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完美格式整理版 第一篇、复合函数问题 ?B，则y关于A x函数的y=fy=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若一、复合函数定义： 设g(x)叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量. 二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： ?)(fxg)f(x的定义域(1)、已知的定义域，求 x?Dg(x)ff(x)作用，作用范思路：设函数f，所以对的作用范围为D，又的定义域为D，即?)(fxgEx?D(x)?g的定义域。，E为 ，解得围不变，所以f(lnx)f(u)的定义域为（0，的定义域为_设函数1. 。，则函数 1）例u?(0，1)(uff，所以 的作用范围为（0，1）解析：函数）即0，1的定义域为（0?lnx?1 又f对lnx作用，作用范围不变，所以?(1，xe)f(lnx)的定义域为（1，故函数，e解得） 1?)xf(f?(x)f的定义域为_，则函数。例2. 若函数 x?11?1?x?|x?R1x?f(x)，又即f的作用范围为f解析：由对f(x)，知作用所以 x?1x?1?2?x?1且x?R|x)fxf(1(x)?f(x)?R且f? 应满足中x，即f(x)?1?)(fxgf(x)的定义域）、已知 的定义域，求（2?)(fxgg(x)?EDx?，所以思路：设，由此得f的作用范围为ED的定义域为，即，又f对x?E，Ef(x)的定义域。作用，作用范围不变，所以为 x?2，?1x?)?2xf(3f(x)的定义域为已知3. _，则函数。 的定义域为例?5，?2x?x?1，213?1，2?)x3?2(f 的定义域为，由此得解析：，即?51，?)xf( 即函数的定义域为f(x)2x的定义域为_，则函数例4. 已知。 2lg4)?f(x? 2x?822xx20?lg?(x?4)f)xf(，知的定义域为f解析：先求的作用范围，由 228?x8x? 学习好帮手 完美格式整理版 )?(4， ?)fxh()(fxg 的定义域（3）、已知的定义域，求?)fxg(E)?g(xDx?fx)h(，f对即由此得，的定义域为思路：设D又的作用范围为E，?)h(xfFx?E?x)h( 为的定义域。，解得F作用，作用范围不变，所以?x1，?1)(2f)xf(log 。，则的定义域为的定义域为_例5. 若函数21?xx11x1?，?1，)2f(2，2?，由此得的定义域为 解析：，即? 2?11?4?，2x?x2log，2，xlogf ，解得作用，所以的作用范围为又f对? 2222?4，2)(logxf 的定义域为即2（二）同步练习： 2f(x)?1,1f(x)0,11、的定义域。答案： 已知函数的定义域为，求函数f(3?2x)?3,3f(x)?3,9 的定义域。答案：的定义域为2、 已知函数，求13(?,0)?(1,)f(|2x?1|)0(x?2)(?1,y?f 22答案：求的定义域为已知函数 3、 的定义域。，三、复合函数单调性问题 （1）引理证明 y?f(g(x)u?g(x)(a,b ）上是减函数，其值域为(c，在区间d)已知函数.若，又函数y?f(u)y?f(g(x)(a,b ）上是增函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数. 在区间a?x?x?bxx,ba,( ）内任取两个数证明：在区间，使2121u?g(x)u?g(x)(x(gx)?g)?g(xub,(a, 因为在区间记）上是减函数，所以,211221?u且u,u?u(c,d) 即2,121f(u)?f(u)f(g(x)?f(g(x)uy?f(，因为函数,即 上是减函数，所以在区间(c,d)2211y?f(g(x)(a,b）上是增函数在区间故函数. （2）复合函数单调性的判断 复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表： 学习好帮手 完美格式整理版 )uy?f( 增 减 )u?g(x 增 减 增 减 )g(xy?f( 增 减 减 增 . “同向得增，异向得减”或“同增异减”以上规律还可总结为：)xg(y?f( （3）、复合函数的单调性判断步骤：)xg(u)u?y?f(将复合函数分解成两个简单函数： 确定函数的定义域； 。 与 分别确定分解成的两个函数的单调性； 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数 )xg(y?f(若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减 为增函数； )(x?f(gy 为减函数。函数），则复合后的函数 ）例题演练（42)?3?2xy?log(x 的单调区间，并用单调定义给予证明 求函数例1、1 221?3或xx?3?0?xx?2),?(3设 单调减区义解：定域 间是 。22xx?)且x,x?(3,)?3?2xy?log(x)?3?2xy?log(x 则 221122121111 2222)?3(x?2x0?x?xx?x?3?3)?(x2x?)(x?x)(x2?x? = 2211112211221220?x?x2)3x?2x?(1?0)x?(x3?2 又底数 1112222y?0yy?y?yy)?1)(?,(3,? 即 上是减函数同理可证：在在上是增函数1122 )?1x?2xf(x)?log(32. 的单调性例2、讨论函数a10?x?13x?2.?或,xx|?x?12 解由得函数的定义域为 3)12x?log(3x?f(x)?13x?u2x?1?a1x22. 则当为增函数，时，若为增函数，a1)?1?3x2xf(x)?log(1?xu?3x?2?x?22 ，为减函数若.为减函数。 a31)x?1x?log(3?2(fx)?x?210?a?x1则，则函当数，时，若若，为减 a3)?1?3x2x)f(x?log(2. 为增函数a 5）同步练习：（ 学习好帮手 完美格式整理版 log2xyx ）函数2）的单调递减区间是（ 3 11 233B ，）答案：）DCB（2，）（，（A（，1） 22. 