极限求法总结

极限的求法 1 极限的求法 1 利用极限的定义求极限 2 直接代入法求极限 3 利用函数的连续性求极限 4 利用单调有界原理求极限 5 利用极限的四则运算性质求极限 6 利用无穷小的性质求极限 7 无穷小量分出法求极限 8 消去零因子法求极限 9 利用拆项法技巧求极限 10 换元法求极限 11 利用夹逼准则求极限 3 12 利用中值定理求极限 13 利用罗必塔法则求极限 14 利用定积分求和式的极限 15 利用泰勒展开式求极限 16 分段函数的极限 1 利用极限的定义求极限 用定义法证明极限 必须有一先决条件 即事先得知道极限的猜测值A 这 种情况一般较困难推测出 只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限 值 然后再去用定义法去证明 在这个过程中 放缩法和含绝对值的不等式总 是密切相连的 例 的 定义是指 0 0 0 x 0limxfA x f x A 为了求 可先对 的邻域半径适当限制 如然后适 x 当放大 f x A x 必然保证 x 为无穷小 此时往往要用含绝对值 的不等式 x a x a x a a 10 x0 x0 x 域 x a x a a x a 10 从 x 2 求出 2后 取 min 1 2 当0 x 时 就有 f x A 0 x 极限的求法 2 例 设 limnxa 则 有 12 linnxa 证 明 因 为 对 10 N 当 1nN 时 2nxa 于 是 当1nN 时 22 nxxxaa 0 其中 112NAxax 是 一 个 定 数 再 由 2An 解 得 2An 故 取 1m N 2 xnn 当 时 2 直接代入法求极限 适用于分子 分母的极限不同时为零或不同时为 例 1 求 分析 由于 所以采用直接代入法 解 原式 3 利用函数的连续性求极限 定理 一切连续函数在其定义区间内的点处都连续 即如果 是函数 的 2 0 x xf 定义区间内的一点 则有 lim00 xffx 一切初等函数在其定义域内都是连续的 如果 是初等函数 是其定 fx0 x 义域内一点 则求极限 时 可把 代入 中计算出函数值 即0li xf0 x 0lim xf 0 极限的求法 3 对于连续函数的复合函数有这样的定理 若 在 连续且 ux 00 ux 在 处连续 则复合函数 在 处也连续 从而 yfu 0 yfx 0 或 limoxofx limlixoxof 例 2lnsix 解 复合函数 在处是连续的 即有 2lins liln102x 4 利用单调有界原理求极限 这种方法是利用定理 单调有界数列必有极限 先判断极限存在 进而求极限 例 求 lim na 解 令 则 即 xa 1nnxa a 1nx 所以数列 单调递增 由单调有界定理知 有限 并设为 n lim n A 即 所以1limlinnxax 4 2aAa 14 2n 5 利用极限的四则运算性质求极限 定理 若极限 和 都存在 则函数 当 1 0lim xf 0li xg xf g xgf 时也存在且0 x 0 00li lilixxfgf 0 00 x g 又若 c 0 则 在 时也存在 且有 xgf 00lim lixxffg 利用该种方法求极限方法简单 但要注意条件是每项或每个因子极限存在 一般情况所给的变量都不满足这个条件 例如出现 等情况 都不能直接运用四则运算法则 必须对变量进行变形 变形时经常用到因式分 解 有理化的运算以及三角函数的有关公式 极限的求法 4 总的说来 就是函数的和 差 积 商的极限等于函数极限的和 差 积 商 例 求 31limxx 解 由于当 时 与 的极限都不存在 故不能利用 极限的和等31x 于和的极限 这一法则 先可进行化简 这样得到的新函数当 233 221 11xxx 时 分子分母都有极限且分母的极限不为零 可用商的极限法则 即 3 211 limli xx 例 2 求 li2 x 解 1li2 x lim2 x31 6 利用无穷小的性质求极限 我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量 有界变量乘无穷小是 无穷小 对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得 只能用这种方法来求 例 求 214 7lim3x 解 当时 分母的极限为零 而分子的极限不为零 可先求处所给函数倒 数的极限 故 21li 04 7x 214 7lim 3x 例 5 求极限 分析 因为 不存在 不能直接使用运算法则 故必须先将函数进 行恒等变形 解 原式 恒等变形 极限的求法 5 因为 当 时 即 是当 时的无穷小 而 1 即 是有界函数 由无穷小的性质 有界函数乘无穷小仍是无 穷小 得 0 7 无穷小量分出法求极限 适用于分子 分母同时趋于 即 型未定式 例 3 分析 所给函数中 分子 分母当 时的极限都不存在 所以不能直 接应用法则 注意到当 时 分子 分母同时趋于 首先将函数进行初 