用数形结合的方法解题

1 引言数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过： “数缺形时少直观，形缺数 时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形 结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生 成绩呈显着的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷 获解。实现数形结合常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；所给的等式 或代数式的结构含有明显的几何意义；以几何元素和几何条件为背景建立起的概念； 函数与图像的对应关系；曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解 题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显 着，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。2 文献综述国内外研究现状数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献 1 中叶 立军 谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。 ”近 些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献 2-3 中介绍了数 形结合在概率统计和数列中的应用。文献 4-6 通过总结图形结构与数式结构提出了数形 结合的两个主要途径。文献 7-10 认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要 遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结 合思想的研究仍有很大的空间。国内外研究现状评价文献11-13 中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集 中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究 并不够全面。提出问题 如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体， 直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不争的事实 是学生利用数形结合在高中数学解决问题的现状并不乐观。因此对数形结合在高中数学 各知识点进行全面研究是有必要的。3 数形结合思想概述1、数形结合思想的概念数和形是高中数学研究的两大部分，他们之间相互转化，把抽象的数学语言、数量关系与 直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”和“以数助形”使复杂问题简单 化，抽象问题具体化，从而提高解题效率。以形助数通常是借助数轴、单位圆、函数图象数式的结构特征等。 以数助形通常是借助向量知识、几何图形表示的数量关系、几何定理等。2、数形结合思想应遵守的原则（1）等价性原则。数与形的相互转化要求所讨论的问题与数与形所反映的对应关系 必需一致，即代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则会由于几何的局限性导致表 示的数不完整。（2）双向性质原则。利用数形结合思想，一方面要对直观几何进行分析，另一方面 要对代数抽象作探索，两方面相辅相成。如只对几何问题进行代数分析或对代数问题进行 几何分析，在很多时候是很难行得通的。（3）简单性原则。简单性原则就是用什么方法解题简单就用什么方法，不要刻意去 追求某一种模式代数问题用几何方法，几何问题用代数方法。3、数形结合思想的的解题方法（1）图示法 如集合运算中的韦恩图，它常常用来显示数学对象间的关系。（2）区域法 如用不等式的几何意义表示平面区间。（3）坐标法 如方程式图形和函数图象它常来表示二元变量坐标间的关系。（4）特征法 如借用连续函数图象显示数列，既求和公式的量化特征。4 数形结合思想在解题中的应用在集合中的应用集合是高中数学的第一个概念，也是很多数学概念建立的基础，对集合含义、交并补 运算的考查是检验掌握知识的关键。通过数轴平面直角坐标系以及韦恩图表示集合，利用 数形结合能快速解决集合问题。x例1若集合A(x,y )|y5cos5sin (0)，集合B(x, y)| y x b 且 AB ，则 b的取值范围为解析：集合A可以变为A(x, y) / xy以5为半径的圆在X轴的上方的部分25,0 y 5显然，A表示以(0，0)为圆心,A B ，即使直线y xb与圆x2B表示斜率为K 1，纵截距为b的直线，要使25( x上半部分)有公共点。由图1知-5 b 5,2.在函数中的应用函数问题是高中数学的一大重难点,然通过数形结合的运用转化为两点距离问题、斜迎刃而解。