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第八章 专题拓展8.2 实验操作型中考数学中考数学 (广东专用)一、选择题好题精练1.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为()A.4B.5C.6D.7答案答案D如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形;如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形;如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角形;如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形;如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形;如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形.故选D.二、填空题2.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为.12答案答案30解析解析如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3.在RtADE中,AD=.在RtADC中,AC=.22AEDE2232522ADDC22( 5)530思路分析思路分析连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计算出AD,再计算出AC,得解.解题关键解题关键本题考查了矩形的性质,基本作图(作已知线段的垂直平分线),勾股定理,识别基本作图并熟练应用勾股定理计算是解题的关键.3.(2016天津,18,3分)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,A,E为格点,B,F为小正方形边的中点,C为AE,BF的延长线的交点.(1)AE的长等于;(2)若点P在线段AC上,点Q在线段BC上,且满足AP=PQ=QB,请在如图所示的网格中,用的直尺,画出线段PQ,并简要说明点P,Q的位置是如何找到的(不要求证明).无刻度解析解析(1)(2)如图,AC与网格线相交,得点P;取格点M,连接AM并延长与BC相交,得点Q.连接PQ,线段PQ即为所求5三、解答题4.(2017江西,16,6分)如图,已知正七边形ABCDEFG,请,分别按下列要求画图.(1)在图1中,画出一个以AB为边的平行四边形;(2)在图2中,画出一个以AF为边的菱形.仅用无刻度的直尺解析解析(1)如图.(画法有多种,正确画出一种即可,以下几种画法仅供参考)(3分)(2)如图.(画法有两种,正确画出其中一种即可)(6分)5.(2017吉林,20,7分)图、图、图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点.线段AB的端点在格点上.(1)在图、图中,以AB为边各画一个等腰三角形,且第三个顶点在格点上;(所画图形不全等)(2)在图中,以AB为边画一个平行四边形,且另外两个顶点在格点上.解析解析(1)每画对一个得2分.答案不唯一,以下答案供参考.(4分)(2)画对一个即可.答案不唯一,以下答案供参考.(7分)6.(2017黑龙江哈尔滨,22,7分)如图,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.(1)在图中画出以AB为底、面积为12的等腰ABC,且点C在小正方形的顶点上;(2)在图中画出平行四边形ABDE,且点D和点E均在小正方形的顶点上,tanEAB=.连接CD,请直接写出线段CD的长.32解析解析(1)正确画图.(2)正确画图.CD=.267.(2016江苏南京,24,7分)如图,在 ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使FBC=DCE.(1)求证:D=F;(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使BPCCDP(保留作图的痕迹,不写作法).解析解析(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC.CED=BCF.CED+DCE+D=180,BCF+FBC+F=180,D=180-CED-DCE,F=180-BCF-FBC.又DCE=FBC,D=F.(4分)(2)图中P就是所求作的点.(7分)8.(2017山东烟台,23,10分)【操作发现】(1)如图1,ABC为等边三角形,先将三角板中的60角与ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0且小于30).旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,在线段AB上取一点E,使DCE=30,连接AF,EF.求EAF的度数;DE与EF相等吗?请说明理由.【类比探究】(2)如图2,ABC为等腰直角三角形,ACB=90,先将三角板的90角与ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0且小于45).旋转后三角板的一直角边与AB交于点D.在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,在线段AB上取一点E,使DCE=45,连接AF,EF.请直接写出探究结果.EAF的度数;线段AE,DE,DB之间的数量关系.