等变形 即分子 分母同除 的最高次幂 可将无穷小量分出来 然后再根据 运算法则即可求出极限 为什么所给函数中 当 时 分子 分母同时趋于 呢 以当 说明 因为 但是 趋于 的 速度要比 趋于 的速度快 所以 不要认为 仍是 因为 有正负之分 解 原式 分子 分母同除 运算法则 当 时 都趋于 无穷大的倒数是无穷小 极限的求法 6 8 消去零因子法求极限 适用于分子 分母的极限同时为 0 即 型未定式 例 4 分析 所给两个函数中 分子 分母的极限均是 0 不能直接使用法则四 故 采用消去零因子法 解 原式 因式分解 约分消去零因子 应用法则 9 利用拆项法技巧求极限 例6 12 5 31 lim nn 分析 由于 2 n 原式 2 1 21 513 limlim nn 10 换元法求极限 当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时 可采用换元的方法加以变 形 使之简化易求 例 求 1limnx 解 令 则xt ln 1 xt 极限的求法 7 1001limlilimn n xt t 例 7 求极限 分析 当 时 分子 分母都趋于 不能直接应用法则 注意到 故可作变量替换 解 原式 令 引进新的变量 将原来的关于 的 极限转化为 的极限 型 最高次幂在分母上 11 利用夹逼准则求极限 3 已知 为三个数列 且满足 nnzyx 1 21 2 an liman li 则极限 一定存在 且极限值也是 即 利用夹逼准则求极x axn lim 限关键在于从 的表达式中 通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的 数列使得 nnyz 例 求 的极限22211 xn nx 解 因为 单调递减 所以存在最大项和最小项n 222211 n nxn 2222 11n n 极限的求法 8 则 221nx 又因为 则 22limlinn lim1nx 12 利用中值定理求极限 1 微分中值定理 若函数 满足 在 连续 在 a b 可导 1 fx ab 则在 a b 内至少存在一点 使得 ff 例 求 30sin silmxx 解 i i i cos in x 01 30snslxx 30 i co sin x x 30s1coslimx 0n6x 1 2 积分中值定理 设函数 在闭区间 上连续 在 上不 fx ab gx ab 变号且可积 则在 上至少有一点 使得 ab baafxgfgxd 例 求 40sinlmn 解 40inxd 极限的求法 9 sin 0 4lmx 4 i 4nn 0 13 利用罗必塔法则求极限 定理 假设当自变量 x 趋近于某一定值 或无穷大 时 函数 和 满 4 xfg 足 1 和 的极限都是 0 或都是无穷大 fg 2 和 都可导 且 的导数不为 0 x xg 3 存在 或是无穷大 limf 则极限 也一定存在 且等于 即 lixgf limxgf lixgf limxf 洛必达法则只能对 型才可直接使用 其他待定型必须先化成这两种0 或 类型之一 然后再应用洛必达法则 洛必达法则只说明当 等于 A 时 li fxg 那么 也存在且等于 A 如果 不存在时 并不能断定 lim fxg lim fx 也不存在 只是这是不能用洛必达法则 而须用其他方法讨论li fx li fg 例 求 0lnsimx 解 由 知0lilinsx 所以上述极限是 待定型00 0lnsicosisinli lm1nxx xx 14 利用定积分求和式的极限 极限的求法 10 利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数 把所求极限的 fx 和式表示成 在某区间 上的待定分法 一般是等分 的积分和式的极限 fx ab 5 例 求 22221 1 limnnn 解 由于 2222 222111 nnn 可取函数 区间为 上述和式恰好是 2fx 0 21 fx 在 上 等分的积分和 0 1n 所以 2222 1 1 limnnn 222 n nn 120dx 4 15 利用泰勒展开式求极限 泰勒展开式 若 在 x 0 点有直到 n 1 阶连续导数 那么 6 fx 2 0 0 0 nnffxf xR 其中 其中 1 1 nnnfRx 例 240coslimxe 解 泰勒展开式 24s1 xx 极限的求法 11 22241 x xe 于是 24cos x 所以 2440011limli 2xx xe 16 分段函数的极限 例 8 设 讨论 在点 处的极限是否存在 分析 所给函数是分段函数 是分段点 要知 是否存在 必 须从极限存在的充要条件入手 解 因为 所以 不存在 注 1 因为 从 的左边趋于 则 故 注 2 因为 从 的右边趋于 则 故 极限的求法 12 极限的求法 13 极限的求法 14 极限的求法 15 极限的求法 16 极限的求法 17 极限的求法 18 极限的求法 19 极限的求法 20