南京市2018年届高三数学二轮专题复习资料专题9：等差数列、等比数列、数列通项、求和

.wd.应用专题9：等差数列、等比数列、数列通项、求和问题归类篇类型一：等差、等比数列的 基本运算一、前测回忆1an是等差数列，假设2a7a530，则a9_答案：3解析：方法一：设公差为d，则2(a16d)(a14d)30，即a18d3，所以a93方法二：由等差数列的性质得a5a92a7，所以(a5a9)a530，即a932(2016江苏卷)an是等差数列，Sn是其前n项和.假设a1a3，S510，则a9的值是_.答案：20解析：设等差数列an公差为d，由题意可得：解得则a9a18d48320.3an为等比数列，a4a72，a5a68，则a1a10_答案：7解析：设数列an的公比为q，由得或所以或所以或所以a1a107.4数列an是等比数列，Sn为其前n项和，假设a1a2a34，a4a5a68，则S12_.答案：60解析：方法一：设等比数列an公比为q，由题意可得q1，则由 得，所以S1260.方法二：由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4，8，S9S6，S12S9是等比数列，所以S9S616，S12S932，所以S12(S12S9)(S9S6)(S6S3)S332168460.5假设等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大.答案：8解析：根据题意知a7a8a93a80，即a80.又a8a9a7a100，所以a90，所以当n8时，an的前n项和最大.二、方法联想1 基本量运算等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程的思想解决问题求解涉及等差、等比数列的运算问题时，通常会抓住a1、d(或q)，列出方程、不等式或方程组求解，这样做的好处是思路简洁，目标明确，但有时运算量对比大为了减少运算量，我们要掌握一些运算技巧，例如“设而不求，整体代入2性质的应用用好等差、等比数列的性质也能减少运算量方法 (1)在等差数列an中，假设mnpq则amanapaq特别假设mn2p，则aman2ap 在等比数列an中，假设mnpq则amanapaq特别假设mn2p，则amanap2 (2) 在等差数列an中，由Sn得，假设n为奇数，则S2n1(2n1)an方法 在等差数列an中，Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列在等比数列an中，一般情况下Sn，S2nSn，S3nS2n成等比数列3等差数列Sn的最值问题方法 在等差数列 an 中Sn 的最值问题：方法1：(1)当a10，d0时，满足的项数m使得Sm取最大值. (2)当a10，d0时，满足的项数m使得Sm取最小值，方法2：由Sn 的解析式，结合二次函数图象分析三、归类稳固*1(2014江苏卷)在各项均为正数的等比数列an中，假设a21，a8a62a4，则a6的值是_(等比数列 基本量计算) 答案：4*2(2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.S3，S6，则a8_.(等比数列 基本量计算) 答案：32*3等差数列an的前n项和为Sn，S100，S1525，则Sn的最小值为_(等差数列前n项和的最值)答案：解析：方法一：设等差数列an的公差为d，由解得a13，d.所以Snna1d3nn(n5)2.当n5时，Sn有最小值为.方法二：设SnAn(n10)，由S1525，得A所以当n5时，Sn有最小值为.*4设等比数列an的前n项和为Sn，假设Sm15，Sm11，Sm121，则m等于_(等比数列 基本量计算) 答案：5*5在等差数列an中，a12 015，其前n项和为Sn，假设2，则S2015的值为_.(等差数列 基本量计算) 答案：2015解析：根据等差数列的性质，得数列也是等差数列，由可得a12 015，由22d，得公差d1.故2 015(2 0151)11，所以S2 0152015.*6在等差数列an中，a53，a62，则a3a4a8_(等差数列 基本量计算) 答案：3*7.在等差数列an中，a4a816，则该数列前11项和S11_(等差数列 基本量计算)答案：88*8假设an是等差数列，首项a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170成立的最大正整数n是_(等差数列前n项和的最值)答案：4 032解析：因为a10，a2 016a2 0170，a2 016a2 0170，所以d0，a20160，a20170，所以S4 0320，S4 0334033a2 0170，所以使前n项和Sn0成立的最大正整数n是4 032*9等差数列an中，a11，前10项和等于前5项和，假设ama60，则m_.(等差数列 基本量计算) 答案：10解析：记数列an的前n项和为Sn，由题意S10S5，所以S10S5a6a7a8a9a100，又a6a10a7a92a8，于是a80，又ama60，所以m628，解得m10.*10.设数列是等差数列，数列是等比数列，记数列，的前n项和分别为Sn，Tn.假设a5b5，a6b6，且S7S54(T6T4)，则_.(等差、等比数列混合)答案：解析：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q.由a5b5，a6b6，且S7S54(T6T4)，得解得故.*11设等比数列的前n项和为Sn，假设S1a2，S2a3，则公比q_.(等比数列 基本量计算) 答案：4*12等比数列an的各项都为正数，且a3，a5，a4成等差数列，则的值是_(等差、等比数列混合)答案：*13设等比数列an满足a1a310，a2a45，则a1a2an的最大值为_(等比数列前n项积的最值)答案：64解析：设等比数列an的公比为q，则由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，所以a18.