极值 有极值时求出极值 sinf 在 2 记 上的最大值 D 200 0 sin si fxabfxf 求 函 数 在 2 3 在 2 中 取 2 D14az 求 满 足 时 的 最 大 值 答案 极小值为 24b 00 b 1 试题解析 2 sin isinsi n fxaxbxab 2x sin 2cofxa 考点 1 函数的单调性 极值与最值 2 绝对值不等式的应用 3 15 年福建理科 已知函数 f ln1 x k gxR 证明 当 0 x 确定 k 的所以可能取值 使得存在 t 对任意的 t恒 有 2 f xg 答案 详见解析 详见解析 1k 解析 试题分析 构造函数 fln 1 0 Fxx 只需求值域的右端点 并和 0 比较即可 构造函数 Gl gkx 即 Gx 求导得 1 xk 1k 利用导数研究函数 x的形状和最值 证明当 1k 使 得 0 x即可 由 知 当 1k 时 对于 0 x f g 故fg 则不等式 2 f xg 变形为 2ln 构造函数2M kln 1 0 x 只需说明 Mx 易发现函数 Mx在28 k104 递增 而 0 故不存在 当 1k 使得对任意的任意的 0 x 恒有 f xg 此时不等式变形为2ln 1 k 构造 2Nl xx 易发现函数 Nx在2k 8 104 递增 而 0 不满足题意 当 1k时 代入 证明即可 试题解析 解法一 1 令 fln 1 Fxx 则有1 Fx 当 0 0 x时 F 即当 时 xf 故对任意正实数 0 x均满足题意 当 01k 取 x 对任意 恒有 x 所以 G x在 0 上单调递增 即fxg 综上 当 1k 使得对任意的 0 x 恒有 f xg 3 当 时 由 1 知 对于 g 故 f kln1xgxfx 令 2Mkln 0 则有 1 k1 xx 故当 2 8 04k 时 M 0 x M x 在 2 k1 上单调递增 故 0 即 2 f gx 所以满足题意的 t 不存在 当 1k 此时 f f ln 1 kxxgx 令 2Nlnk 则有 1 1xkx 故当 2 k 8 04 时 N 0 x M x 在 2 1k 上单调递增 故 0N 即 2f g 记 0 x与 2 8 1k4 中较小的为 1x 则当 21 0 f xxg 时 恒 有 故满足题意的 t 不存在 当 k 由 1 知 0 当 f ln 1 xgfxx 令 2H ln xx 则有 2H1 当 0 时 0 所以 在 0 上单调递减 故 0 xH时 由 1 知 对于 0 x f gx 故 f kln1k1xgxf 令 2k 0时 xk 对 于 恒有 2 f xg 所以满足题意的 t 不存在 当 k 令 21k 2xx 记 0与 中较小的为 1 则当 210 f xg 时 恒 有 故满足题意的 t 不存在 当 1k 由 1 知 x 当 f ln 1 xgfx 令 2M ln 0 x 则有 2M1 当 0 时 所以 x在 上单调递减 故 0 x 故当 x时 恒有 2 f g 此时 任意实数 t 满足题意 综上 1k 考点 导数的综合应用 4 15 年新课标 2 理科 设函数 2 mxfe 1 证明 在 单调递减 在 单调递增 fx 0 0 2 若对于任意 都有 求 m 的取值范围 12 12 1fxfe 考点 导数的应用