透镜的傅里叶变换性质

透镜的透镜的F.T.性质性质fyffxffyfx,透镜的复振透镜的复振幅透过率幅透过率：变换的空频坐标与后焦面变换的空频坐标与后焦面空间坐标空间坐标 xf, yf 的关系：的关系：)(2exp),(22yxfkjyxt物体放在焦距为物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面，的透镜的前焦面，用波长为用波长为 的单色平面波垂直入射的单色平面波垂直入射照明，在透镜后焦面上得到：照明，在透镜后焦面上得到：物函数物函数t(x0,y0)的准的准确的傅里叶变换确的傅里叶变换fyyffxxfyxffffffTcyxU,),(),(数学表达式：数学表达式：菲涅耳衍射的菲涅耳衍射的F.T.表达式（空域）表达式（空域）)(exp)exp(22yxffzjjkz)(2exp)exp(),(220yxzkjjkzzayxU会聚球面波的会聚球面波的复振幅表达式复振幅表达式fyyffxxfyxffffffTcyxU,),(),(zyfzxfyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxUyx,)(2exp),( )(2exp)exp(),(2020000223.2 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质2.物在透镜后方物在透镜后方,平面波照明平面波照明p透镜前|后平面P1 | P2x-yUlt (x0,y0)d0 x0- y00: 输入面x-yzS输出面f第一步：直接写出0前表面的光场分布：)()(2exp1),(20200000yxdfkjdfyxU第二步：写出0后表面的光场分布：),()()(2exp1),( 0020200000yxtyxdfkjdfyxU3.2 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质2. 物在透镜后方，平面波照明物在透镜后方，平面波照明yx,第三步：由由x0-y0平面平面传输到观察平面传输到观察平面x-y上造成的场分布为（利上造成的场分布为（利用用 FresnelFresnel衍射的衍射的F.T.F.T.表达式，表达式，注意注意 z=f-d0 ）：）：p透镜前|后平面P1 | P2x-yUlt (x0,y0)d0 x0- y00: 输入面x-yzS输出面fzyfzxfyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxUyx,)(2exp),( )(2exp)exp(),(20200022),()()(2exp),( 002020000yxtyxdfkjcyxU3.2 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质2. 物在透镜后方物在透镜后方对于平面波照明，对于平面波照明，得到：得到： )(,)(),(2exp),(0000022dfyfdfxfffTdfyxjkcyxUyxyx对于球面波照明，对于球面波照明，得到：得到： )(,)()()(2exp),(00220dqydqxTyxdqkjcyxU仍为物体的仍为物体的F.T., 但但1.仍有二次位相因子仍有二次位相因子 2. 频谱面取值频谱面取值fx =xf / q d0), fy = yf / q d0), 随距离随距离d0 而变而变. 通过调整通过调整d0, 可改变频谱的尺度可改变频谱的尺度 当当d d0 0=0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都是等价的。是等价的。 3.2 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质透镜的作用透镜的作用:透镜将照明光波变换成会聚球面波透镜将照明光波变换成会聚球面波, 会聚点是照明点会聚点是照明点光源的共轭像点光源的共轭像点.从而在此会聚点处从而在此会聚点处(注意注意:不是物本身不是物本身的像点的像点)得到物的得到物的F.T., 但比例尺度改变但比例尺度改变. 不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都是夫琅和费型。是夫琅和费型。3.2 透镜的傅里叶变换性质：透镜的傅里叶变换性质：小结小结我们特别关注物在透镜前我们特别关注物在透镜前, , q=f, d0=f 的特殊情形。此时的特殊情形。此时 用单色平面波照明物体，用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在物体置于透镜的前焦面，则在透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦透镜的后焦面称为频谱面。面称为频谱面。