概率论与数理统计习题答案复旦大学出版社

概率论与数理统计习题及答案习题1.见教材习题参考答案.2.设A, B, C为三个事件，试用 A, B, C(1) A发生，B, C都不发生；(2) A与B发生，C(3) A, B, C都发生；(4) A, B, C(5) A, B, C都不发生；(6) A, B, C(7) A, B, C至多有2个发生；(8) A, B, C至少有2个发生.【解】(1) ABC (2) ABC (3) ABC(4) A U BU C= ABC U ABC U A BC U ABC U AB CU ABC U ABC= ABC(5) ABC = A B C (6) ABC(7) ABCU AB CU ABC U AB CU A BC U AbC U ABC = ABC = A U B U C(8) AB U BCU CA=AB C U ABCU ABCU ABC3. .4. 设 A, B 为随机事件，且 P (A) =0.7,P(A-B)=0.3,求 P ( AB ).【解】 P ( AB ) =1-P (AB) =1-P(A)P(A-B)=1 -0.7 -0.3=0.65. 设 A, B 是两事件，且 P (A) =0.6,P(B)=0.7,(1) 在什么条件下P (AB(2) 在什么条件下P (AB【解】(1)当AB=A时，P (AB)取到最大值为0.6.(2) 当A U B=Q时，P (AB)取到最小值为 0.3.6. 设 A, B, C 为三事件，且 P (A) =P (B) =1/4, P (C) =1/3 且 P (AB) =P (BC) =0 , P (AC) =1/12，求A, B, C至少有一事件发生的概率 .【解】 P (A U BU C) =P(A)+P(B)+P(C)_P(AB)_P(BC)_P(AC)+P(ABC)_11 11 _34 4 3 一12一45张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率7. 52张扑克牌中任意取出13张，问有是多少？P533213【解】p C13C13C13C13 / C528.(1) 求五个人的生日都在星期日的概率；(3) 求五个人的生日不都在星期日的概率【解】(1)设A1= 五个人的生日都在星期日、11、5P (A1)=-5=()757(2)设A2=五个人生日都不在星期日(2) 求五个人的生日都不在星期日的概率；.，基本事件总数为 75,有利事件仅1个，故(亦可用独立性求解，下同)，有利事件数为65,故23P (A) =65=(6) 757(3)设A3=五个人的生日不都在星期日1 5 P (A3) =1-P(A)=1 -(亍)9. 见教材习题参考答案.10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件(nN).试求其中恰有 m件(m30.【解】设两人到达时刻为 x,y，则0V x,y v 60.事件“一人要等 如图阴影部分所示.P=602 422.0, 1)中随机地取两个数，求：(1) 两个数之和小于 6的概率；5，、1 ,一(2) 两个数之积小于 一的概率.4【解】 设两数为x,y,则0x,y1.(1) x+y6.51 4 4 p1 一255 =!Z =0.681 25(2) xy= 11至少必须进行11次独立射击.32. P (A| B) =P(A | B),贝U A, B 相互独立.P(AB) P(AB)【证】 P( A| B P(A|B)= _P(B) P(B)亦即P(AB)P(B) = P(AB)P(B)P(AB)1 _ P(B) =P(A) _P(AB)P(B)因此P(AB) = P(A)P(B)故A与B相互独立.111q_，、一 ,33. 1 , - , 1 ,求将此密码破译出534的概率.【解】设Ai=(第i人能破译 (i=1,2,3),则3P(jA) =1 -P(A1A2A0 =1 -P(A)P(A2)P(A3),4 2 3 =1 一 一 一 一 = 0.65 3 434. 0.4,0.5,0.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为 0.2;若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6;若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率【解】设A=(飞机被击落, Bi=恰有i人击中飞机, i=0,1,2,3由全概率公式，得3P(A)P(A|Bi)P(Bi)i =0=(0.4X 0.5 X 0.3+0.6X 0.5X 0.3+0.6X 0.5X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5X 0.3+0.4 X 0.5X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0.4 X 0.5 X 0.7=0.45835. 25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：(1)虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率【解】(1)p1 = C%(0.35)k(0.65)10飞=0.5138k q(2) p2=E Cko(0.25)k(0.75)10=0.2241 k J36. 6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层 .试求下列事件的概率:(1) A=某指定的一层有两位乘客离开；(2) B= “没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；(3) C=恰有两位乘客在同一层离开；(4) D=至少有两位乘客在同一层离开【解】由于每位乘客均可在 10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.(1) P(A)=Cg，也可由6重贝努里模型:1062 12 9 4P(A)=C6( 一) (_)1010(2)6个人在十层中任意六层离开，故p6P(B) =11106(3) 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有c1 0种可能结果，再从六人中选二人在该层离开， 有C2种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有 c；c4c8种可能结果；4人同时离开，有 c9种可能结果;4个人都不在同一层离开，有 P4种可能结果，故p(C) = c1c2(c9c4c8+c9+p4)/1。