圆锥曲线一个有趣性质的再推广

圆锥曲线一个有趣性质的再推广张元方（四川省宜宾市商业职业中等专业学校 644000）文1中给出了如下性质：性质 过圆锥曲线的一个焦点的任一直线（不与焦点所在坐标轴重合）交于不同两点，和另一焦点相对应的顶点与这两点的连线分别和相对应的准线交于另两点，则以准线上这两点为直径端点的圆必过的焦点借助几何画板，经笔者研究发现：以上性质中的顶点改为圆锥曲线上任一点，结论仍然成立于是得到如下推广性质：性质1 如图1，设抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，是抛物线上的任一点，直线分别与准线交于两点，则以线段为直径的圆必过焦点证明 设，,直线的方程为，联列方程组，消去，得，由韦达定理得：直线的方程为，令，得，从而，同理可得，所以,于是所以，即以线段为直径的圆必过焦点性质2 如图2，设椭圆的一个焦点为，相对应的准线为，过焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆上的任一点，直线分别与准线交于两点，则以线段为直径的圆必过焦点证明 设，直线的方程为，联列方程组，消去，得，由韦达定理得： ，从而直线的方程为，令，得，从而，同理可得，所以，于是所以，即以线段为直径的圆必过焦点性质3 如图3，设双曲线的一个焦点为，相对应的准线为，过焦点的直线交双曲线于两点，是双曲线上的任一点，直线分别与准线交于两点，则以线段为直径的圆必过焦点证明仿照性质2，此处略综合性质1,2,3，可得：统一性质 设圆锥曲线的一个焦点为，相对应的准线为，过焦点的直线交圆锥曲线于两点，是圆锥曲线上的任一点，直线分别与准线交于两点，则以线段为直径的圆必过焦点参考文献：1 陈广权圆锥曲线又一有趣性质数学通讯，2011（1）（下半月）作者简介：本人张元方，男，74年9月出生，98年毕业于重庆师范大学数学系，现在四川省宜宾市商职校从事数学教学，中学一级教师。通讯地址：四川省宜宾市翠屏区南岸长江大道中段20号区社保局 张妍收 邮编：644000联系电话：13778932060 Email：zyf780206