fyyffxxfyxtcdydxyfyxfxjyxtcyxU,00000000),( 2exp),(),(3.2 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质 物理解释物理解释 后焦面上光场分布与频谱的对应关系后焦面上光场分布与频谱的对应关系物分布物分布t (x0,y0)是一个复杂结构是一个复杂结构, 含有含有多种空频成分多种空频成分.它调制入射的均匀平它调制入射的均匀平面波面波,使透射光场携带物体的信息使透射光场携带物体的信息.此平面波分量的空频此平面波分量的空频 fy = cosb b = yf / f由几何关系易见由几何关系易见: yf = ftan fsin = fcosb b 方向余弦方向余弦(近轴近似近轴近似)后焦面上后焦面上(0, yf)点的复振幅点的复振幅,对应空频为对应空频为 (fx =0, fy = yf / f) 的平面波分量的振幅的平面波分量的振幅和位相和位相.透射光场的角谱代表物函数的频谱透射光场的角谱代表物函数的频谱,即含有向不同方向衍射的许多平面即含有向不同方向衍射的许多平面波波. 其中向其中向 角方向衍射的平面波分角方向衍射的平面波分量经过透镜后聚焦到量经过透镜后聚焦到(0, yf)点点.推广之推广之, 任意任意 (xf, yf)点的复振幅点的复振幅, 对应空频对应空频为为 (fx =xf / f, fy = yf / f) 的平面波分量的振的平面波分量的振幅和位相幅和位相. 透镜的后焦面是物体的频谱面透镜的后焦面是物体的频谱面.#3.2 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质 透镜的后焦面是输入物体的频谱面透镜的后焦面是输入物体的频谱面透镜后焦面上不同位置的点透镜后焦面上不同位置的点, ,对应物体衍射光场的不同空对应物体衍射光场的不同空间频率分量间频率分量fx0 xffx1fx2fx2 fx13.2 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质 透镜的后焦面是输入物体的频谱面透镜的后焦面是输入物体的频谱面频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上频谱点出现在与空间条纹结构垂直的方向上. . F.T.F.T.3.2 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质 变换的尺度问题变换的尺度问题对应于物的同一空频分量对应于物的同一空频分量, 变换的尺度随波长和焦距而变变换的尺度随波长和焦距而变f12211f2 f1f2xf = f fx, yf = f fy3.2 透镜的傅里叶变换性质透镜的傅里叶变换性质3、透镜的孔径效应、透镜的孔径效应透镜光瞳函数为透镜光瞳函数为P(x, y)物在透镜后物在透镜后: : 透镜形成会聚球面波透镜形成会聚球面波, , 在物面上形成投影光瞳函数在物面上形成投影光瞳函数: :0000,dqqydqqxP物体紧靠透镜：有效物函数为物体紧靠透镜：有效物函数为0000,),(yxPyxtx-y0Sd0 x-yx0-y0pq有效物函数为有效物函数为000000,),(dqqydqqxPyxt在频谱面上得到有效物函数的傅里叶变换。在频谱面上得到有效物函数的傅里叶变换。物在透镜前物在透镜前: : 投影光瞳函数更复杂一些，暂不讨论。投影光瞳函数更复杂一些，暂不讨论。例题例题 单位振幅的单色平面波垂直照明一个直径为单位振幅的单色平面波垂直照明一个直径为5cm,焦距为焦距为80cm的透镜。在透镜的后面的透镜。在透镜的后面20cm的地方，以光轴为中心放置一个余弦的地方，以光轴为中心放置一个余弦型振幅光栅，其复振幅透过率为型振幅光栅，其复振幅透过率为LyLxxfyxt0000rectrect2cos121),(假定假定L=1cm, f0=100周周/cm, =0.6m mm。 画出焦平面上沿画出焦平面上沿 xf 轴的强轴的强度分布。标出各衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个度分布。标出各衍射分量之间的距离和各个分量的宽度（第一个零点之间）的数值。零点之间）的数值。x-y0Sd0 xf-yfx0-y0pf例题例题解：由几何关系可知，在物面上投影光瞳大于物体尺寸，故可解：由几何关系可知，在物面上投影光瞳大于物体尺寸，故可不考虑透镜孔径的效应。不考虑透镜孔径的效应。透镜透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：物体：d0=20cm，LyLxxfyxt0000rectrect2cos121),(L=1cm, f0=100周周/cm)(,)()()(2exp),(00220dqydqxTyxdqkjcyxU复振幅分布：复振幅分布：200)(,)(),(dqydqxTyxI强度分布强度分布:x-y0Sd0 xf-yfx0-y0pf单位振幅的单色平面波垂直照明，单位振幅的单色平面波垂直照明，q=f, 透镜后焦面上出现物体的透镜后焦面上出现物体的傅里叶变换，但有一个二次位相因子。