安徽示范高级中涡阳四中专题讲座

安徽省示范高级中涡阳四中专题讲座（第三讲）不等式问题的题型与方法一复习目标：1在熟练掌握一元一次不等式 （组 ）、一元二次不等式的解法基础上， 掌握其它的一些简单不等式的解 法通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式（组 ），会用分类、换元、数形结合的方法解不等式；3通过复习不等式的性质及常用的证明方法（ 比较法、分析法、综合法、数学归纳法等），使学生较灵活的运用常规方法 （即通性通法 ）证明不等式的有关问题；4通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力； 5能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题6通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部 分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力在应用不等式的基本 知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意识 二考试要求：1理解不等式的性质及其证明。 2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。 3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。4掌握简单不等式的解法。5 .理解不等式 |a|-|b|w |a+b|w |a|+|b。三教学过程：（I）基础知识详析1. 解不等式的核心问题是不等式的同解变形，不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方 程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化.在解 不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式， 通过构造函数、 数形结合， 则可将不等式的解化归为直观、 形象的图形关系， 对含有参数的不等式， 运用图解法可以使得分类标准明晰.2. 整式不等式 （主要是一次、二次不等式 ）的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及函数的单调性，将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式（组 ）是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们 有机地联系起来，相互转化和相互变用.3. 在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数 的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰.通过复习，感悟到不等式的核心问题是不等式的同解 变形，能否正确的得到不等式的解集，不等式同解变形的理论起了重要的作用.4 比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法，比较法的一般步骤是：作差（商）t变形t判断符号（值）.5.证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强，这对发展分析综合能力、正逆思维 等，将会起到很好的促进作用在证明不等式前，要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系，选择 适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等 式得到证明； 反之亦可从明显的、 熟知的不等式入手， 经过一系列的运算而导出待证的不等式， 前者是“执 果索因”，后者是“由因导果” ，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相 成，达到欲证的目的6证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的 基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思 维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点7不等式这部分知识，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用因此不等式应用问题体 现了一定的综合性、 灵活多样性， 这对同学们将所学数学各部分知识融会贯通， 起到了很好的促进作用 在 解决问题时，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解 或证明不等式的应用范围十分广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程（组）的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最 小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。