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第二章 控制系统的数学模型Chapter 2 Mathematical Models of Control Systemsn微分方程 Differential Equations n拉氏变换 Laplace transform n传递函数 Transfer Function n典型环节的传递函数Transfer Function of typical linkn动态结构图及其等效变换 Dynamic structure and the equivalent transformationn自动控制系统的传递函数 2.1 微分方程（Differential Equations）2.1.1 概述 Overview 数学模型 (Mathematical models): 描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性以及状态空间描述等。例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。线性系统 Linear Systems: 用线性微分方程描述的元件或系统，称其为线性元件或系统。其重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理说明，两个不同的外作用同时作用于系统的总输出，等于两个外作用单独作用时产生的输出之和。 线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输出，然后将它们叠加。线性定常系统和线性时变系统Linear time-invariant systems and linear time-varying systems: 可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。2.1.2 控制系统的微分方程 The differential equations of Control systems 微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等，这种方法称为用分析法建立系统的数学模型。 另外一种方法是实验法。即人为地给系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型逼近，这种方法又称为系统辨识，现在成为一门独立学科分支。本节讨论用分析法建立系统的数学模型。例2-1 RC无源网络,列写其微分方程。解：ur(t)输入量，uc(t)输出量，i(t)中间变量ur(t)=Ri(t)+uc(t)dttiCtuc)(1)()(tur)(tucRC)()()(tutudttduRCrccRCT 令例2-2 机械惯性-阻尼器系统解：F(t)输入量，v(t)输出量dttdvmtfvtF)()()(1,mTKff令)()()(tFtfvdttdvm)(1)()(tFftvdttdvfm( )F t( )v t例2-3 RLC无源网络解：TRCLCT2,2令)()()()(tutRidttdiLtucrdttduCtic)()()()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc)(tur)(tucRCL例2-4 弹簧-质量-阻尼系统解：F(t)输入量，y(t)输出量2221)()()()(dttydmtFtFtFkKmkfkmT1,2,令dttdyftF)()(122)()()()(dttydmtkydttdyftF)()(2tkytF( )F tfk( )y t例2-5 电枢控制式直流电动机ai( )ie tmeaRaLTfi 常数Jf0( ) t 电机电枢输入电压 电机输出转角 电枢绕组的电阻 电枢绕组的电感 流过电枢绕组的电流 电机转矩 电机感应电势 电机及负载折合到电机轴上的转动惯量 电机及负载折合到电机轴上的粘性摩擦系数( )ie t0( ) taRaLaimeTJf解： 输入量， 输出量根据基尔霍夫定律，有( )( )( )( )aia aamdi te tR i tLetdt根据磁场对载流线圈的作用定律，有( )( )T aT tK i tTK 电机力矩常数根据电磁感应定律，有0( )( )medtetKdteK 反电势系数(1)(2)(3)( )ie t0( ) t 电机转矩( )T t根据牛顿第二定律，作用在电动机轴上的转矩平衡方程有2002( )( )( )dtdtT tfJdtdt(4)把（2）式带入（4）式，消去 得2002( )( )( )aTTdtdtJfi tKdtKdt(5)把（3）、（5）式带入（1）式，消去 得3200032( )( )( )()()( )aaaaTeTidtdtdtL JL fR JR fK KK e tdtdtdt( )T t( ) ( )ami tet电枢电感 通常较小，若忽略不计，系统可简化为aL2002( )( )()( )aaTeTidtdtR JR fK KK e tdtdt当电枢电感 ，电阻 均较小，都忽略不计，系统可进一步简化为aLaR0( )( )idtKee tdt电动机的转速与电枢电压成正比电动机可作为测速发电机使用2.1.3 建立物理对象微分方程的步骤建立物理对象微分方程的步骤：1）明确建模要求根据实际工作情况，分析要解决的问题和要求，确定输入量和输出量。2）列写微分方程从输入端开始，按照信号传递顺序，遵循有关定律，列写出描述系统运动过程的动态方程，一般为微分方程组。3）消去中间变量写出关于输入输出变量关系的微分方程。4）方程规范化将与输出有关的各项放在等式左侧，将与输入有关各项放在等式右侧，并按降幂排列，且将系数化为有一定物理意义的形式。)