/5 2注重函数的几何特征，把函数求值的代数问题问题、直线的纵截距问题等，则可使问题例2已知函数F (x)x2 4x，求函数1F(x)的单调区间X并指出单调性。解析：当x2-4x 3(x) x2-4x 30即x 1或x 3时,当 x2-4x 3 0 即 1 x 3 时，F (x)-x24x-3所以F (x)(x-2)21(x1 或 x 3)-(x-2)21(1 x 3)如图2所示图2所以函数F(x)的单调区间有:(-%, 1，1,2，2，3，3，+x).其中增区间是1,2与3 ,+x),减区间是(,1与2,3.在数列中的应用若加强数列中有关数形结合思想方法的应用，可加深对问题的认识，从而抓住问题的本质构造几何图形突破数列问题。例3若数列an为等差数列，ap q, aq p求ap q.解析：设p q等差数列an关于n的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故 三点（p,q）、（q, p）、（p q,m）共线，设 ap q m，由已知得三点（p,aq），（q,ap），（p q,ap q） 共线。图3如图3,则Kab Kbc，即舸 mp .q-p p q-p由图3知m 0，即ap q 0.在不等式中的应用数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的数学思想。应用数形结合思想 解决不等式就是根据问题的内在联系或数式的结构特征，通过唤起表象和再造想象，赋予 适当的几何意义，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的性质和图形之间的关系来 解决问题。例4解不等式 x 2x.解析:常规方法：原不等式化为x 0,x 20, (1)2X ,0，2 0,(2)(1)得 0 x 2 ;解(2)得-(1) (2)可得 x | 0x2用数形结合方法可以很直观的从xyy2 xx 0= x | -2 x 0 B x中得到答案,2解法如下:A(p,q)B(q, p).C ( p q, m)令 yi、x 2 ,y2x ,则不等式Vx : 2Sx的解就是使y,的图像在y2 x的上方的那段对应的坐标轴，如图4所示，不等式 x 2x的解集为X | Xa x Xb，由x 2 x可解得Xb2，所以有Xa-2 .故不等式的解集为x | -2 x 2.在线性规划中的应用应用线性规划知识判断平面区域，求目标函数的最值、取值范围在高考中常以选择或填空的形式出现，都是以中档题为主，解决这类问题的关键是灵活运用数形结合的数学思想，将代数问题转化为几何问题，借助图像的生动直观来阐明枯燥的数的关系。例5设关于x , y的不等式组 xxo - 2 yo 2，求m的取值范围。解析：如图5要使可行域存在,只要边界点（m,1 2m）在直线m 1-2m组 1 -2m -m得 m 23m - m 12在向量中的应用2x- y 10喺0nyB 2必有m1x-12表示的平面区域内存在点0Op( Xo, y)满足12X_1上的点,2m 1B要求可行域内包含直线Ax1上方，且（m,m）在直线y - x-1下方，解不等式2向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，在数学学科 中具有广泛的应用。平面向量是高考中新增加的最重要内容，由于它的加入，代数和几何 的研究全面改观。数形结合是高考的重要思想之一，而平面向量则为数形结合铺就了道路 例6在平面上，AB1 AB2，OB1|OB| 1，AP AB1 AB2.则QA的取值范围是（）图6解析：根据已知条件，A， B，p，B2构成一个矩形AB1 PB2，AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图6所示，设AB1 aAB2 b，点O的坐标为（x,y）,则点P的坐标为（a,b），(x a)2 x2 (yy1，则b) 122(X a)1 y22 (y b)1 x又由OP-，得(x2又由（x a）2 y2得 x2y221 2ax 1 a2 x2，贝U y2 1 ；同理有x2 (y2b）21，得 x2即有x2 y22由知7 x22，所以, x2 y2- 2 .y2，所以子|OA、2.a）2 （y b）2则 1-x2 1 y2 -，即 x2 y2 -444在概率统计中的应用概率统计由于其思维方式与以往的数学课程不同，并且它又蕴含了较广泛的数学知识，因 此概率统计成为很多学生的学习障碍。利用数形结合把线段、平面、空间图形能明确直观 地分析、判断事件发生的概率大小。而概率事件的计算正是依据图形的长度、面积和体积 来完成的。例7有一容量为100的样本，数据的分组及各组的频率如下:,），6； ,），16； ,），18； ,），22； ,），20； ,），10； ,），8.求数据小于的概率是多少?图8数据大于等于的频率是所以小于的频率为:3在长度为L的线段AB上任意作两点解析:分组频数频率LA|-t合计组100图7距C, D，求 CD CA 的概率。解析：将线段AB放在数轴的正上方，以A为原点，点B的坐标为L数设C,D的坐标分别CD CA，即为(x, y)、(x, y)0, L .而所有可能的结果都在如图9所示的正方形内,x y x，故 2x y 0.