&不等式应用问题体现了一定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等 式；另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时，要特别注意“正数、定 值和相等”三个条件缺一不可，有时需要适当拼凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步 骤：10审题，2建立不等式模型，3解数学问题，4作答。9 .注意事项：解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简单的一元一次不等式（组）或一元二次不等 式（组）来求解，。解含参数不等式时，要特别注意数形结合思想，函数与方程思想，分类讨论思想的录活运用。不等式证明方法有多种，既要注意到各种证法的适用范围，又要注意在掌握常规证法的基础上，选 用一些特殊技巧。如运用放缩法证明不等式时要注意调整放缩的度。根据题目结构特点，执果索因，往往是有效的思维方法。（U） 2004年高考数学不等式综合题选1. （2004年高考数学广西卷，5）函数y二log（X2 - 1）的定义域为（） 2A L.2,_11,2】B (- 2-1)(1八2)D (-2,-1) (1,2)答案：A2. （2004年高考数学广西卷,8）不等式1 |x+1 3的解集为A 0,2-2,0(2,4) C.-4,0-4,-2(0,2)答案：D3（2004年高考数学广西卷,11)设函数f （X） =(x 1)2, x 14 - x -1, x _ 1，则使得f（x）1的自变量X的取值范围为A -: -, 20,10】B -二,-2】0,11C -二，-2丨 1,10】D -2,01,101答案：A4（2004年高考数学广西卷,19)某村计划建造一个室内面积为2800 m的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留 3 m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？分析：本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，贝U ab=800.蔬菜的种植面积S =(a -4)(b -2) =ab -4b -2a，8 = 808 -2(a 2b).所以 S 岂 808-4 2ab =648(m2).当 a =2b，即a = 40(m),b = 20(m)时,S最大值=648(m2).答：当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m25. (2004年高考数学江苏卷,1)设集合P=1，2, 3, 4 , Q=xx 2,x R，则 PA Q 等于()A. 1 , 2答案：A3，4D. -2,-1, 0, 1 , 26. (2004年高考数学江苏卷,10)函数f(x)=x3_3x1在闭区间-3 , 0上的最大值、最小值分别是A. 1,1 , -17C . 3, -179, -19答案：C7. (2004年高考数学江苏卷,12)设函数Xf(x)Jx R),区间M=a , b(a0的解集是.答案：(-：，-2)(3：)9. (2004年高考数学江苏卷，22)已知函数f(x)(xR)满足下列条件：对任意的实数X1, x?都有2Xx X2) (X1 X2)f(Xj f(X2)和 f(X1)f(X2)乞 X1 -X2 ,其中入是大于0的常数设实数 a, a, b满足f(a0) = 0和 b = a- X(a)(I )证明入一1，并且不存在ba，使得f (b )=0 ;2 2 2(n )证明(b -a。)(1 -入)(a -a。);2 2 2(川)证明f(b)_(1 - X )f(a).分析：本题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力。证法一 :(I)任取为，x2 - R,xi = x2,则由(为-x2)2 三(捲-x2) f (xj - f (x2)和 | f (xj - f (X2) I-1 X1 -X2 |可知(X1- X2)2_(X1- X2)f(X1) - f(X2)-| X1- X2I I f(X1)- f(X2) |_| X1- X2|2,从而岂1.假设有b0=a。,使得f(b)=0,则由式知0 一(a。-b。)匕(a。一b)f (a。)一 f(b。) =0矛盾.不存在 bo - a。,使得f(b。)=0.(II)由 b = a - f (a)2 2 2 2 2可知(b-a。)二a-a。一 ；f (a) =(a-a。)一2 (a-a。)f (a) ： ； f (a)由 f (a。)=。和式，得(a -a。) f (a) =(a - a。) f (a) - f (a。)亠工(a -a。)2由 f(a。)=0和式知，f (a)2 二f (a) - f (a。)2 乞(a - a。)22 2 2 2 2 2由、代入式，得(b-a。)