()()()()()()()(1111011110tubtudtdbtudtdbtudtdbtyatydtdatydtdatydtdammmmmmnnnnnn线性定常系数系统微分方程(LTI systems)线性系统(Linear Systems)具有可叠加性和均匀性：)(,),(21212211xxfyyxyxyxfy2.1.3 1212()()xAxf xAf x非线性方程的线性化)(xfy 设f(x)是一个非线性函数，若f(x)在其平衡工作点(x0,y0)处连续可微，则可用输入量x的偏差形式，将y在(x0,y0)的邻域内展开成Taylor级数：.)( ! 21)( )()(200000 xxxfxxxfxfxfy若x=x-x0很小，则可略去高阶项，有：)( )()(000 xxxfxfxfy记y=y-y0=y-f(x0)，得：xxfy)( 0即得相对平衡点(x0,y0)的增量线性化方程，上式可写成：kxy 2.2 拉氏变换（Laplace Transform）0)()(dtetfsFst)()(tfLsF定义(definition )：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)， 它的定义域t0，那么下式即是拉氏变换式： ,式中s为复数。记作一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：t0时，f(t)=0；t0时，f(t)分段连续； F(s) 象函数，f(t) 原函数。记 为反拉氏变换。0( )tx t edt 其中 正实数1( ) ( )f tLF t)()()()(2121sFsFtftfL线性性质：)0()()(fssFtfL)0()0()()(2fsfsFstfL )0(.)0()0()()()1(21)(nnnnnffsfssFstfL微分定理：ssFdttfL)()(积分定理：（设初值为零）0 ()()( )stsTL f tTef tT dteF s位移定理：)(lim)(lim0ssFtfst初值定理：性质 (nature) ：)(lim)(lim0ssFtfst终值定理：)()()()(21021sFsFdftfLt卷积定理：ssFttf1)(),( 1)(1)()(tLsF21)(,)(ssFttf321)(,21)(ssFttf22)(,sin)(ssFttf常用函数的拉氏变换： 单位阶跃函数： 单位脉冲函数： 单位斜坡函数： 单位抛物线函数： 正弦函数： 其他函数可以查阅相关表格获得。2.3 传递函数（ Transfer Function ）原方程：)()()(tutudttduRCrcc象方程：)()()0()(sUsUussURCrccc象方程的解：)0(1)(11)(crcuRCsRCsURCssU零状态分量ur与uc的动态联系零输入分量ur(0-)与uc的动态联系原方程的解：)0(1)(11)()(111crccuRCsRCLsURCsLsULtu若ssUr1)(tRCreRCsRCsLsRCsLsURCsL1111111111)(11tRCcceuuRCsRCL11)0()0(1 2.3.1传递函数的概念与定义The definition and concept of Transfer function 象方程的解：)(11)(sURCssUrc当初始条件取零初始状态时，有：象方程：)()()(sUsUsRCsUrcc比较：)()()(tutudttduRCrcc, sdtd),()(sUturr)()(sUtucc不变：结构、项数、阶次、系数结论：零初始条件下，微分方程与象方程的互换极其方便。微分方程t域的动态数学模型 象方程s域的动态数学模型11RCsUr(s)Uc(s)输入输出关系方块图表示：Ur(s)输入，Uc(s)输出，1/(RCs+1)放大系数在零初始条件下，线性定常系统输出量与输入量拉氏变换之比。)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn设线性定常系统微分方程为：式中：c(t)输出量; r(t)输入量；ai、bj常系数在零初始条件下，对上式作拉氏变换，得象方程：)()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnnnnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(从而得传递函数：微分方程的特征多项式 适用对象：线性、定常系数、 单输入单输出系统（ SISO） 结构、参数：完全取决于系统内部的结构与参数，与输入形式无关 阶次：分母中的最高阶次n为系统的阶次，nm。这是由于系统中含有较多的储能元件及受能源的限制所造成的。 零初始条件：在t=0-时，系统处于相对平衡状态，各变量对平衡点的增量为零。不同的物理系统可能有相同形式的传递函数传递函数的分母反映的是系统本身与外界的固有特性，因此同一系统不同观测点的输出信号对不同作用点的输入信号之间的传递函数的形式有相同的分母。称为特征式。传递函数的几种表现形式The several modes of transfer function 表示为有理分式形式：110110( )( )( )mmmmnnnnb sbsbC sG sR sa sasa式中： 为实常数，一般nm上式称为n阶传递函数，相应的系统为n阶系统。jiba , 表示成零点、极点形式：11()( )( )( )( )( )()mimignnjjszbC sQ sG sKR saP sspizjpnmgabK 传递系数（零极点形式传递函数增益）或称根轨迹增益式中： 称为传递函数的零点， 称为传递函数的极点。 写成时间常数形式：0101(1)( )( )( )(1)miinjjsbQ sG sKaP sT sjiT,分别称为时间常数，K称为放大系数显然：,1iiz,1jjpT jnjimigpzKK11
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