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2.3.12.3.1离散型随机变量的数学离散型随机变量的数学期期 望望离散型随机变量的数字特征之一离散型随机变量的数字特征之一第1页/共24页某学校为了了解交通拥堵对学生们上学迟到的影响情某学校为了了解交通拥堵对学生们上学迟到的影响情况，每天记录由于交通问题迟到的同学人数，下表是况，每天记录由于交通问题迟到的同学人数，下表是100天中每天由于交通原因迟到人数的情况天中每天由于交通原因迟到人数的情况人数人数0123天数天数 30 30 20 20那那么这么这所所学学校每天平均有多少人由于交通原因校每天平均有多少人由于交通原因迟迟到到呢？呢？计算计算100天中记录的迟到总和是：天中记录的迟到总和是： 0 x30+1x30+2x20+3x20=130第2页/共24页平均每天迟到的人数为：平均每天迟到的人数为：3 . 1100130100203202301300上式改写成3 . 12 . 032 . 023 . 013 . 00100203100202100301100300第3页/共24页人数和对应频率列表为人数和对应频率列表为概率可以理解为频率的稳定值所以随机变概率可以理解为频率的稳定值所以随机变量量X的概率分布列：的概率分布列：X0123P1031031021023 . 11023102310311030X迟到人数迟到人数0123频率频率 0.3 0.3 0.2 0.2第4页/共24页1、离散型随机变量取值的平均值一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:nniipxpxpxpxEX 2211则称则称为随机变量为随机变量X的均值或的均值或数学期望数学期望.它反映了离散它反映了离散型随机变量取值的型随机变量取值的平均水平平均水平.P1xix2x1p2pipnxnpX第5页/共24页1 1、甲、乙两名射手一次射击中的得分为两个相互独、甲、乙两名射手一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量立的随机变量 与与 , ,且且 ， 的分布列为的分布列为甲、乙两名射手谁的射击水平更高？甲、乙两名射手谁的射击水平更高？ 1 2 3 P0.30.10.6 1 2 3 P0.30.40.32、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是47910P0.3ab0.2E=7.5,则则a= b= .0.40.1甲, 2)(, 3 . 2)(EE第6页/共24页例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分X的均值是多少？X=1或或X=0P(X=1)=0.7X X1 10 0P P0.0.7 70.0.3 31 0.70 0.30.7EX 第7页/共24页一般地，如果随机变一般地，如果随机变量量X服从两点分布，服从两点分布，那么那么EX=？10 (1)EXppp 一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则pppEX )1(01小结：小结：第8页/共24页例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；（1）求他得到的分数X的分布列；（2）求X的期望。X0123P33 . 0解解：(1) XB（3，0.7）2133 . 07 . 0 C3 . 07 . 0223 C37 . 0(2)322321337 . 033 . 07 . 023 . 07 . 013 . 00 CCEX1 . 2 EX7 . 03第9页/共24页如果如果XB（n，p），那么），那么EX=？一般地一般地,如果随机变量如果随机变量X服从二项分布，服从二项分布，即即XB（n,p），则），则小结：小结：npEX 练一练练一练: : 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球次数的数学期望是 .3第10页/共24页 求证求证:若若B(n，p)， 则则E= npE =0Cn0p0qn+ 1Cn1p1qn-1+ 2Cn2p2qn-2 + + kCnkpkqn-k+ nCnnpnq0P(=k)= Cnkpkqn-k证明：证明：=np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) + Cn-1n-1pn-1q0) 0 1 k n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 Cnkpkqn-k Cnnpnq0( k Cnk =n Cn-1k-1)= np(q+p)n-1=np所以所以若若B(nB(n，p)p)，则，则EEnpnp 第11页/共24页例3.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，从中摸出3个球.（1）求得到黄球个数的分布列；（2）求的期望。