2找出下列函数的单调区间22)1(a?y?a2.y?2x?3x?3?2?xx?） 1（）2；（33),?(? 上是增函数，在答案：(1)在上是减函数。 22,1?1,31 。）单调增区间是，减区间是（2x)?00,且a?1),(a?ylog(a 、讨论的单调性。3a),0)(?a?1,(0,01?a? 时，答案：时为增函数。为增函数， 变式练习 一、选择题 log(x1)xf的定义域是（） ） 1函数 （12(1，2 D（，2） （1，） B（2，） C A 解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0， x10?x2 答案：解得1D 所以0log(x)11? 2log2xxy2）的单调递减区间是（ 3 2函数） （1 233，） （，（） D） B（2，） C1 A（， 222otxxxtx）在（，1）（2），函数3（ 解析：先求函数定义域为（1，）（2，），令log2xyx2（）在上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数31 2（2，）上单调递减答案：B ylglglgyxyx的值为（ ） ，则2 3若）（ 2 x11 4 4 B1或D C1或 A 44x1ylglglg2yxxyxyxxyyxy或） 错解：由2（，解得2，则有）4或，得（2 y4xxyxyxy舍掉，0所以所以01答案：选B正解：上述解法忽略了真数大于这个条件，即22只xy答案：4D 有logxfxafx的取值范围为（ 则 ）1）满足 （）0， 4若定义在区间（10）内的函数（）（，a2 学习好帮手 完美格式整理版 111，） D（0，） B（0， ） A（0，C 222xxfxal，解得00）0时，根据图象只有1（0，1）当 解析：因为（1，0），所以21a（根据本节思维过程中第四条提到的性质）答案：A 22lgy（1）的图象关于（ ）5函数 1xxyxy轴对称 A对称 轴对称 C原点对称 D直线 B 21x1x1xlglglglgyyy的函数都，所以为奇函数形如 解析：或（1） 1x1x1x1xC 答案：为奇函数 二、填空题 logaxxya的取值范围是_上是1的减函数，则（2 ）在0 已知，a?logaxyaxaxaa12是减函数，要使 解析：，又0且1）是减函数，则（）2a2?aaaaxxa（210，2） 1，2）（01） 答案：2，所以（ 31xfxgxyxfxx2）的图象关于直线（7函数（2）的图象与对称，则（）的单调递减区 ）（ 3间为_ logxfxxgxf ）与（） 解析：因为）互为反函数，所以（1 3?log222xxxxxxxfx 2，解得0），令（） 则2（2）（201 3?2xxfxx），1 ）上单调递增，则（）2在（0 在（0，1）上单调递减；?2xfxxx）2）2）上单调递减，则（ 在（1，在12）上单调递增 ，（2fxx）的单调递减区间为（0，1） 2答案：（0，1） 所以 （1ffx）0，上是增函数，且，已知定义域为R的偶函数（ ）在0 8 2xogf ）的解集是（l_ 则不等式411ffxfxf（ 解析：）在0，上是增函数，因为）是偶函数，所以（）0又 （ 2211?xfxfogxogxog 4l所以（）在（，0）上是减函数所以或（ll）0 442211xxxx 或0 解得2或0 答案：2 22 三、解答题 232xlgxf，（） 10设函数 532x3xfxfx）的单调性，并给出证明；）判断函数 （）的定义域；（2 （1）求函数11fxfxyfxx轴有交点吗?（）的反函数若有，求出交点（，问函数）的图象与 （3）已知函数坐标；若无交点，说明理由 学习好帮手 完美格式整理版 32x53333xxxx 解：（1）由350且0，解得取交集得且 32x32222?xxx 5，随着 （2）令增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；（）332x6x增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数 随着 1 32x32x32x2lgfyxyx）（是减函数，lg所以在定义域内是增函数，根据复合单调性可知， 又 32x3x532xlg是减函数 32xfx）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域（ （3）因为直接求 的关系求解 1xxfxf根据函数与反函数之间定义域与值域的关（）的反函数，（0 设函数）与工轴的交点为（021xyyxxfxxffx）的，），将（0所以函数）代入（系可知，）（，解得）与轴的交点是（0000 52x，0）。图象与 轴有交点，交点为（ 5 一指数函数与对数函数xa?yy?logx互为反函数； 与对数函数同底的指数函数a （二）主要方法： 解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；1 ，要注意对底数的讨论；1还是小于12指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于01 和3比较几个数的大小的常用方法有：以为桥梁；利用函数的单调性；作差 （三）例题分析：b2logalogblog1aab?从小到大依次为例1（1）若， ；，则， abba xyzx2x5z532?y3yz从小到大依次为，且 ， （2）若；都是正数，则， ， xxaa?x00b?0?b1a?b?）与，的大小关系是 （ ），则）设 （3 ，且（b?a?1a?b?1C1?b?a1?a?bDBA （ （ （）bb2logalogb?alog1a?a?b?1?，故得解： （1）由 abbaalgtlgtlgtzyx1t?y?z?x?t?25?3， ，则）令 （2 lg2lg3lg52lgt3lgtlgt?(lg9?lg8)?0?2x3y2x?3y； ， lg2lg3lg2?lg32x?5z?02x?5zx?1z5?2x?3yB） ，知选（，同理可得： 3）取 学习好帮手
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