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完美格式整理版 第一篇、复合函数问题 ?B,则y关于A x函数的y=fy=f(u)的定义域为A,u=g(x)的值域为B,若一、复合函数定义: 设g(x)叫做函数f与g的复合函数,u叫中间量. 二、复合函数定义域问题: (一)例题剖析: ?)(fxg)f(x的定义域(1)、已知的定义域,求 x?Dg(x)ff(x)作用,作用范思路:设函数f,所以对的作用范围为D,又的定义域为D,即?)(fxgEx?D(x)?g的定义域。,E为 ,解得围不变,所以f(lnx)f(u)的定义域为(0,的定义域为_设函数1. 。,则函数 1)例u?(0,1)(uff,所以 的作用范围为(0,1)解析:函数)即0,1的定义域为(0?lnx?1 又f对lnx作用,作用范围不变,所以?(1,xe)f(lnx)的定义域为(1,故函数,e解得) 1?)xf(f?(x)f的定义域为_,则函数。例2. 若函数 x?11?1?x?|x?R1x?f(x),又即f的作用范围为f解析:由对f(x),知作用所以 x?1x?1?2?x?1且x?R|x)fxf(1(x)?f(x)?R且f? 应满足中x,即f(x)?1?)(fxgf(x)的定义域)、已知 的定义域,求(2?)(fxgg(x)?EDx?,所以思路:设,由此得f的作用范围为ED的定义域为,即,又f对x?E,Ef(x)的定义域。作用,作用范围不变,所以为 x?2,?1x?)?2xf(3f(x)的定义域为已知3. _,则函数。 的定义域为例?5,?2x?x?1,213?1,2?)x3?2(f 的定义域为,由此得解析:,即?51,?)xf( 即函数的定义域为f(x)2x的定义域为_,则函数例4. 已知。 2lg4)?f(x? 2x?822xx20?lg?(x?4)f)xf(,知的定义域为f解析:先求的作用范围,由 228?x8x? 学习好帮手 完美格式整理版 )?(4, ?)fxh()(fxg 的定义域(3)、已知的定义域,求?)fxg(E)?g(xDx?fx)h(,f对即由此得,的定义域为思路:设D又的作用范围为E,?)h(xfFx?E?x)h( 为的定义域。,解得F作用,作用范围不变,所以?x1,?1)(2f)xf(log 。,则的定义域为的定义域为_例5. 若函数21?xx11x1?,?1,)2f(2,2?,由此得的定义域为 解析:,即? 2?11?4?,2x?x2log,2,xlogf ,解得作用,所以的作用范围为又f对? 2222?4,2)(logxf 的定义域为即2(二)同步练习: 2f(x)?1,1f(x)0,11、的定义域。答案: 已知函数的定义域为,求函数f(3?2x)?3,3f(x)?3,9 的定义域。答案:的定义域为2、 已知函数,求13(?,0)?(1,)f(|2x?1|)0(x?2)(?1,y?f 22答案:求的定义域为已知函数 3、 的定义域。,三、复合函数单调性问题 (1)引理证明 y?f(g(x)u?g(x)(a,b )上是减函数,其值域为(c,在区间d)已知函数.若,又函数y?f(u)y?f(g(x)(a,b )上是增函数在区间(c,d)上是减函数,那么,原复合函数. 在区间a?x?x?bxx,ba,( )内任取两个数证明:在区间,使2121u?g(x)u?g(x)(x(gx)?g)?g(xub,(a, 因为在区间记)上是减函数,所以,211221?u且u,u?u(c,d) 即2,121f(u)?f(u)f(g(x)?f(g(x)uy?f(,因为函数,即 上是减函数,所以在区间(c,d)2211y?f(g(x)(a,b)上是增函数在区间故函数. (2)复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便,我们把它们总结成一个图表: 学习好帮手 完美格式整理版 )uy?f( 增 减 )u?g(x 增 减 增 减 )g(xy?f( 增 减 减 增 . “同向得增,异向得减”或“同增异减”以上规律还可总结为:)xg(y?f( (3)、复合函数的单调性判断步骤:)xg(u)u?y?f(将复合函数分解成两个简单函数: 确定函数的定义域; 。 与 分别确定分解成的两个函数的单调性; 若两个函数在对应的区间上的单调性相同(即都是增函数,或都是减函数),则复合后的函数 )xg(y?f(若两个函数在对应的区间上的单调性相异(即一个是增函数,而另一个是减 为增函数; )(x?f(gy 为减函数。函数),则复合后的函数 )例题演练(42)?3?2xy?log(x 的单调区间,并用单调定义给予证明 求函数例1、1 221?3或xx?3?0?xx?2),?(3设 单调减区义解:定域 间是 。22xx?)且x,x?(3,)?3?2xy?log(x)?3?2xy?log(x 则 221122121111 2222)?3(x?2x0?x?xx?x?3?3)?(x2x?)(x?x)(x2?x? = 2211112211221220?x?x2)3x?2x?(1?0)x?(x3?2 又底数 1112222y?0yy?y?yy)?1)(?,(3,? 即 上是减函数同理可证:在在上是增函数1122 )?1x?2xf(x)?log(32. 的单调性例2、讨论函数a10?x?13x?2.?或,xx|?x?12 解由得函数的定义域为 3)12x?log(3x?f(x)?13x?u2x?1?a1x22. 则当为增函数,时,若为增函数,a1)?1?3x2xf(x)?log(1?xu?3x?2?x?22 ,为减函数若.为减函数。 a31)x?1x?log(3?2(fx)?x?210?a?x1则,则函当数,时,若若,为减 a3)?1?3x2x)f(x?log(2. 为增函数a 5)同步练习:( 学习好帮手 完美格式整理版 log2xyx )函数2)的单调递减区间是( 3 11 233B ,)答案:)DCB(2,)(,(A(,1) 22. 