复变函数1.2-复平面上的点集

. 1.2复平面上的点集我们在上节中提到过的复平面上的线段、直线和圆周等都是复平面上的点集.今后,我们的研究对象-解析函数,其定义域和值域都是复平面上的某个点集.1. 平面点集的几个根本概念定义1.1 由不等式所确定的平面点集(以后平面点集均简称点集),就是以为心,以为半径的圆,称为点的-邻域,常记为.定义1.2 考虑点集.假设平面上一点(不必属于E)的任意邻域都有E的无穷多个点,那么称为E的聚点或极限点;假设属于E,但非E的聚点,那么称为E的孤立点;假设不属于E,又非E的聚点,那么称为E的外点.定义1.3假设点集E的每个聚点皆属于E,那么称E为闭集;假设点集E的点有一邻域全含于E,那么称为E的点;假设点集E的点皆为点,那么称E为开集;假设在点的任意邻域,同时有属于点集E和不属于E的点,那么称为E的边界点;点集E的全部边界点组成的点集称为E的边界.点集E的边界常记成.点集E的孤立点必是E的边界点.定义1.4 假设有正数,对于点集E的点z皆合,即假设E全含于一圆之,那么称E为有界集,否那么称E为无界集.2. 区域与约当(Jordan)曲线CyOxD内点外点界点图1.12复变函数论的根底几何概念之一是区域的概念.定义1.5 具备以下性质的非空点集D称为区域:(1) D为开集.(2) D中任意两点可用全在D中的折线连接(图1.12).定义1.6 区域D加上它的边界C称为闭域,记为注意区域都是开的,不包含它的边界点.例1.16试证:点集E的边界是闭集.证设z为的聚点.取z的任意邻域,那么存在使得.在能画出以为心,充分小半径的圆.这时由可见,在此圆属于E的点和不属于E的点都存在.于是,在属于E的点和不属于E的点都存在.故z.因此是闭集.应用关于复数z的不等式来表示z平面上的区域,有时是很方便的.例1.17 z平面上以原点为心,R为半径的圆(即圆形区域):以与z平面上以原点为心,R为半径的闭圆(即圆形闭域):它们都以圆周为边界,且都是有界的.图1.13i1-1Oyx例1.18 z平面上以实轴为边界的两个无界区域是上半平面,与下半平面. Z平面上以虚轴为边界的两个无界区域是左半平面右半平面例1.19 图1.13所示为单位圆周的外部含在上半z平面的局部,表为例1.20图1.14所示的带形区域表为: yxrRO图 1.15Oyx图1.14例1.21图1.15所示的同心圆环(即圆环形区域)表为: r|z|R复变函数的根底几何概念还有曲线。定义1.7设与是实变数的两个实函数，在闭区间上连续，那么由方程组:或由复数方程:，或简记为所决定的点集，称为平面上的一条连续曲线。称为的参数方程，与分别称为的起点和终点；对满足的与当成立时，点称为此曲线的重点；凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或约当曲线；的简单曲线称为简单闭曲线。简单曲线是平面上的一个有界闭集。例如，线段，圆弧，抛物线弧段等都是简单闭曲线；圆周和椭圆周等都是简单闭曲线。定义1.8设连续弧的参数方程为，任取实数列：，并且考虑弧上对应的点列：将它们用一折线连接起来，的长度如果对于所有的数列1.17，有上界，那么弧称为可求长的。上确界称为弧的长度。定义1.9设简单或简单闭曲线的参数方程为，又在上，与存在，连续且不全为零，那么称为光滑闭曲线。光滑闭曲线具有连续转动的切线。定义1.10由有限条光滑曲线衔接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线。特别简单折线是逐段光滑曲线逐段光滑曲线必是可求长曲线，但简单曲线或简单闭曲线却不一定可求长。*例1.22设简单曲线的参数方程为显然皆为上的点，且连接与两电线段之长因为是发散的，所以也是发散的，从而知简单曲线J是不可求长的。我们容易看出，圆周把平面分为两个不相连接的xOy负方向正方向E(C)I(C)区域和。这个结果时下面所谓约当定理的特例。定理1.1约当定理任一简单闭曲线将平面唯一地分成与三个点集图1.16，它们具有如下性质：（1） 彼此不交；（2） 是一个有界区域称为的部；（3） 是一个无界区域称为的部（4） 假设简单折线的一个端点属于，另一个端点属于，那么必与有交点。此定理的证明虽有多种，但都包含假设干拓扑学的知识和术语，非简单篇幅所能说明。因此略去证明。不过这个定理的直观意义是很清楚的。沿着一条简单闭曲线有两个相反的方向，其中一个方向是：当观察者顺此方向沿前进一周时，的部一直在的左方，即“逆时针方向，称为正方向；另一个方向是：当观察者顺此方向沿前进一周时，的外部一直在的左方，即“顺时针方向，称为负方向图1.16在简单闭曲线的部无论怎样画简单闭曲线，那么的部必全含于。这一性质的一般化，即是定义1.11设为复平面上的区域。假设在无论怎样划简单闭曲线，其部仍全含于，那么称为单连通区域；非单连通的区域称为多连通区域。简单闭曲线的部就是单连通区域。我们在例1.17 至例1.20中所列举的区域也是单连通的。而例1.21所列举的圆环形区域：它包括去心的圆，一个圆的外部，去掉圆点的平面三种特例就不是单连通的，因为，如果取为圆周，它的部就不能全含于这个圆环形区域请读者自己作图思考。注假设实数集不囿与上下，那么称“广义的数为它们的上下界。关于这些“广义的数或“无穷的数，我们有与，其中是不管怎样的有限的实数符号和读着“正无穷和“负无穷。6 / 6