解析解析(1)ABC是等边三角形,AC=BC,BAC=B=60,DCF=60,ACF=BCD,在ACF和BCD中,ACF BCD(SAS),CAF=B=60,EAF=BAC+CAF=120.DE=EF.理由如下:DCF=60,DCE=30,FCE=60-30=30,DCE=FCE,ACBCACFBCDCFCD 在DCE和FCE中,DCE FCE(SAS),DE=EF.(2)ABC是等腰直角三角形,ACB=90,AC=BC,BAC=B=45,DCF=90,ACF=BCD,在ACF和BCD中,ACF BCD(SAS),CAF=B=45,AF=DB,CDCFDCEFCECECE ,ACBCACFBCDCFCD EAF=BAC+CAF=90.AE2+DB2=DE2,理由如下:DCF=90,DCE=45,FCE=90-45=45,DCE=FCE,在DCE和FCE中,DCE FCE(SAS),DE=EF,在RtAEF中,AE2+AF2=EF2,又AF=DB,AE2+DB2=DE2.,CDCFDCEFCECECE 9.(2017江苏盐城,26,12分)【探索发现】如图,是一张直角三角形纸片,B=90,小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形,经过多次操作发现,当沿着中位线DE、EF剪下时,所得的矩形的面积最大,随后,他通过证明验证了其正确性,并得出:矩形的最大面积与原三角形面积的比值为.【拓展应用】如图,在ABC中,BC=a,BC边上的高AD=h,矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上,顶点Q、M在边BC上,则矩形PQMN面积的最大值为.(用含a,h的代数式表示)【灵活应用】如图,有一块“缺角矩形”ABCDE,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,小明从中剪出了一个面积最大的矩形(B为所剪出矩形的内角),求该矩形的面积.【实际应用】如图,现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108cm,CD=60cm,且tanB=tanC=,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN,求该矩形的面积.43解析解析【探索发现】EF、ED为ABC的中位线,EDAB,EFBC,EF=BC,ED=AB,又B=90,四边形FEDB是矩形,则=.【拓展应用】易知PNBC,APNABC,=,即=,PN=a-PQ,设PQ=x,则=PQPN=x=-x2+ax=-+,1212FEDBABCSS矩形12EF DEAB BC112212BCABAB BC12PNBCAEADPNahPQhahPQMNS矩形aaxhahah22hx4ah当PQ=时,最大,为.【灵活应用】如图1,延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF的中点I,FG的中点K,图1由题意知四边形ABCH是矩形,AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,EH=20,DH=16,AE=EH,CD=DH,在AEF和HED中,2hPQMNS矩形4ahAEF HED(ASA),AF=DH=16,同理,CDG HDE,CG=HE=20,BI=24,BI=2432,中位线IK的两端点在线段AB和DE上,过点K作KLBC于点L,由【探索发现】知矩形的最大面积为BGBF=(40+20)(32+16)=360.答:该矩形的面积为360.【实际应用】,FAEDHEAEEHAEFHED 2ABAF12121212图2如图2,延长BA、CD交于点E,过点E作EHBC于点H,tanB=tanC=,B=C,EB=EC,BC=108cm,且EHBC,BH=CH=BC=54cm,4312tanB=,EH=BH=54=72cm,在RtBHE中,BE=90cm,AB=50cm,AE=40cm,BE的中点Q在线段AB上,CD=60cm,ED=30cm,CE的中点P在线段CD上,中位线PQ的两端点在线段AB、CD上,由【拓展应用】知,矩形PQMN的最大面积为BCEH=1944cm2.答:该矩形的面积为1944cm2.EHBH43434322EHBH1410.(2015福建福州,24,12分)定义:长宽比为 1(n为正整数)的矩形称为矩形.下面,我们通过折叠的方式折出一个矩形,如图所示.操作1:将正方形ABCD沿过点B的直线折叠,使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处,折痕为BH.操作2:将AD沿过点G的直线折叠,使点A,点D分别落在边AB,CD上,折痕为EF.则四边形BCEF为矩形.图证明:设正方形ABCD的边长为1,则BD=.由折叠性质可知BG=BC=1,AFE=BFE=90,则四边形BCEF为矩形,A=BFE.nn2222112EFAD.=,即=.BF=.BC BF=1= 1.四边形BCEF为矩形.阅读以上内容,回答下列问题:(1)在图中,所有与CH相等的线段是,tanHBC的值是;(2)已知四边形BCEF为矩形,模仿上述操作,得到四边形BCMN,如图,求证:四边形BCMN是矩形;(3)将图中的矩形BCMN沿用(2)中的方式操作3次后,得到一个“矩形”,则n的值是.BGBDBFAB121BF121222233n图解析解析(1)GH,DG;-1.(2)证明:BF=,BC=1,BE=.由折叠性质可知BP=BC=1,FNM=BNM=90,则四边形BCMN为矩形,BNM=F.MNEF.=,即BPBF=BEBN.BN=.BN=.BC BN=1= 1.四边形BCMN是矩形.(3)6.22222BFBC62BPBEBNBF6222131333
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