2找出下列函数的单调区间22)1(a?y?a2.y?2x?3x?3?2?xx?) 1()2;(33),?(? 上是增函数,在答案:(1)在上是减函数。 22,1?1,31 。)单调增区间是,减区间是(2x)?00,且a?1),(a?ylog(a 、讨论的单调性。3a),0)(?a?1,(0,01?a? 时,答案:时为增函数。为增函数, 变式练习 一、选择题 log(x1)xf的定义域是() ) 1函数 (12(1,2 D(,2) (1,) B(2,) C A 解析:要保证真数大于0,还要保证偶次根式下的式子大于等于0, x10?x2 答案:解得1D 所以0log(x)11? 2log2xxy2)的单调递减区间是( 3 2函数) (1 233,) (,() D) B(2,) C1 A(, 222otxxxtx)在(,1)(2),函数3( 解析:先求函数定义域为(1,)(2,),令log2xyx2()在上单调递减,在(2,)上单调递增,根据复合函数同增异减的原则,函数31 2(2,)上单调递减答案:B ylglglgyxyx的值为( ) ,则2 3若)( 2 x11 4 4 B1或D C1或 A 44x1ylglglg2yxxyxyxxyyxy或) 错解:由2(,解得2,则有)4或,得(2 y4xxyxyxy舍掉,0所以所以01答案:选B正解:上述解法忽略了真数大于这个条件,即22只xy答案:4D 有logxfxafx的取值范围为( 则 )1)满足 ()0, 4若定义在区间(10)内的函数()(,a2 学习好帮手 完美格式整理版 111,) D(0,) B(0, ) A(0,C 222xxfxal,解得00)0时,根据图象只有1(0,1)当 解析:因为(1,0),所以21a(根据本节思维过程中第四条提到的性质)答案:A 22lgy(1)的图象关于( )5函数 1xxyxy轴对称 A对称 轴对称 C原点对称 D直线 B 21x1x1xlglglglgyyy的函数都,所以为奇函数形如 解析:或(1) 1x1x1x1xC 答案:为奇函数 二、填空题 logaxxya的取值范围是_上是1的减函数,则(2 )在0 已知,a?logaxyaxaxaa12是减函数,要使 解析:,又0且1)是减函数,则()2a2?aaaaxxa(210,2) 1,2)(01) 答案:2,所以( 31xfxgxyxfxx2)的图象关于直线(7函数(2)的图象与对称,则()的单调递减区 )( 3间为_ logxfxxgxf )与() 解析:因为)互为反函数,所以(1 3?log222xxxxxxxfx 2,解得0),令() 则2(2)(201 3?2xxfxx),1 )上单调递增,则()2在(0 在(0,1)上单调递减;?2xfxxx)2)2)上单调递减,则( 在(1,在12)上单调递增 ,(2fxx)的单调递减区间为(0,1) 2答案:(0,1) 所以 (1ffx)0,上是增函数,且,已知定义域为R的偶函数( )在0 8 2xogf )的解集是(l_ 则不等式411ffxfxf( 解析:)在0,上是增函数,因为)是偶函数,所以()0又 ( 2211?xfxfogxogxog 4l所以()在(,0)上是减函数所以或(ll)0 442211xxxx 或0 解得2或0 答案:2 22 三、解答题 232xlgxf,() 10设函数 532x3xfxfx)的单调性,并给出证明;)判断函数 ()的定义域;(2 (1)求函数11fxfxyfxx轴有交点吗?()的反函数若有,求出交点(,问函数)的图象与 (3)已知函数坐标;若无交点,说明理由 学习好帮手 完美格式整理版 32x53333xxxx 解:(1)由350且0,解得取交集得且 32x32222?xxx 5,随着 (2)令增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;()332x6x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数 随着 1 32x32x32x2lgfyxyx)(是减函数,lg所以在定义域内是增函数,根据复合单调性可知, 又 32x3x532xlg是减函数 32xfx)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域( (3)因为直接求 的关系求解 1xxfxf根据函数与反函数之间定义域与值域的关()的反函数,(0 设函数)与工轴的交点为(021xyyxxfxxffx)的,),将(0所以函数)代入(系可知,)(,解得)与轴的交点是(0000 52x,0)。图象与 轴有交点,交点为( 5 一指数函数与对数函数xa?yy?logx互为反函数; 与对数函数同底的指数函数a (二)主要方法: 解决与对数函数有关的问题,要特别重视定义域;1 ,要注意对底数的讨论;1还是小于12指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于01 和3比较几个数的大小的常用方法有:以为桥梁;利用函数的单调性;作差 (三)例题分析:b2logalogblog1aab?从小到大依次为例1(1)若, ;,则, abba xyzx2x5z532?y3yz从小到大依次为,且 , (2)若;都是正数,则, , xxaa?x00b?0?b1a?b?)与,的大小关系是 ( ),则)设 (3 ,且(b?a?1a?b?1C1?b?a1?a?bDBA ( ( ()bb2logalogb?alog1a?a?b?1?,故得解: (1)由 abbaalgtlgtlgtzyx1t?y?z?x?t?25?3, ,则)令 (2 lg2lg3lg52lgt3lgtlgt?(lg9?lg8)?0?2x3y2x?3y; , lg2lg3lg2?lg32x?5z?02x?5zx?1z5?2x?3yB) ,知选(,同理可得: 3)取 学习好帮手
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