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函数恒成立存在性问题知识点归纳梳理1、恒成立问题的转化:恒成立;2、能成立问题的转化:能成立;3、恰成立问题的转化:在M上恰成立的解集为M 另一转化方法:若在D上恰成立,等价于在D上的最小值,若在D上恰成立,则等价于在D上的最大值.4、 设函数、,对任意的,存在,使得,则5、设函数、,对任意的,存在,使得,则6、设函数、,存在,存在,使得,则7、设函数、,存在,存在,使得,则8、若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象上方;9、若不等式在区间D上恒成立,则等价于在区间D上函数和图象在函数图象下方; 例 题 讲 解: 题型一、常见方法1、已知函数,其中, 1)对任意,都有恒成立,求实数的取值范围; 2)对任意,都有恒成立,求实数的取值范围;2、设函数,对任意,都有在恒成立,求实数的取值范围3、已知两函数,对任意,存在,使得,则 实数m的取值范围为 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数)1、对于满足的所有实数p,求使不等式恒成立的x的取值范围。2、已知函数是实数集上的奇函数,函数是区间上的减函数,整理为word格式 ()求的值; ()若上恒成立,求的取值范围; 题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来)1、当时,不等式恒成立,则的取值范围是 . 题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)1、若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是_2、已知函数,在恒有,求实数的取值范围。 题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法: 方法: 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上; 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.1、存在实数,使得不等式有解,则实数的取值范围为_。2、已知函数存在单调递减区间,求的取值范围恒成立与有解的区别: 恒成立和有解是有明显区别的,以下充要条件应细心思考,甄别差异,恰当使用,等价转化,切不可混为一体。 不等式对时恒成立,。即的上界小于或等于; 不等式对时有解,。 或的下界小于或等于; 不等式对时恒成立,。即的下界大于或等于; 不等式对时有解,.。 或的上界大于或等于;课后作业:1、设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值集合为( )(A) (B) (C) (D)2、若任意满足的实数,不等式恒成立,则实数的最大值是 _ . 3、不等式有解,则的取值范围是 4、不等式在内恒成立,求实数a的取值范围。5、已知两函数,。 (1)对任意,都有)成立,求实数的取值范围; (2)存在, 使成立,求实数的取值范围; (3)对任意,都有,求实数的取值范围; (4)存在,都有,求实数的取值范围;整理为word格式6、设函数. ()求函数的单调区间和极值; ()若对任意的不等式成立,求a的取值范围。7、已知A、B、C是直线上的三点,向量,满足:. (1)求函数yf(x)的表达式; (2)若x0,证明:f(x); (3)若不等式时,及都恒成立,求实数m的取值范围8、设,且(e为自然对数的底数) (I)求 p 与 q 的关系; (II)若在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围; (III)设,若在上至少存在一点,使得成立, 求实数 p 的取值范围.参考答案:题型一、常见方法。1、分析:1)思路、等价转化为函数恒成立,在通过分离变量,创设新函数求最值解决 2)思路、对在不同区间内的两个函数和分别求最值,即只需满足即可简解:(1)由成立,只需满足的最小值大于即可对求导,故在是增函数,所以的取值范围是 2、 分析:思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数以本题为例,实质还是通过函数求最值解决 方法1:化归最值,; 方法2:变量分离,或; 方法3:变更主元,简解:方法1:对求导,由此可知,在上的最大值为与中的较大者,对于任意,得的取值范围是3、 解析:对任意,存在,使得等价于在上的整理为word格式 最小值不大于在上的最小值0,既,题型二、主参换位法(已知某个参数的范围,整理成关于这个参数的函数)。1、 解:不等式即,设,则在-2,2上恒大于0, 故有:或O2、 ()分析:在不等式中出现了两个字母:及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。()略解:由()知:,在上单调递减,在上恒成立,只需,(其中)恒成立,由上述结论:可令,则,而恒成立,。题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来)1、当时,不等式恒成立,则的取值范围是 .解析: 当时,由得.题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)1、解析:对,不等式恒成立、则由一次函数性质及图像知,即。2、分析:为了使在恒成立,构造一个新函数,则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于的问题,再利用二次函数的图象性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决。解:令,则对恒成立,而是开口向上的抛物线。