故a1a2anaq12(n1)23n23n2n.记t(n27n)2，结合nN*可知n3或4时，t有最大值6.又y2t为增函数，从而a1a2an的最大值为2664.*14Sn是等差数列an的前n项和，假设，则_.(等差数列 基本量计算)答案：解析：因为，所以令n1可得，即，化简可得da1，所以*15设等比数列an的前n项和为Sn，假设S3，S9，S6成等差数列，且a2a54，则a8的值为_(等差、等比数列混合)答案：2*16设公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，假设a11，d，则当Sn取最大值时，n的值为_(等差数列前n项和的最值)答案：9解析：法一：因为Snnd，所以Snn2n.因为函数yx2x的图象的对称轴方程为x，且开口向下，又d，所以9.所以Sn取最大值时，n的值为9.法二：由ana1(n1)d1(n1)d0，得n1.因为d，所以9.又nN*，所以n18，即n9.故S9最大*17an为等差数列，假设1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n_.(等差数列前n项和的最值)答案：19解析：由1，得0，且它的前n项和Sn有最大值，则a100，a110，a11a100，则S190，S200，那么当Sn取得最小正值时，n19.*18设Sn是等差数列an的前n项和，S1016，S100S9024，则S100_.(等差数列 基本量计算)答案：200*19在等差数列an中，假设任意两个不等的正整数k，p都有ak2p1，ap2k1，数列an的前n项和记为Sn.假设kpm，则Sm_.(用m表示)(等差数列 基本量计算)答案：m2解析：设数列an的公差为d，由题意，a1(k1)d2p1，a1(p1)d2k1，两式相减，得(pk)d2(kp)又kp0，所以d2.则a12p2k12m1.因此Smma1dm(2m1)m(m1)m2.*20在等比数列an中，公比q2，前87项和S87140，则a3a6a9a87_.(等比数列 基本量计算)答案：2.解析：方法一：a3a6a9a87a3(1q3q6q84)a1q214080.方法二：设b1a1a4a7a85，b2a2a5a8a86，b3a3a6a9a87，因为b1qb2，b2qb3，且b1b2b3140，所以b1(1qq2)140，而1qq27，所以b120，b3q2b142080.*21在等比数列an中，a1a38，a5a74，则a9a11a13a15_.(等比数列 基本量计算)答案：3*22等差数列an的公差为2，假设a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn等于_.(等差、等比数列混合)*23.设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40等于_.(等比数列 基本量计算)答案：150.解析：依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，故S2020或S2030.又S200，因此S2030，S20S1020，S30S2040，则S40S3070150.*26.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为3227，则该数列的公差d_.(等差数列 基本量计算)答案：5解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.类型二：等差等比数列的判断与证明一、前测回忆1(2010江苏卷)函数yx2(x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak1，k为正整数，a116，则a1a3a5_.答案：21解析：在点(ak，a)处的切线方程为：ya2ak(xak)，当y0时，解得x，所以ak1，故an是a116，q的等比数列，即an16，所以a1a3a5164121.2数列an的前n项和Snan2bnc(a，b，cR)，则“c0是“an是等差数列的_条件答案：充要解析：a1abc，a2S2a13ab，a3S3S25ab，假设an是等差数列，则2a2a1a3，解得c0，所以“c0是“an是等差数列的必要条件；当c0时，Snan2bn，当n1时，a1ab；当n2时，anSnSn12anba，显然当n1时也满足上式，所以an2anba(nN*)，进而可得anan12a(nN*)，所以an是等差数列，所以“c0是“an是等差数列的充分条件；综上可知，“c0是“an是等差数列的充要条件3，成等差数列，求证：，也成等差数列解：由得b(ac)2ac，所以，所以，也成等差数列4an+1，a12 ，求证：数列的等差数列解：由，a12，故an0，所以，所以，所以数列是等差数列5数列an前n项和为Sn，假设anSnn，令bnan1，求证：数列bn是等比数列.解：由anSnn，得n2时，an1Sn1n1，两式相减得2anan11，即2bnbn1从而有(常数)，所以数列bn是等比数列.