格林公式与曲面积分的总结

word曲面积分与格林公式总结1曲面积分的概念1对面积的曲面积分1定义：设函数在光滑曲面上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对面积的曲面积分，即2性质： 与曲面侧的选择无关，即对曲面具有可加性，即假如，如此2对坐标的曲面积分1定义：设函数在光滑的有向曲面上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对坐标的曲面积分，即2性质： 与曲面的侧有关， 即对曲面具有可加性，即假如，如此2曲面积分的计算方法1对面积的曲面积分化为投影域上的二重积分计算方法与步骤：1画出曲面草图，写出曲面方程；2做三代换： ； 曲面在面上的投影域将对面积的曲面积分化为二重积分；3在投影域上计算二重积分2对坐标的曲面积分 计算方法与步骤 1利用高斯公式 假如为封闭曲面，如此条件一：在空间区域内偏导连续； 条件二：曲面为闭曲面的外侧假如为非封闭曲面，且比拟复杂,在由 (为闭合)所围成的空间闭区域中有一阶连续偏导数，如此2通过投影到坐标面上化为二重积分其中号确实定：假如曲面的法向量与轴夹角为锐角时，第一个积分前取正号，否如此取负号；假如曲面的法向量与轴夹角为锐角时，第二个积分前取正号，否如此取负号；假如曲面的法向量与轴夹角为锐角时，第三个积分前取正号，否如此取负号3利用两类曲面积分之间的联系改变投影面其中，为曲面上点处法向量的方向余弦3两类曲面积分的联系其中为曲面上点处法向量的方向余弦3曲面积分应用1几何应用： 空间曲面的面积2物理应用： 面密度为的物质曲面，质量： ；重心坐标： ，；转动惯量： ，流体流量：设流体的密度，速度，单位时间内流过曲面指定侧的流量 4高斯公式设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，如此有这里是的整个边界曲面的外侧，是上点处的法向量的方向余弦高斯公式的物理意义：假如是高斯公式中闭区域的边界曲面的外侧，那么解释为单位时间内离开闭区域的流体的总质量等于分布在内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量所以高斯公式另一写法其中是空间闭区域的边界曲面，而是在外侧法向量上的投影向量场的散度： 称为向量场的散度5斯托克斯公式设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规如此，函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，如此有另一种写法 环流量：沿有向闭曲线的曲线积分叫向量场沿有向闭曲线的环流量 向量场的旋度：斯托克斯公式物理意义：向量场沿有向闭曲线的环流量等于向量场的旋度场通过曲线所X的曲面的通量二、例题分析1对面积的曲面积分例1计算，其中为球面解：方法1：曲面分成两个半球面, 如此面积元素分别为，又它们在面上的投影均为，因此积分同理 ,于是 方法2：之间投影到平面计算2对坐标的曲面积分上述三种计算方法适用情况：1假如曲面在面上投影为一个区域，如此用方法3简便；2假如曲面在面上投影为一条线，且具有连续的偏导数，如此通常用加面，使封闭，利用高斯公式；3假如曲面在面上投影为一条线，偏导数不连续的情况下，使用方法2处理例2计算曲面积分，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数解：因为被积函数在点没有定义，不能用加、减一块面构成闭曲面计算积分，应先将半球面方程带入被积函数中，得以下利用三种方法计算此题：方法1： 利用高斯公式补一X面，投影域为，且是下侧，这里如此 方法2：投影法：曲面投影到平面上应分成前后两块，即曲面在平面的投影域为，曲面在平面的投影域为，因为 而 ，于是 