当图象与x轴无交点满足,即,解得。 当图象与x轴有交点,且在时,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得: 解得,故由知。小结:若二次函数大于0恒成立,则有,同理,若二次函数小于0恒成立,则有。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。题型五、不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法。 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上; 若在区间D上存在实数使不等式成立,则等价于在区间D上的.1、解:设,由有解,又,解得。整理为word格式2、解: 因为函数存在单调递减区间,所以有解.即能成立, 设.由得, .于是,由题设,所以a的取值范围是课后作业:1、B由得,对任意的,得,故。2、 答案:。解析:由不等式可得,由线性规划可得。3、解:原不等式有解有解,而,所以。xy034、解:画出两个凼数和在上的图象如图知当时,当,时总有所以5、 解析:(1)设,问题转化为时,恒成立,故。令,得或。由导数知识,可知在单调递增,在单调递减,在单调递增,且,由,得。(2) 据题意:存在,使成立,即为:在有解,故,由(1)知,于是得。(3) 它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别,对任意,都有成立,不等式的左右两端函数的自变量不同,的取值在上具有任意性,要使不等式恒成立的充要条件是:。 ,在区间上只有一个解。,即.(4) 存在,都有,等价于,由(3)得,整理为word格式 点评:本题的三个小题,表面形式非常相似,究其本质却大相径庭,应认真审题,深入思考,多加训练,准确使用其成立的充要条件。6、解:()(1分)令得的单调递增区间为(a,3a)令得的单调递减区间为(,a)和(3a,+)(4分)当x=a时,极小值=当x=3a时,极小值=b. (6分) ()由|a,得ax2+4ax3a2a.(7分)0a2a.上是减函数. (9分)于是,对任意,不等式恒成立,等价于 又 7、解:(1)y2f /(1)ln(x1)0,y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三点共线即y2f /(1)ln(x1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x),得f /(1),故f(x)ln(x1)4分(2)令g(x)f(x),由g/(x) x0,g/(x)0,g(x)在(0,)上是增函数6分故g(x)g(0)0 即f(x)8分(3)原不等式等价于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2),由h/(x)x10分 当x1,1时,h(x)max0,m22bm30令Q(b)m22bm3,则得m3或m312分8、解:(I) 由题意得 而,所以(II)由 (I) 知 , 4分令,要使在其定义域 (0,+) 内为单调函数,只需 h(x) 在 (0,+) 内满足:h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 当时,所以在 (0,+) 内为单调递减,故; 当时,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为,整理为word格式,只需,即p1时, h(x)0,f (x) 在 (0,+) 内为单调递增,故 p1适合题意. 综上可得,p1或 p0另解:(II)由 (I) 知 f (x) = px2ln x f(x) = p + = p (1 + )要使 f (x) 在其定义域 (0,+) 内为单调函数,只需 f(x) 在 (0,+) 内满足:f(x)0 或 f(x)0 恒成立. 由 f(x)0 p (1 + )0 p p()max,x 0 = 1,且 x = 1 时等号成立,故 ()max = 1p1由 f(x)0 p (1 + )0 p p()min,x 0而 0 且 x 0 时, 0,故 p0综上可得,p1或 p0(III)g(x) = 在 1,e 上是减函数x = e 时,g(x)min = 2,x = 1 时,g(x)max = 2e即g(x) 2,2e 10分 p0 时,由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 f (x)max = f (1) = 0 2,不合题意。 0 p 1 时,由x 1,e x0f (x) = p (x)2ln xx2ln x右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式,故在 1,e 递增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 2,不合题意。 p1 时,由 (II) 知 f (x) 在 1,e 连续递增,f (1) = 0 g(x)min = 2,x 1,e f (x)max = f (e) = p (e)2ln e 2 p 综上,p 的取值范围是 (,+) 其他特殊型:二次函数型利用判别式,韦达定理及根的分布求解例1:不等式对于恒成立,求的取值范围 . 变式1:存在,使得不等式 成立, 则的取值范围是 . 变式2:方程有解,则的取值范围是 .现实生活中存在与恒成立问题:1、 在某次考试中,我们班有同学数学分数大于120分最高分大于120分。整理为word格式2、 在某次考试中,我们班每一位同学数学分数都高于60分最低分大于60分。3、 在某次考试中,我们班同学数学成绩没有高于130分的最高分小于等于130分。