南通市2013届高三第三次调研测试

南通市2013届高三第三次调研测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分NY（第3题）开始开始 1 已知集合，则 【答案】2 设复数满足（是虚数单位），则复数的 模为 【答案】3 右图是一个算法流程图，则输出的的值是 【答案】4 “”是“”成立的 条件（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写）(第5题)0.01000.01750.00250.00500.0150 40 60 80 100 120 140 速度/ km/h【答案】必要不充分5 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h120 km/h，则该时段内非正常行驶的机动车辆数为 【答案】6 在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦 点到准线的距离为 【答案】47 从集合中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 【答案】O11515x(第9题)y8 在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，) ()，则线段长度的最小值为 【答案】9 函数，在上的部分图象如图所示，则的值为 【答案】10各项均为正数的等比数列中，当取最小值时，数列的通项公式an= 【答案】11已知函数是偶函数，直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点，若，则实数的值为 【答案】12过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，依次下去，得到第个切点则点的坐标为 【答案】13在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB，CD若，则的值为 【答案】14已知实数a1，a2，a3，a4满足a1a2a3，a1a42a2a4a2，且a1a2a3，则a4的取值范围是 【答案】二、解答题15如图，在四棱锥中，底面是矩形，四条侧棱长均相等 （1）求证：平面； （2）求证：平面平面（第15题） 证明：（1）在矩形中， 又平面， 平面， 所以平面 6分 （2）如图，连结，交于点，连结， 在矩形中，点为的中点， 又， 故， 9分 又， 平面， 所以平面， 12分 又平面， 所以平面平面 14分16在ABC中，角，所对的边分别为，c已知 （1）求角的大小；（2）设，求T的取值范围解：（1）在ABC中， ， 3分 因为，所以， 所以， 5分 因为，所以， 因为，所以 7分 （2） 11分 因为，所以， 故，因此， 所以 14分17某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为的空气隔层根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，两侧的温度差为，单位时间内，在单位面积上通过的热量，其中为热传导系数假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等（注：玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为）（1）设室内，室外温度均分别为，内层玻璃外侧温度为，外层玻璃内侧温度为， 且试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过 的热量（结果用，及表示）； （2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计 的大小？图1图2墙墙8T1T2室内室外墙墙x4T1T2室内室外4（第17题） 解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为， 则， 2分 6分 9分 （2）由（1）知， 当4%时，解得（mm） 答：当mm时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4% 14分 18如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，离心率为（第18题）分别过，的两条弦，相交于点（异于，两点），且（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线，的斜率之和为定值 （1）解：由题意，得，故， 从而， 所以椭圆的方程为 5分 （2）证明：设直线的方程为， 直线的方程为， 7分 由得，点，的横坐标为， 由得，点，的横坐标为， 9分 记， 则直线，的斜率之和为 13分 16分19已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为1，公比为的等比数列 （1）若，求数列的前项和；（2）若存在正整数，使得试比较与的大小，并说明理由解：（1）依题意， 故， 所以， 3分 令， 则， 得， ， 所以 7分 （2）因为， 所以，即， 故， 又， 9分 所以 11分（）当时，由知 ， 13分 （）当时，由知 ， 综上所述，当时，；当时，；当时， 16分（注：仅给出“时，；时，”得2分）20设是定义在的可导函数，且不恒为0，记若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶负函数”；若对定义域内的每一个，总有，则称为“阶不减函数”（为函数的导函数）（1）若既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”，如果存在常数，使得恒成立，试判断是 否为“2阶负函数”？并说明理由 解：（1）依题意，在上单调递增， 故 恒成立，得， 2分 因为，所以 4分 而当时，显然在恒成立， 所以 6分 （2）先证： 若不存在正实数，使得，则恒成立 8分 假设存在正实数，使得，则有， 由题意，当时，可得在上单调递增， 当时，恒成立，即恒成立， 故必存在，使得（其中为任意常数）， 这与恒成立（即有上界）矛盾，故假设不成立， 所以当时，即； 13分 再证无解： 假设存在正实数，使得， 则对于任意，有，即有， 这与矛盾，故假设不成立， 所以无解， 综上得，即， 故所有满足题设的都是“2阶负函数” 16分9 数学试卷答案 第 页（共8页）