_(a-a。)-2 (a-a。)- - (a-a。)29=(1 -，)(a - a。)(ill)由式可知f(b)2 =f (b) - f(a) f (a)2珂 f(b)-f(a)22f(a)f(b)-f(a) f (a)2乞(ba)2 -2 f(b) f(a) f(a)2(用式)A2 2 2 2=-f (a) (b a)f(b) f(a) f(a)f (a)2(b-a)2 f(a)2(用式)八2f(a)2 -2 2f(a)2f(a)2= ( 2)f(a)2证法二：题目中涉及了八个不同的字母参数a,b,a,b0,x,Xi,X2j以及它们的抽象函数值f(*)。参数量太多，让考生们在短时间内难以理清头绪。因而解决问题的关键就在于“消元”一一把题设条件及欲证关系中的多个参数量转化为某几个特定变量来表示，然而再进行运算证明。“消元”的模式并不难唯一，这里提供一个与标准解答不同的“消元”设想，供参考。题设中两个主要条件是关于 x2与f (x., f(x2)的齐次式。而点(为十(为)、(x2, f (x2)是函 数图象上的两个点，f (Xi) - f (X2)/Xi -X2是连接这两点的弦的斜率。若欲证的不等式关系也能转化为这样的斜率表示，则可以借助斜率进行“整体消元”。设x, x2为不相等的两实数，则(x, -x2)2 0, | x x2 | 0由题设条件可得：f (Xi) - f(X2)f (Xi) - f(X2)0和 | -1。% _x2為 _x2令 k _ f(Xi) - f(X2)X1 -x2则对任意相异实数 x1,x2，有0 ：乞k及|k I辽1，即0，乞k乞1。由此即得 1；又对任意x, =x2有k 0 ,得函数f (x)在R上单调增，所以函数f (x)是R上的单调增函数。如果 bo- ao，贝U f (bo)= f (ao)，因为 f (a。)=0，所以f (b)= 0。即不存在b=a。，使得f (b0) =0。于是，(i)的结论成立。考虑结论(n):因为b = a - f (a)，故原不等式为a - a0 - f (a) 一(1 -，)(a - a0);当a二a。时，左右两边相等；2当a =a0时，(a -a) 0 ,且f (a) =0，则原不等式即为：2a -a0 - f (a) ，f (a0)22 1 - ,(a -a0)令k =丄引f (a)，则原不等式化为(1 一人k)2兰1 一九2，即为X(1 + k2)兰2k。a - a因为0 ： 乞k乞1，则-k2 一 一 k ,所以工川Lk2 _ 2k成立，即(n)中结论成立。再看结论(川):原不等式即f(b)2 -f(a)22f(a)2 岂 0,即f (b) - f (a) f (b) - f (a) +2f (a) + 人2 f (a)2 兰0，注意到 b = a -(a)，则b _a 二-f (a)，则原不等式即为f(b) - f (a) f (b) - f (a) - 2(b - a)厂(b-a)2 乞 0即血 f (b) - f (a)一2 . 1乞0，令k二f(b)-f(a)，则原不等式即化为 baba 人b ak(k -2/ )0，即 k2 乞 2k，因为 0 ： -k -1 y k2 _ - k，所以k2 乞2k成立，即(川)的结论成立。在一般的“消元”方法中，本题三个小题中不等关系的证明过程差异较大。尤其是(n)与(川),许多尖子学生证明了(n)的结论而不能解决(川)。借助斜率k “整体消元”的想法把(n)、(川)中的不等关系都转化为相同的不等关系 k2 乞2k，然后由条件0 _k 1推证，有独到之处。(川)范例分析y)|x = (y+3)|y-W+3), -|y3).若b) M，且对 M中的其它元素(c, d)，总有 Oa,贝U a=.分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口.怎样理解“对M中的其它元素(c, d),总有 O a”？ M中的元素又有什么特点？解：依题可知，本题等价于求函数 x=f(y)=(y+3) Ty-1|+(y+3)在-吕时的最彳値5125(1) 当辽yl时x = (y + 3)(l-y)+(y + 3) = y y+6= -(y + -)3+ .59所以y = *时，二?39(2) 当 K y 二因此当厂-訶，毬有最水值,即汗,4244说明：题设条件中出现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质.即求 集 合 M中 的 元 素 满 足 关 系 式= (y +3) |y -l(y+ 3), -3 的所有点中横坐标最小的曰值.例2.解关于x的不等式：xxa a2 29x - 9ax - 2a 0当xca时不等式可化为丿x a2即_ax(a x)乞 2ax a- 2 29x-9ax 2a-0故不等式的解集为(:,旦3例3.己知三个不等式：.x + 22245 x2-3x2 2x+mxT(1) 若同时满足、的 x值也满足，求 m的取值范围；(2) 若满足的x值至少满足和中的一个，求m的取值范围。分析：本例主要综合复习整式、分式不等式和含绝对值不等的解法，以及数形结合思想，解本题的关键弄清同时满足、的 x值的满足的充要条件是：对应的方程的两根分别在_：,o和3/：)内。