、推理:对有:1)、符号语言:不等式恒成立图象语言:的图象在直线y=a的上方最低点都在直线的上方 日常用语:每一个值都大于3) 、符号语言:方程有解(解集非空)4) 图象语言:的图象与直线有交点 5) 日常用语:求函数的值域 2) 、符号语言:存在,使得不等式不等式,有解不等式,解集非空3) 图象语言:的图象有点在直线y=a的上方最高点都在直线的上方4) 日常用语:有值比大、结论:对有:、恒成立问题 符号语言: 函数恒成立 函数 恒成立2、存在性问题 符号语言: 存在,使得函数 存在 ,使得函数3、有解问题 符号语言:不等式有解(解集非空) 不等式解集为空集 方程有解(解集非空)整理为word格式思考:若对又有怎么样的结论呢?例1:不等式对于xR恒成立,求a的取值范围 .变式1:存在xR,使得不等式 成立, 则a的取值范围是 .变式2:方程有解,则a的取值范围是 .变式3:解集不空, 则a的取值范围是 .变式4:不等式 解集为空集, 则a的取值范围是 .例2:已知函数,若存在使得,试求实数的取值范围。解:法一:,所以对,均存在使得.法二:原题同解于:当时,, 即: 或 代入可得:或 解得或 例3:方程在区间内有解,则实数a的取值范围是 。 解:原题同解于:,的值域。a即,请比较此题的有解问题与上题的有解问题的区别.例4:A=x|x2-mx+1 0,B=R+,AB=B, 求的取值范围。分析:AB=B可得BA。即:x0时, x2-mx+1 0 解略法二:原题同解于:x2-mx+1 0在(0,+)上恒成立, 求的取值范围。例5:不等式对满足的所有都成立,求的取值范围。整理为word格式分析: 对而言,已知参数范围,求定义域。设 ,则转化为已知定义域求参数范围。即:1、对于不等式(1-m)x2+(m-1)x+30 当| x | 2,上式恒成立,求实数m的取值范围 ; 当| m | 2,上式恒成立,求实数x的取值范围 .2、若不等式ax2-2x+20 对x(1,4)恒成立,求实数a的取值范围。3、设不等式对一切实数x都成立,则k的范围是 。 可以等价转化为一次型的函数(利用单调性直接求解) 对于一次函数有:例1:若不等式对满足的所有都成立,求x的范围。解析:我们可以用改变主元的办法,将m视为主变元,即将元不等式化为:,;令,则时,恒成立,所以只需即,解出即可。三、数形结合(对于型问题,利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理)若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例10 (07安徽理科3)若对任意,不等式恒成立,则实数的取值范围是O(A) (B) (C) (D) 解析:对,不等式恒成立则由一次函数性质及图像知,即。整理为word格式。四、赋值型利用特殊值求解等式中的恒成立问题,常常用赋值法求解,特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x= 对称,那么a=( ).A.1 B.-1 C . D. -.略解:取x=0及x=,则f(0)=f(),即a=-1,故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想. 利 用 导 数 求 参 数 的 取 值 范 围一已知函数单调性,求参数的取值范围.类型1 参数放在函数表达式上.略解:()由()方法:方法:方法 解题方法 总结:求后,若能因式分解则先因式分解,讨论=0两根的大小判断函数的单调性,若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题.类型2参数放在区间边界上例已知函数过原点和点(-1,2), 若曲线在点P处的切线与直线且切线的倾斜角为钝角. (1)求的表达式 (2)若在区间2m-1,m+1上递增,求m的取值范围.整理为word格式略解 (1)总结:先判断函数的单调性,再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可. 二已知不等式在某区间上恒成立,求参数的取值范围类型参数放在不等式上例3.已知(1)求、的值及函数的单调区间(2)若对恒成立,求的取值范围略解:(1) 总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值.类型2参数放在区间上例已知三次函数图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且在x=3处有极值.(1)求的解析式.(2)当时, 0恒成立,求实数m的取值范围.分析: (1)三知函数图象的交点情况,求参数的取值范围例5.已知函数处取得极值(1) 求函数的解析式.(2) 若过点可作曲线y=的三条切线,求实数m的取值范围.略解(1)求得(2)设切点为整理为word格式总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与x轴交点个数.四. 开放型的问题,求参数的取值范围。例已知且。 (1)设,求的解析式。(2)设,试问:是否存在,使在()上是单调递减函数,且在()上是单调递增函数;若存在,求出的值;若不存在,说明理由。分析: (1)易求c=1, (2),由题意在()上是单调递减函数,且在()上是单调递增函数知,是极小值,由得当,时,是单调递增函数;时,是单调递减函数。所以存在,使原命题成立。 在数学中,涉及到高次函数问题一般可用导数知识解决,只要把导数的几何意义,用导数求函数的极值及最值,用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄懂,那么,利用导数求参数的取值范围这个问题即可迎刃而解. 友情提示:本资料代表个人观点,如有帮助请下载,谢谢您的浏览! 整理为word格式
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