方法3：转换投影法：投影到平面上， 曲面曲面法向量为， 投影域为，例3计算，其中是椭球面外侧解：当时，但是曲面方程不满足常数，将曲面改换为：外侧，于是，即 例5 计算，其中为由曲面与平面所围成的闭曲面外侧解：对第一个积分可以用高斯公式，即 其中：为在局部，对于第二个积分不能用高斯公式，因为在处偏导数不存在，只能投影，将曲面分成两块，上侧，下侧，因为垂直于平面，所以， 对于积分，将投影到平面还需要分麻烦，采用转换投影法，投影到平，因为曲面法向量，所以因为被积函数关于的奇函数且积分区域关于轴对称，于是注意：有时对第二类曲面积分的几项，各采用不同的方法去做会带来方便3利用斯托克斯公式计算曲线积分例7计算，其中为球面，的边界限，从球心看为逆时针方向解：方法1： 曲线用参数方程表示，将分成3段，平面上一段：从到0，如此，由的轮换对称与表达式的轮换对称知道 方法2： 用斯托克斯公式计算斯托克斯公式： 其中1为分段光滑的空间闭曲线；是以为边界的分片光滑有向曲面符合右手规如此；2函数在含的空间区域内偏导数连续这里，如此 注意：方向：从球心看去是逆时针方向，从外看去是顺时针方向，曲面法向量指向球心4曲面积分的应用例8设空间曲线构件的线密度为 ，且曲线方程是曲面与平面的交线，求曲线构件的质量解：相交的曲线方程，消去得到一个过曲线的柱面方程 又该曲线的质量 ，将曲线方程代入被积函数即可计算出该积分注意：也可以利用参数方程计算该积分例9设向量，曲面为上半球面，被锥面所截局部即的上侧，求通过曲面的流量流体质量解：流量 因为曲面在面上投影域的边界曲线比拟容易求，所以用转换投影法，由与，消去，得到，所以曲面在面上投影区域为：，并且在面上的投影点不重合，因为 ，所以于是 一、格林公式牛顿莱布尼兹公式表示：在区间上的定积分可以通过它的原函数在这个区间端点的值来表达而格林公式表示：在平面区域上的二重积分可以通过沿闭区域的边界曲线的曲线积分来表达这样，牛顿莱布尼兹公式成为格林公式的特殊情形平面单连通域的概念设为平面区域，如果内任一闭曲线所围的局部都属于，如此称为平面单连通区域，否如此称为复连通区域例如：平面上的圆形区域，上半平面都是单连通区域，圆环形区域都是复连通区域对平面区域的边界曲线，规定的正向如下：当观察者沿的方向行走时，总在他的左边例如是边界曲线与所围成的复连通域(图8)，作为的正向边界，的正向是逆时针方向，而的正向是顺时针方向定理1 设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数与在上具有一阶连续偏导数，如此有, (1)其中是的取正向的边界曲线公式(1)叫做格林公式证 先假设区域既是型又是Y型的情形，即穿过区域且平行坐标轴的直线与的边界曲线的交点恰好为两点(图9)设，因为连续，所以.另一方面，对坐标的曲线积分.因此得. (2)类似地，设，如此可证. (3)由于既是型又是型的区域，(2)(3)同时成立，二式合并即得公式(1)区域既是型又是型这样的要求是相当严格的，但是对于一般情形，即区域不满足这个条件时，我们可在内引进辅助线把分成有限个局部闭区域，使得每个局部闭区域都满足这个条件，如图10，应用公式(1)于每个局部区域，即可得证因此，一般地对于由分段光滑曲线围成的闭区域公式(1)都成立证毕注 (1) 格林公式中左端二重积分的被积函数是，而且在内偏导连续这是初学者容易记错或者忽略的地方右端曲线积分中曲线对区域来说都是正向，这也是需要注意的(2) 对于复连通区域，格林公式右端应包括沿区域的全部边界的曲线积分例如对图8的复连通域(阴影局部)格林公式应为.其中、是的取正向的闭曲线(3) 格林公式揭示出二重积分与平面曲线积分之间的联系，同时也给出了通过二重积分计算曲线积分的一个重要公式许多情况，曲线积分化为二重积分计算往往是方便的当然有些二重积分也可以化为曲线积分来计算，但是在化为曲线积分时，被积表达式并不是唯一的例如，化为曲线积分时，即可以是，也可以是或者是，等等格林公式的一个简单应用，在公式(1)中取，即得，上式左端为闭区域的面积的两倍，因此区域的面积可以用下面的曲线积分计算. (4)例1 求椭圆，所围成的面积解 由公式(4).