不等式和与之对应的方程及函数图象有着密不可分的内在联系，在解决问题的过程中，要适时地联系它们之间 的内在关系。解：记的解集为A，的解集为B，的解集为C。解得 A=(-1，3)；解得 B= 0,1) 一(2,4 |. A -0,1)(2,3)(1)因同时满足、的 X值也满足，A BMC2设f(x) =2x mx 1，由f (x)的图象可知：方程的小根小于0,大根大于或等于 3时，即可满足心0即3m+17 兰0173(2) 因满足的x值至少满足和中的一个,CAB,而AB = (-1,4-1，大根小于或等于 4，因而此C (-1,4 1方程2x2，mx-1=0小根大于或等于f(-1) =1 -m031f(4) =4m+31 X0,解之得一兰m 兰141_ _ 一 一 2说明：同时满足的x值满足的充要条件是：对应的方程 2x +mx-仁0的两根分别在(-8, 0)和3 , +R)内，因此有f(0) V 0且f(3) 5.分析：回忆二次函数的几种特殊形式.设f(x)=ax 2 +bx+c(a工0).顶点式.f(x)=a(x-x 0) +f(x 0 )(a 丰 0).这里(x 0, f(x 0)是二次函数的顶点，x 0 = -b4ac f(坯)二一-1零点式.f仗)二緞-込)优-知)魚工0).这里智却2a4a是使f(x)二0的值满尼q+抵二上，紺阳二三点式.设仗,aa)、(x2 , f(x2)、(x3, f(x3)是二次函数图象上的不同三点，则系数a, b, c可由ff(xj)=叫+c,f(x2) = ax . +bxs +c, 确定)= ax 护 + c.L证明：设二次三项式为：f(x)=a(x-x 1 )(x-x 2), a N.依题意知：0Vx1 V 1, 0v x2 V 1,且x1丰x2 .于是有f(0) 0, f(1) 0.又f(x)=ax 2 -a(x 1 +x 2 )x+ax 1 x 2为整系数二次三项式，所以 f(0)=ax 1 x 2、f(1)=a (1-x1)(1-x 2)为正整数.故 f(0) 1, f(1) 1.从而 f(0) f(1) 1.口七丹门宀+ (1 -込)：另一万面，幻(1衍)抵=-且由xi x2知等号不同时成立，所以二-二.二；”.-.二I ；,16/1 q对刼(1-孔)左日由、得，a2 16又a N，所以a5.说明：二次函数是一类被广泛应用的函数，用它构造的不等式证明问题，往往比较灵活根据题设条件恰 当选择二次函数的表达形式，是解决这类问题的关键.例5设等差数列a n的首项al 0且Sm=Sn(m丰n).问：它的前多少项的和最大？分析:要求前n项和的最大值，首先要分析此数列是递增数列还是递减数列.解:设等差数列a n的公差为d，由Sm=Sn得阿+ 诚： 1)仁叽 + ； * do 2(m-+dm2 _r? -(m -n) = 0 绍1JmP n = d= m + n -1 = d数列 J是递减数列，所以存在圧N,使 勾0ak0,且 ak+1 v0.m +口 -12aL + (k + l)*2&1 1 0m +n -1_2&1 /aL +k 0m +n -1(k N).(1)当仙li奇偶时，k二皿+：* 1此时 =%如i=0.所以 数列傀的前巴尹项和与巴宁顶和相等且最大.当仙n同奇偶时，k二豊二此时社二亦讪二切2亍T+1+ 1G所渊列和的前甲项和最尢是f(x)说明：诸多数学问题可归结为解某一不等式一(组).正确列出不等式(组),并分析其解在具体问题的意义, 得到合理结论的关键.分析：要求f(-2)的取值范围，只需找到含人f(-2)的不等式(组).由于y=f(x)是二次函数，所以应先将f(-2)的不等式(组)，即可求解.(I)例6.若二次函数y=f(x)的图象经过原点，且 K f(-1) 2, 3 f(1) 4,求f(-2)的范围.的表达形式写出来.即可求得f(-2)的表达式，然后依题设条件列出含有解：因为y=f(x)的图象经过原点，所以可设y=f(x)=ax 2+bx .于是13f(l)4.|3a +b4.22a-2b4t42a6.解法一(利用基本不等式的性质) 不等式组(I )变形得n 64a-2b 6f(-2)10其中等号分别在存j与存？时成立.且存？与满足 b = 1. |b = 1.|b = 1. |b 二 1.(I )所以f(-2)的取值范围是6 ,10.解法二(数形结合)I4r2b-C-2)=0图6建立直角坐标系 aob,作出不等式组(I )所表示的区域，如图 6中的阴影部分因为 f(-2)=4a-2b，所 以4a-2b-f(-2)=0表示斜率为2的直线系.如图6，当直线4a-2b-f(-2)=0过点A(2 , 1), B(3 , 1)时，分别取 得f(-2)的最小值6，最大值10.即f(-2)的取值范围是：6 f(-2) 10.解法三(利用方程的思想)又 f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而1 f(-1) 2, 3W f(1) w 4,所以3 3f(-1) w 6. + 得 4w3f(-1)+f(1) w 10,即 6w f(-2) w 10.说明：(1)在解不等式时，要求作同解变形.要避免出现以下一种错解：将不等式组(I )变形得4 2a1% 6, l2b3.f2a3,PRO而 f(2) = 4a -2b, 8w 4aw 12 , -3w -2bw -1，所以 5wf(-2) w 11.