二、方法联想1等差、等比数列的证明方法 证明数列是等差数列：方法1 定义法，即当nN*时，an1an为同一常数方法2 中项公式法，即当nN*时，2an1anan2均成立说明：得到2an1anan2后，最好改写为an1ananan1a2a1，回到定义方法 证明数列是等比数列：方法1 定义法，即当nN*时，为同一常数方法2 中项公式法，即当nN*时，an12anan2均成立，且数列an没有0说明：得到2an1anan2后，最好改写为，回到定义2等差、等比数列的判断判断数列是等差数列方法1 定义法，即当n1且nN*时，an1an为同一常数方法2 中项公式法，即当n1且nN*时，2an1anan2均成立方法3 特殊值法，如前3项成等差，再证明其对任意nN*成等差数列方法4 通项为一次形式，即ananb方法5 前n项和为不含常数项的二次形式，即Snan2bn方法6 假设数列an为等比数列，则logaan为等差数列注意 方法4、5、6只能做为判断，作为解答题需要证明判断数列不是等差数列方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等差数列判断数列是等比数列方法1 定义法，即当nN*时，为同一常数方法2 中项公式法，即当nN*时，an12anan2均成立方法3 特殊值法，如前3项成等比，再证明其对任意nN*成等比数列方法4 通项公式为指数幂形式，即anaqn方法5 假设数列an为等差数列，则aan为等比数列注意 方法4、5只能做为判断，作为解答题需要证明判断数列不是等比数列方法 通常用特殊值法，如取连续3项验证不成等比数列三、归类稳固*1数列an满足3an1an0，a2，则an的前10项和等于_(由定义判定等差数列)答案：3(1310) *2数列an满足a115，且3an13an2假设akak10，则正整数k_(由定义判定等差数列)答案：23*3Sn是数列an的前n项和，且Sn1Snan3，a4a523，则S8_(由Sn与an关系，结合定义判定等差数列)答案：92*4数列an的前n项和为Sn，假设Sn2an4(nN*)，则an_(由Sn与an关系，结合定义判定等比数列)答案：2n1*5数列an满足a1a2a3an2n2(nN*)，且对任意nN*都有t，则实数t的取值范围为_(由前n项的积与an关系，由通项公式判定等比数列)答案：解析：依题意得，当n2时，an2n2(n1)222n1，又a1212211，因此an22n1，n1，即数列是以为首项，为公比的等比数列，等比数列的前n项和等于1020，那么n的最小值是_分组求和答案：10.*3假设Sn1234(1)n1n，则S17S33S50的值是_并项相加求和答案：1*4数列an的通项ann2(cos2sin2)，其前n项和为Sn，则S30的值是_分组求和答案：470.解析：ann2cos，a112()，a222()，a332，a442()，S30()(122223242522622822922302)()(3k2)2(3k1)22(3k)2()(18k5)1850470.*5设等差数列an满足a35，a109求数列|an|的前n项和Tn_(等差数列前n项的绝对值之和)答案：6.数列an满足a12，an12an4.*(1)证明数列an4是等比数列；*(2)求数列|an|的前n项和Sn.数列的前n项的绝对值之和解：(1)因为an12an4，所以an142an82(an4)，因为a142，所以an40，所以2，所以an4是以2为首项，2为公比的等比数列(2)由(1)，可知an42n，所以an2n4.当n1时，a121)，因为，所以a4b3，所以23d2q2，由a2b2，得：2d2q，由得d2，q2，所以an2(n1)22n，bn22n12n.所以cnn2n，所以Snc1c2cn12222n2n所以2Sn122223n2n1，得：Sn2(22232n)n2n1n2n1(1n)2n12，所以Sn(n1)2n12.*13an3n2，bn2n.求数列a2nb2n1的前n项和(nN*)错位相减求和解：设数列a2nb2n1的前n项和为Tn，由a2n6n2，b2n124n1，得a2nb2n1(3n1)4n，故Tn24542843(3n1)4n，4Tn242543844(3n4)4n(3n1)4n1，上述两式相减，得3Tn2434234334n(3n1)4n14(3n1)4n1(3n2)4n18.故Tn4n1.所以数列a2nb2n1的前n项和为4n1.*14ann1，bnlog2an1.令cn，其中nN*，求数列cn的前n项和为Tn.错位相减求和，裂项相消求和解：bnlog2an1log2n2n，cn.令Hn，则Hn，得，Hn1.所以Hn2.又TnHn(1)(1)，所以TnHn(TnHn)2.15.数列an满足a11，an13an1，*(1)证明an是等比数列，并求an的通项公式；*(2)证明.(放缩法证明不等式)证明：(1)由an13an1，得an13.又a1，所以an是首项为，公比为3的等比数列.an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以an.则实数k的取值范围_答案：(3，)解析：方法一：由an1an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式ann2kn4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到nN*，所以，即得k3方法二：由an1an得(n1)2k(n1)4n2kn4，即k2n1对nN*恒成立，故k32数列an的通项an，则数列an中的最大值是_答案：解析：an，由函数f(x)在(0，3)上单调递减，在(3，)上单调递增，由于nN*，知当n9或10时，(n)min19，故(an)max3在等差数列an中，a1142，d2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列bn，则此数列的前n项和Sn取得最大值时n的值是_答案：24解析：因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列bn，所以新数列的首项为b1a1142，公差为d236，则bn142(n1)(6)令bn0，解得n24，因为nN*，所以数列bn的前24项都为正数项，从25项开场为负数项因此新数列bn的前24项和取得最大值4数列an的通项an(n1)n (nN*)，试问该数列an有没有最大项假设有，求出最大项的项数；假设没有，说明理由解：方法一：令，所以n9或n10时，an最大，即数列an有最大项，此时n9或n10.方法二：因为an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an