例4 计算，其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线，的方向为逆时针方向解 令，当时，有记所围成闭区域为，当时，由格林公式(1)得.当时，、不满足格林公式中的条件，因此不能直接应用格林公式我们选取适当小的作位于内的圆周：，记和所围成的闭区域为(图12)这时，、在内具有一阶连续偏导数对复连通区域应用格林公式.其中的方向为逆时针方向，由于上式左端积分值为零，所以.注 如果积分曲线不是闭曲线，可以作适当的辅助线使与构成闭曲线，这时只要，在闭曲线围成的区域内具有一阶连续偏导数，也可以应用格林公式，间接计算沿着的曲线积分二、平面上曲线积分与路径无关的条件我们知道场力沿曲线作功的问题，可以用对坐标的曲线积分来计算在许多物理与力学问题中，场力作功常常与路径无关，而只与路径的起点和终点有关这个问题在数学上就表现为曲线积分与路径无关的问题为此首先要明确什么叫做曲线积分与路径无关，并进一步讨论在什么条件下曲线积分与路径无关：设是一个区域，在内具有一阶连续偏导数，如果对于内任意指定的两点、，以与内以点到点的任意两条曲线、(图13)等式恒成立，就说曲线积分在内与路径无关，否如此便说与路径有关由此我们得到一个重要结论，即：曲线积分在内与路径无关等价于沿内任意闭曲线的曲线积分等于零事实上，如果曲线积分与路径无关，那么，对于具有一样起点与终点的任意曲线、，有由于所以.从而.这里是一条有向闭曲线，因此在区域内由曲线积分与路径无关可以推得在内沿闭曲线的曲线积分为零反过来如果在内沿任意闭曲线的曲线积分为零，也可以推得在内曲线积分与路径无关由格林公式，启示我们，如果沿闭曲线的曲线积分为0，应该有，并且利用格林公式我们可以证明如下定理定理2 设区域是一个单连通域，函数，在内具有一阶连续偏导数，如此曲线积分在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零)的充分必要条件是 (5)证 (充分性) 设在内任取一条闭曲线，要证条件(5)成立时，因为闭曲线所围成闭区域全部在内，应用格林公式有.由条件(5)即得右端曲线积分等于0(必要性) 现在要证：如果沿内任意闭曲线的曲线积分为零，那么在内恒有成立用反证法，假设，那么在内至少有一点使为确定起见，不妨假设由于、在内连续，可以在内取得一个以为圆心、半径足够小的圆形闭曲域，使得在上恒有，于是由格林公式这里是的正向边界曲线，是的面积，从而这与在内沿任意闭曲线的曲线积分为零的假定相矛盾，所以在内(5)式处处成立证毕注 定理2要求是单连通域，且，在内具有一阶连续偏导数，如果这两个条件之一不满足，那么定理结论不能保证成立，如例4三、二元函数的全微分求积二元函数，有全微分公式，对应曲线积分的表达式，我们要问，满足什么条件时，这个表达式也恰好是某个函数的全微分？如果这个二元函数存在，又应该如何求出？定理3 设区域是一个单连通域，函数，在内具有一阶连续偏导数，如此在内是某个函数的全微分的充分必要条件是 (5)在G内恒成立证 (略)根据这个定理，如果函数，在单连通域内具有一阶连续偏导数，而且满足(5)，那么是某个函数的全微分，即存在某个函数，使，并且这个函数可以用曲线积分求出：. (6)又因为条件(5)，所以这个积分与路径无关，为计算简便，可以选择平行于坐标轴的直线连成的折线或作为积分路径(图14)当需要保证这些折线完全位于内，于是取为积分路径得到.假如取为积分路径得到.例5 验证在右半平面内是某个函数的全微分，并求出一个这样的函数解 令，如此在右半平面内恒成立因此在右半平面内是某个函数的全微分，且取积分路径如图15得18 / 18