(2)对这类问题的求解关键一步是，找到f(-2)的数学结构，然后依其数学结构特征，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题若长 期这样思考问题，数学的素养一定会迅速提高.例7. (2002江苏)己知a0,函数f(x) =ax-bx2,(1) 当b 0时，若对任意R都有f x 1,证明：a-2；b;(2) 当b时，证明：对任意0,1, |f(x)性1的充要条件是b-1乞a岂2、b ；(3) 当0 ： b乞1时，讨论：对任意 0,1 , | f(x)Q的充要条件。2证明：(1)依题意，对任意 X，R，都有f(x) -1 f (x -b()2 2b 4b2-f (2)=旦 1, a 0,b0 a 2 b.2b 4b(2) 充分性：；b .1,a_b-1,对任意X，0,1】,可推出：ax bx2 _b(x x2) x _ -x _ -1,即ax -bx2 _ -1;又；b .1,a _2、b,对任意0,1 可知ax -bx2 三2、bx -bx2 三(2 . bx -bx2)max2bx 1= 2、b 1 -b ( 1 )2 =1,即axvbJb.1Ef(x)叮：1，由 f x - 1知 f必要性：对任意 x 0,1 丨 f(x)空 1, f(x)_-1,.f(1)_-1即a b _ -1. a _ b -1;又 b 1 0 :即2 1 兰1,二 a E2jb,故b 1 兰a 兰2 Jb丿b综上,对任意x 0,11 f (x)兰1的充要条件是b-1兰aE2j(3) a 0,0 : b 1时,对任意x0,1 丨 f (x) = ax - bx2 _ -b _ -1即 f (x) _ -1;又由f (x)乞 1 知f (1) 0, b0, a3+b3=2 .求证 a+b2, ab 0, b 0, a3+b3=2，所以33332222(a + b) -2 =a +b +3a b+3ab -8=3a b+3ab -6332=3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a +b )=-3(a+b)(a-b) w 0, 即(a+b)3w 23.又a+b0j 所以a+b 0, b 0, a3+b3=2，所以2 = a3 +b3故又 a + b = a( 1*1* 1 + b* 1 1=3 J/Q 2妤.a3 +1 + 1 I+1 + 1 a3 +b3+46 、 0, b0，所以 m0, n0 且厶=m2-4n 0.因此 2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b)2-3ab=mm2-3n，所以2 3 3 缶将代入得垃匚4(牛二)0,即 斗空;0.所!U -m3+83 3m3m0i 即mV2,所以a+bw 2.由2 m得4m2,又 m24n，所以44n,即nW 1.所以 ab 0, b 0, a3+b3=2，所以2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)(2ab-ab)=ab(a+b),于是有6 3ab(a+b)，从而8 3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3 , 所以a+b 2.(以下略) 证法五(利用公式(几因为a3 + b5 a + b 2 _ (a + b)4a2 + 4b3 - 4ab - a2 - b3 - 2ab(丁)88所以对任意非员实数弘b有(学几因为QQb谊+1=2所以1二丁(冗因此 即a+b 2,则a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a+b) 2-3ab 2(22-3ab).因为 a3+b3=2，所以 2 2(4-3ab)，因此 ab 1 .另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab) (a+b)(2ab-ab)=(a+b) ab2ab,所以abv 1.于是与矛盾，故 a+b 1. 4|a|4 虻b3 - 4ac |ba -4ac|1If(列)Fli、4a2f(x)=a(x-x 0) +f(x0).由宀4莎-1 ；成立”4阖说明：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，如果针对题设条件，合理采取 二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径.例10. (2002理)某城市2001年末汽车保有量为 30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6% ,并且每年新增汽车数量相同。为了保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设2001年末的汽车保有量为 ai，以后每年末的汽车保有量依次为a2,a3，每年新增汽车x万辆。XX由题意得 an q =0.94an x即an i0.94(an )0.060.06an =(30)0.94n J 0.06 0.0630令an 乞60,解得 x (30口) 0.061-0.94上式右端是关于n的减函数，且当n时，上式趋于3.6故要对一切自然数n满足an 60,应有x_3.6,即每年新增汽车不应超 过3.6万辆例11.