傅里叶变换，但有一个二次位相因子。例题例题透镜透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：物体：d0=20cm，LyLxxfyxt0000rectrect2cos121),(L=1cm, f0=100周周/cm200)(,)(),(dqydqxTyxI强度分布强度分布:yxyxyxyxyxLfLfffffffffLffTsincsinc,21,21,2),(002yxyxyxyxLfffLLfffLLfLfIffTsinc)(sinc21 sinc)(sinc21sincsinc),(000 x-y0Sd0 xf-yfx0-y0pf例题例题透镜透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：物体：d0=20cm，LyLxxfyxt0000rectrect2cos121),(L=1cm, f0=100周周/cm200)(,)(),(dqydqxTyxI强度分布强度分布:)(sinc21)(sinc21sinc)0 ,(000ffLffLLfIfTxxxx沿沿fx轴轴:f01/L, )(sinc41)(sinc41sinc)0 ,(02022202ffLffLLfIfTxxxx将将 代入代入,并取并取 =0.6m mm:q =f)(0dfxffx例题例题)()(sinc41)()(sinc41)(sinc)(000200020220dffdfxLdffdfxLdfxLIxIffff透镜透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：物体：d0=20cm，LyLxxfyxt0000rectrect2cos121),(L=1cm, f0=100周周/cm)(0dfxffx将将 代入代入,并取并取 =0.6m mm:f0=100, (q-d0) =3.6 10-30.36xf03.6 10-3-3.6 10-3-0.36I0作业作业 3.01: 物体放在透镜前方，采用平面波垂直照明对物物体放在透镜前方，采用平面波垂直照明对物体作傅里叶分析。体作傅里叶分析。设物体包含的最低空间频率为设物体包含的最低空间频率为 20周周/mm, 最高空间频率为最高空间频率为200周周/mm， 照明光波长为照明光波长为 =0.6m mm。若希望谱面上最低频率成分与最高频率成若希望谱面上最低频率成分与最高频率成分之间间隔分之间间隔50mm，透镜的焦距应取多大？，透镜的焦距应取多大？ 3.00: 一个边长为一个边长为 a 的方孔，放在焦距为的方孔，放在焦距为 f 的透镜的前的透镜的前焦面上，孔中心位于透镜的光轴。用波长为焦面上，孔中心位于透镜的光轴。用波长为 的单色的单色平面波垂直入射照明，求透镜后焦面上的光场复振幅平面波垂直入射照明，求透镜后焦面上的光场复振幅分布和光强度分布。分布和光强度分布。如果孔中心与光轴的距离为如果孔中心与光轴的距离为b,结果会如何？结果会如何？3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析相干照明衍射受限系统的成像分析 Imaging Analysis of Diffraction-limited Systems under Coherent Illumination目的目的: 从单透镜的点扩散函数入手从单透镜的点扩散函数入手, 研究评价研究评价透镜成像质量的频域方法透镜成像质量的频域方法将透镜成像看成线性不变系统的变换将透镜成像看成线性不变系统的变换物平面上任一小物平面上任一小面元的光振动面元的光振动像平面上所造成像平面上所造成的光振动分布的光振动分布成像成像系统系统任何物面任何物面光场分布光场分布像面光像面光场分布场分布系统系统线线性性叠叠加加脉冲脉冲响应响应物平面上小面元的光振动为单位脉冲即物平面上小面元的光振动为单位脉冲即函数时，通过透镜产生的像场函数时，通过透镜产生的像场分布函数称为分布函数称为点扩散函数点扩散函数或或脉冲响应脉冲响应。通常用。通常用 表示。表示。iiooy,x;y,xh像面强像面强度分布度分布3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析相干照明衍射受限系统的成像分析1、透镜的点扩散函数、透镜的点扩散函数单色光照明单色光照明紧靠物后的复振幅分布紧靠物后的复振幅分布: U0(x0,y0)(x0,y0)点处发出的单位脉冲为点处发出的单位脉冲为 ( (x0-x0, y0 -y0) )沿光波传播方向，逐面计算后面三沿光波传播方向，逐面计算后面三个特定平面上的场分布。可最终导个特定平面上的场分布。可最终导出一个点源的输入输出关系出一个点源的输入输出关系。 