解解：(1) 服从超几何分布服从超几何分布012P032335C CC122335C CC212335C CC163(2)0121.2101010E 小结：小结：一般地一般地, ,如果随机变量如果随机变量X X服从参数为服从参数为N,M,nN,M,n的超几的超几何分布何分布, ,则则 NnMXE第12页/共24页1 1、如果随机变量、如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则pEX 2、如果随机变量、如果随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即XB（n,p），则），则npEX 3 3、如果随机变量、如果随机变量X X服从参数为服从参数为N,M,nN,M,n的超几何分的超几何分布布, ,即即X XH(n,M,N),H(n,M,N),则则NnMEX 第13页/共24页设离散型随机变量设离散型随机变量 的概率分布为的概率分布为 则则 的数学的数学期望期望（均值）（均值） Ex1p1x2p2xnpn第14页/共24页设设 a ab b，其中，其中a a，b b为常数，则为常数，则 也是随机变量其分布列为也是随机变量其分布列为 Ex1p1x2p2xnpnx1x2xnax1+bax2+baxn+bPP1P2Pn即 E(ab)aEbax1+bax2+baxn+bPP1P2Pn第15页/共24页1、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是135P0.50.30.22.45.8第16页/共24页例例1：在随机试验掷一枚骰子中，我们可以定义一个随机：在随机试验掷一枚骰子中，我们可以定义一个随机变量变量X , X 的值分别对应试验所得的点数的值分别对应试验所得的点数.X分别是什么，分别是什么， X 取每个值的概率分别是多少？取每个值的概率分别是多少？则则XP1 12 26 65 54 43 3161616161616解：随机变量解：随机变量X的取值有的取值有1、2、3、4、5、661)6(61)5(61)4(61)3(61)2(61)1( XPXPXPXPXPXP27616655644633622611EX题后小结：答题规范性题后小结：答题规范性第17页/共24页数学期望的应用数学期望的应用-决策问题决策问题第18页/共24页解：分析本题考查离散型随机变量的分布列,准确把握随机变量的取值是解题的关键.解 用x1、x2和x3分别表示三种方案的损失.采用第一种方案,无论有无洪水,都损失3 800元,即x1=3 800.采用第二种方案,遇到大洪水时,损失2 000+60 000=62 000元;没有大洪水时,损失2 000元,即 同样,采用第三种方案,有 于是,Ex1=3 800,Ex2=62 000P(x2=62 000)+2 000P(x2=2 000)=62 0000.01+2 000(1-0.01)=2 600,Ex3=60 000P(x3=60 000)+10 000P(x3=10 000)+0P(x3=0)=60 0000.01+10 0000.25=3 100.采用方案二的平均损失最小,所以可以选择方案二.第19页/共24页13（20092009年北京市高考第年北京市高考第1717题：共题：共1313分）分）某学生在上学路上要经过某学生在上学路上要经过4 4个路口，假设在各路口个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，遇到红灯时停留的时间都是遇到红灯时停留的时间都是2min.2min.求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望的分布列及期望. .=38第20页/共24页02468P40432c解解：随机变量随机变量 的取值有的取值有0、2、4、6、83143231C222432)31(C133432)31(C44431CEX0 +2 +4 +6 +8 40432c3143231C222432)31(C133432)31(C44431C=38第21页/共24页附加练习附加练习. .某商场的促销决策：某商场的促销决策： 统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；万元；如遇下雨可则损失如遇下雨可则损失4万元。万元。6月月19日气象预报端午节下日气象预报端午节下雨的概率为雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？，商场应选择哪种促销方式？解解: :因为商场内的促销活动可获效益因为商场内的促销活动可获效益2 2万元万元设商场外的促销活动可获效益设商场外的促销活动可获效益X X万元万元, ,则则X的分布列的分布列PX10 40.6 0.4所以所以EX=100.6(-4) 0.4=4.4因为4.42,所以商场应选择在商场外进行促销所以商场应选择在商场外进行促销. .第22页/共24页第23页/共24页感谢您的观看！第24页/共24页
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