已知奇函数f (x)在(-：,0) 一(0, ：)上有定义，在(0, 二)上是增函数,f =0,又知函数 g( J = sin2) mcos ： - 2m,)0,集合2M 二 m恒有g(r) ： 0； N -m恒有f (g(r) ： 0；求MN分析：这是一道比较综合的问题，考查很多函数知识，通过恰当换元，使问题转化为二次函数在闭区间上 的最值问题。解；奇数函数f(x)在(0, ：)上是增函数，.f (乂)在(-：,0)上也是增函数。又由f=。得f(w-f满足嚮;)：0=f(_1)的条件是乃(日)0 曰但)一1即g(v)： -1(0,，即 sin2 v mcos： _2m ： -1,也即一cos2 v mcor -2m 2 ： 0令 t =cosr,则t 0,1,又设、(t) - -t2 mt - 2m 2,0 _ t _ 1 要使(t) 0,必须使: (t)在0,1内的最大值小于零m 0-2m 2 ：020当0巴汨即0空m 2时，、2解不等式组冬m乞22m -8m 82m -8m 8max：0得4一2、2 : m 乞210当号2im +1 0得me 2max30当m A1即口2时，5(t)max =-m+1,解不等式组2综上：M - N4-2、2 例12.如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。yf才4M： X)（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽 丨是多少？（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高 h和拱宽丨，才能使 半个椭圆形隧道的土方工程最小？（半个椭圆的面积公式为s=1|h,柱体体积为：底面积乘以高,42 = 1.414，：7 = 2.646本题结果均精确到 0.1米）分析：本题为2003年上海高考题，考查运用几何、不等式等解决应用题的能力及运算能力。解：1）建立如图所示直角坐标系，则P（ 11, 4.5）2 2椭圆方程为：笃召=1a b将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程得a = 竺7,此时I = 2a = 8y : 33.3故隧道拱宽约为22 2乞丄“得1L.竺2, 2 _ 1 2, 2a ba b2 114.5,.ab _ 99ab二 二 ab 99 二.s Ih,当s最小时有42233.3 米2）由椭圆方程1124.52a2b21 124.5212a.a =11、. 2,b 二2此时 I =2a : 31.1,h 二b : 6.42故当拱高约为6.4米,拱宽约为31.1米时,土方工程量最小例13.已知n N, n1 .求证:-1、州1_72n + l，它具有较好规律，因分析：虽然待证不等式是关于自然数的命题，但不一定选用数学归纳法，观其“形” 此不妨采用构造数列的方法进行解.证明 i騒二（1 + （1 + 头（1+丄池2）, S = J2n + l（n2） 5 j2ll -1则问题制为证咏十迁,又亍命r只需证明数列台是递増数列即可.i殳%1 1 1（1+ -）（1 + U +7-77）f（n） -一； - H （n2）,+1血匚1(1 冷(1 母 ejq)迪+1) (1+知丫+&1+詁寻f(n)J2(n+l”l-(1十县厂窗_ 细+ D72n+l(2n + lX2n+35二迪+1)绅 + 1)陋斗1亍-1 顾疔 ”即f(n + l)f(臥所甌11)(2)、说明：因为数列是特殊的函数，所以可以因问题的数学结构，禾U用函数的思想解决.2例14.已知函数f(X)=X2 -2x 2x -1设x是正实数，求证：f x i r-f Xn 1 _2n -2.(1)设x 1,0 t 2 .|tX 一 =2当且仅当tx =1时，上式取等号。叮 0 c x 2s=(t +x + t _x? =2(t2 +x2) + 2t2 _x2 _(t + x +|t X)2 = 2(t2 + x2)十2t2 _x2当t - x时,s=4t2 乞 4;当 t x时s = 4x2 ： 4二 t +x| +|t -x M2 c f (tx +1)即t +x| +|t _x| | f (tx +1)(2) n =1时，结论显然成立当 n 一2 时，If (x 1) n - f (xn 1) =(x 丄)n -(xn 4?HCn1xxx22 1 n4 1 1n2 2 4n_2Cn x 乔 Cn X 百=CnX Cn X CnxX4 Cn1 1) Cn2(Xn，二) Cnn4W 丄2 _xxxn 412-9 xx丄+C4x2 2丄-2x12xn -1212n-!】12n_1n(Cn Cn . CnVn CnCn =22例15. (2001年全国理)己知i,m,n是正整数，且1 ： i咗m ： n(1) 证明：niAmi n nAnir i n(2)由二项式定理有(1 m)n(1 ： i m ： n),而CniAn QCn八mi ：0二俎-i!iCnim,(1 n)m八 nCm由(1)知 miAnDmi z0i i .m Cnn Cm (1 ： i m ： n)m因此7 m i ：2C,niCmi,又moCi=2no o11二 n Cm1,mCn nCm二 mn,mC, 0(m : n). mC, nUm即(1 m)n(1 n)m。