可写成可写成: x-y020200002)()(exp1),;,(dyyxxjkdjyxyxdUlx0, y0 平面上的一平面上的一个点源，在透镜前个点源，在透镜前平面上产生的分布。平面上产生的分布。利用菲涅耳公式，利用菲涅耳公式，透镜前表面透镜前表面:0002020000000002)()(exp),()exp(),; , (dydxdyyxxjkyyxxdjjkdyxyxdUl02020002)()(expexpdyyxxjkdjjkd透镜后的透射光场复振幅透镜后的透射光场复振幅:透镜后表面透镜后表面xi,yi平面平面: 再次运用菲涅耳衍射公式：再次运用菲涅耳衍射公式：弃去常数位相因子弃去常数位相因子,),;,(2exp),(),;,(002200yxyxdUfyxjkyxPyxyxUdlldxdydyyxxjkyxyxUddjjkdyxyxhiiiliiii2)()(exp),;,()exp(),;,(220000020202202002exp2exp1),;,(dyxjkdyxjkddyxyxhiiiiiidxdyydydyxdxdxjkyxfddkjyxPiiiii0000220exp)(1112exp),(物像平面的共物像平面的共轭关系满足高轭关系满足高斯公式斯公式 3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析相干照明衍射受限系统的成像分析1、透镜的点扩散函数、透镜的点扩散函数020200002)()(exp1),;,(dyyxxjkdjyxyxdUl3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析相干照明衍射受限系统的成像分析1、透镜的点扩散函数、透镜的点扩散函数点扩散函数简化成点扩散函数简化成 :不参与积分不参与积分,不影不影响观察面强度分响观察面强度分布布,可以直接略去可以直接略去.成像透镜的横向放大率成像透镜的横向放大率 0ddMi(3.35)iiiiiidyxjkdyxjkddyxyxh2exp2exp1),;,(22020200200dxdyydydyxdxdxjkyxPiiii0000exp),(12220202002exp)(2expMyxdkjyxdkjii也可略去也可略去dxdyyMyyxMxxdjyxPddyxyxhiiiiii)()(2exp),(1),;,(000200ooooMyyMxx2dxdyyyyxxxdjyxPddiiii)()(2exp),(100023.4 相干照明衍射受限系统的成像分析相干照明衍射受限系统的成像分析1、透镜的点扩散函数、透镜的点扩散函数于是，于是， 可以写成可以写成 的形式，即的形式，即 这说明，在近轴成像条件下，透镜成像系统是空不变的。这说明，在近轴成像条件下，透镜成像系统是空不变的。透镜的脉冲响应等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样，其中心位透镜的脉冲响应等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点处于理想像点处。透镜孔径的衍射作用透镜孔径的衍射作用, ,决定决定于于孔径线度相对于孔径线度相对于波长和像距的比例。波长和像距的比例。(3.36)iiooyxyxh,;,oioiyyxxh,dxdyyyyxxxdjyxPddyyxxhiiiiii)()(2exp),(1),(000200iidyydxx,对孔径平面上的坐标做如下变换对孔径平面上的坐标做如下变换： ydxdyyyxxxjydxdPMyyxxhiiiiii)()(2exp),(),(0000透镜的点扩散函数表达式透镜的点扩散函数表达式 ：|M|=di/d0(3.37)3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析相干照明衍射受限系统的成像分析1、透镜的点扩散函数、透镜的点扩散函数ydxdyyyxxxjydxdPMyyxxhiiiiii)()(2exp),(),(0000透镜的点扩散函数表达式透镜的点扩散函数表达式 ：1),(ydxdPii这时物点成像为一个像点，即几何光学理想像。这时物点成像为一个像点，即几何光学理想像。 ydxdyyyxxxjMyyxxhiiii)()(2exp),(0000),(00yyxxMii此时透镜的点扩散函数变成：此时透镜的点扩散函数变成：当孔径大小比当孔径大小比 大得多时，可认为大得多时，可认为 di 0，则在，则在 x-y 坐标中，坐标中，yx思考题思考题 P83 3.1题题其中第（其中第（2）问改为：）问改为：设透镜的光瞳函数是一个半径为设透镜的光瞳函数是一个半径为 a 的圆，那么的圆，那么在物平面上在物平面上一个点源在像面上产生的一个点源在像面上产生的相应相应 h 的第一个零点的半径是多少？的第一个零点的半径是多少？