6(4) D= B .故p0PQECB)137. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：(1)(2)(3)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；甲、乙、丙三人坐在一起的概率；【解】如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率(1)P1 =n T P1n!38.0, a【解】设这三段长分别为x,y,ay.则基本事件集为由0xa,0ya,0ax-ya所构成的图形，有利事件集为由x+ya - x - yx + (a_x_y)yy+(a_x_y)x构成的图形，即I。a . x + y 乙反) E 一 1因此P (甲正乙正)=-246.(Sure-thing):若 P (A|C) P(B|C),P(A|C ) P(B|C),则 P (A) P(B).【证】由P (A|C) P(B|C),得P(AC) P(BC)P(C) 一 P(C)即有P(AC) _ P(BC)同理由P(A|C) _P(B|C),P(AC) _ P(BC),P(A)= P(AC) P(AC) _ P(BC) P(BC) =P(B)47.一列火车共有 n有一个旅客的概率.【解】 设Ai=第i节车厢是空的 , (i=1, ,n)，则P(A)2n节车厢,有k(k n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少二 ()knP(AiAj) =(1-2)kn_n -1 kP(A.&An1) =(1 -)k- n其中 i1,i2, ,in_4是 1, 2, , , n 中的任 n1 个.显然n节车厢全空的概率是零，于是一n1k 11k$ =p(a)=n(1-) =Cn(1- )idnn22 kS2=，P(AiAj) C(1- )k1&：jinn&】=ZP(A1Ai22=商(1-2)k1JM：2f _nnSn =0nP( Ai) =5 -S2 S3-(-1)n1Sni :11 k 22 knn1n _ 1 k= Cn(1 ) Cn(1_ ) + +( 1) CP ) nnn故所求概率为1挪(&)=1一勇(1一与+。2(1一2)一+(一1)七(1-堂广1nnn48. 设随机试验中，某一事件A出现的概率为 0.试证明：不论 0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则 A退早会出现的概率为 1.【证】在前n次试验中，A至少出现一次的概率为1_(1一 ；)n 1(n 二)49. 袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A=投掷硬币r次都得到国徽B=(这只硬币为正品由题知P(B)= m ,P(B)= nm nm n1P(A|B) =27,P(A|B)=1则由贝叶斯公式知P(B|A)=冬=P(B)P(AIb)P(A) P(B)P(A| B) P(B)P(A|B)m 1 my一 mm V n 1 m 2rn m n 2r m n50. 巴拿赫(Banach)火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有r根的概率又1【解】以Bi、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1) = P(B2) = . (1)发现一盒已空，2另一盒恰剩r根，说明已取了 2n-r次，设n次取自B盒(已空)，nT次取自B2盒, 第2n-r+1次拿起Bi,发现已空。把取 2n-r次火柴视作2n-r重贝努里试验，则所求 概率为n . 1 . n 1 n -r 1 n 1P1 =2C2n_r( ) (一)Cn+nT2 222式中2反映B1与B2盒的对称性(即也可以是 B2盒先取空).(2) 前2nT7次取火柴，有 n-1次取自B盒，nT次取自B?盒，第2n-r次取自B 盒，故概率为_n-1ln-1 In-l_n-1I 2n -r -4P2 =2C；nt 项匚沪侦)1=C；nt 项1) 222251.n重贝努里试验中A出现奇数次的概率【解】设在一次试验中 A出现的概率为p.则由(q + p)n =C：pqn +C1nPqnJL+C2p2qn + C：pnq0=1n 八0 0 n R n A 八2 2 n_2nf n 0(q-p) =Gpq CnpqCn p q -(-1) Cn p q以上两式相减得所求概率为八1n_j 八3 3 n_3a =CnpqCnpq= 11 -(q -p)n 2= ：1(12p)n2若要求在n重贝努里试验中 A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得p2 =11 (12p)n.252.设A, B是任意两个随机事件，求 P ( A+B) (A+B) ( A+B ) (A+B ) 的值.【解】因为(AU B) 口( A U B ) =AB U AB(A U B) (A U B ) =AB U AB所求(A B)(A B)(A B)(A B)= (AB AB) (AB AB)=0故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A, B和CABC=, P(A)=P(B)=P(C) 1/2,且 P (AU BU C) =9/16，求 P (A).【解】由 P(AUbUc)= P(A) +P(B) +P(C) -P(AB) -P(AC) -P(BC) + P(ABC)29= 3P(A)-3P(A)=万16故 P(A) = 1 或，按题设 P (A) ,故 P (A)=.442454设两个相互独立的事件 A和B都不发生的概率为1/9 , A发生B不发生的概率与 B发生A 不发生的概率相等，求 P (A).一 1-【解】P(AB)=职1 PA B9P(AB) = P(AB)P(A) -P(AB) =P(B) -P(AB)P(A) = P(B)由A,B的独立性，及、式有1-=1 P(A) P(B) P(A)P(B)92=1 -2P(A) P(A)22= 1 P(A)2,1故1-P(A) =3,24故P(A)=或 P(A)=(舍去)3 3s2即 p (A)=355.随机地向半圆0y0,P(A|B)=1,试比较P(A U B)与P(A)的大小.(2006研考)解：因为P(AUB) = P(A)+P(B)P(AB)P(AB) = P(B) P(A B) = P(B)所以P(A B) =P(A) P(B) -P(B) =P(A).