i =Q四、强化训练1.i =02.已知非负实数x，7A.-3y 满足 2x 3y 8 乞0 且 3x 2y7 空0 ,B. 83则x y的最大值是()已知命题p :函数C. 2y =log0.5(x2 +2x+a)的值域为 R，命题 q：函数 y = -(5-2a)xn m是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数 a的取值范围是()A . a 1B. a2C. 1a2D . a2a -x3. 解关于x的不等式 0x2-2x -34. 求a, b的值，使得关于 x的不等式ax2+bx+a2-1 0,xn出xn +旦，n N*Xn 丿(1) 证明：对于n 一 2,总有xn _-,a,(2) 证明：对于n _ 2,总有xn _焉彳.27. 设P=(log2x) +(t-2)log 2X-t+1，若t在区间-2 , 2上变动时，P恒为正值，试求 x的变化范围. &已知数列an 的通项为an,前n项和为sn,且an是sn与2的等差中项，数列：中，b1=1，点 P ( bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上。I)求数列an Ubn 的通项公式an,bnu)设 b 的前n项和为Bn,试比较.与2的大小。B1B2Bn眄设Tn=bl b2 . bn,若对一切正整数n,Tn .c(c Z)恒成立,求c的最小值ai a2an五、参考答案1解：画出图象，由线性规划知识可得，选D2解：命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数x2 2x a的判别式：_4 -4a _0,从而 a _1 ；命题 q 为真时，5 - 2a .1= a ： 2。 若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。 若p为真，q为假时，无解；若 p为假，q为真时，结果为1a3时，由图3知不等式的解集为&x-1或3cxca4 分析：方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关，要善于把它们有机地联系起来, 相互转化和相互交通.解(1)由题意可知，a 0且-1, 2是方程ax2+bx+a2-1 0,j A = b2 4a(a2 -1) = 0.解得“2 + 6 b二加鸟由题意知，a=0. bv 0，且-1是方程bx+a2-1=0的根，即-b+a2-1=0，所以说明：二次函数与一元二次方程、a=0， b=-1 .一元二次不等式之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间相互联系相互渗透，并在一定条件下相互转换。5分析：在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较 简单的或基本不等式，通过构造函数，数形结合，则可将不等式的解化归为直观，形象的图象关系，对含 参数的不等式，运用图解法，还可以使得分类标准更加明晰。解：设t =ax，原不等式化为,1 -X2 a-t（t 0）设力二胡一忙亿.0）,y2=a-t，在同一坐标系中作 出两函数图象yi(2)y2,故(1 )当 0 : a : 1 时,0 : t 1,即0 : ax 乞 1. x 0, ：)当10及人+=】（人+旦）知Xn aQ从而Xn_1（Xn +旦）土 Xn，旦=加（n迂N）2Xn2 人 Xn(2)当 n _2时,=2(Xna ), Xn 1 -XnXnXn21 a -Xn2Xn乞 0. n 一 2时,Xn _Xn q成立7分析：要求X的变化范围，显然要依题设条件寻找含X的不等式（组），这就需要认真思考条件中“t在区间-2 , 2上变动时，P恒为正值 ”的含义你是怎样理解的？如果继续思考有困难、请换一个角度去思 考.在所给数学结构中，右式含两个字母X、t , t是在给定区间内变化的，而求的是X的取值范围，能想到什么？解：设P=f（t）=（log 2X-1） t+log 22x-2log 2X+1 .因为P=f（t）在top直角坐标系内是一直线，所以t在区间-2 , 2上变动时，P恒为正值的充要条件log农-41ogas 十30, logx -10解得 Iog2x3 或 Iog2xv -1.即乂的取值范围是(0,U (8, +).说明：改变看问题的角度，构造关于t的一次函数，灵活运用函数的思想，使难解的问题转化为熟悉的问题.&分析：本题主要复习数列通项、求和及不等式的有关知识。略解：I) an =2n,bn =2n -12n )Bn=1+3+5+(2n -1)=nB1B2Bn1 1 1 + 一 + +2 21 232：1 -1+122 3+ (n_1). n=1 (1-1)(1 -1).(223n1=2丄：2 1nB11+B2川)Tn= 1222 222n1Tn =2222n _1 -得2Tn1 一亠32*2n -12*1Tn =32*二2n32n又T4冷手右厂37 2.满足条件Tn : c的最小值整数c = 3。