则所求概率为PS梯形S正方形4L-图9在导数中的应用就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几导数是高中数学中重要部分，也是较难的一部分。利用导数研究函数的极值、单调区 间、实际应用或证明不等式，尤其是题目中含有参数需要分类讨论时，使得本已抽象的问 题更加复杂化，学生在学习和解答时，大多十分茫然，不知从何下手。然而将抽象的数学 语言与直观的图象结合起来，也何背景，在代数与几何的结合上寻找解题几何形式”的数学化归现“由一种代数形式转化为一种x例9已知函数f(x) (x k)2ek .(I)求f (x)的单调区间(U)若对于任意的x (0思路，使南F解决的数的问题转化为形的讨论，实A)，者2有 f (x)B求k的取值范围Xe解析：(I)函数f(x)的定义域为(1 彳f(x)(T2 宀 0)，由f (x) 0求得函数f( x)的单调递增区间，由f (x) 0求得函数f (x)的单调递减区xxek的乘积构成，函数h(x) ek1间，而导函数f (X)由两个基本函数g(x) X2 k和h(x)k的图像，无论k 0还是k 0,都位于x轴的上方，所以h(x) 0恒成立，故影响导函数f (x) 符号正负的只有函数g(x) -x2 k，而函数g(x)丄x2 k的实质是一个二次函数。kk当k 0时，函数g(x) -x2 k图像是一个开口方向向上的抛物线(如图10)k此时，只需看图10说话了：当 x ( , k)时，f (x) 0 ;当 x ( k,k)时，f (x) 0;图10(k, k).当k 0时，f （x）的单调递增区间是（，k）和（k,）;单调递减区间是f(k 1) e1，因此,ef（x）在区间（0,）上的图如图12图12所以不会有x （0,当k 0时，f （x）1）,f（x） f e（x）什 g（x）的单调递减区间是（,k）和（k,）;单调递增区间是（k, k）.因此，f （x）在区间（0,）的单调情况是因此，f （x）在区间（0,） 上的草图（如在区间（0, k）上递增；在区间（k,）上递减.y -ex*图13图13因此，f（X）在（0,）上的最大值f( k)4k2e所以(0,),f(x)1等价于f（4k2所以，当k 0时f （x）的单调递增区间是（，k）和（k,）;单调递减区间是（k,k）.(k,k).因此，f （x）在区间（0,）的单调情况是：在区间（0,k）上递减；在区间（k,）上递增，且解得1 一-时，k的取值范围是 e在复数中的应用复数有四种表示形式：代数形式，几何形式，三角形式及指数形式。由这四种形式 所建立起来的复数运算法则，各具特点，通过它们之间的相互转化，我们能灵活地分析和 解决问题，尤其是代数形式与几何形式的相互转换，其思想方法是属于数形结合，这为我 们解决复数问题拓宽了思路。例10复数z满足条件z 1 i z 1 i 2/2的z在复平面的对应的点集合是()A.圆B.双曲线C.椭圆D.线段解析：z 1 iz 1 iz ( 1 i)z (1 i).复数1与1 i对应的点分别为HP?，如图14，图14故z 1 iz 1 iz ( 1i) z (1i)的几何意义是：在复平面内，复数 z对应的点到RP2的距离为2Q2 .I pi 5 = 2 佢满足条件z 1 i| |z 1 i|2迈的z对应的点集合为线段Bp.故答案选D.5应用数形结合解题时的缺点及注意点图形在几何学习与解题活动中有着重要的地位，但几何图形也有可能产生负面的影响。14哈拉达等人(Harada,Callon-Dumiel&Nondad,2000 )指出，这些负面的影响至少 有三个：(1)图形容易使人产生错误的视觉判断；(2)对图形缺乏动态的观点(dynamicviewpionts ) ;(3)过分依赖典型范例(prototypeexample ).数形结合思想是一种基本的数学思想，运用其可优化解题过程，然而数形结合思想 并不是万能的，只有在解题过程中注意细节的处理，才能真正做到游刃有余。1、图形未必能作数形结合思想在数学解题中运用广泛，它为解决数学问题提供了更多更好的途径与方法。但并不是每个问题都可以通过数形转换的方法解决，因为有些图形是不可以作的。如果没有分析图形能不能作就用数形结合思想解题，不但不能正确解决问题，而且浪费大量的时 间。1 x为有理数例11设函数D (x)0,x为无理数,，则下列结论错误的是()A D(x)的值域为0,1 B、D(x)是偶函数C、D(x)不是周期函数 D D(x)不是单调函数解析：本题以狄利克雷函数为背景，答案为 C.该函数图像无法做出，因此不能用数形结合 思想方法来解决问题。2、图形未必快数形结合思想方法是近些年来高考重点考查的思想方法之一，每年的高考试题(特别是客 观题)能够用此方法解决者均占相当大的比例。其主要特点是直观、快捷，因此是高考备 考中的重要数学解题方法。但这并不意味着所有题目用数形结合解题都快速，相反的有的 题目应用图形解题更慢，使解题过程更复杂，运算量更大。这就要求我们针对不同问题， 恰当采用数形结合思想方法。例12设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f (x)是f(x)的导函数。当 x 0,时，0f(x)1 ;当 x (o,)且 x 时，(x ) f (x)0.则函数 y f (x) sinx2 2在 2 ,2上的零点个数为().A、2B、4CC 5D 8解析：本题若利用图像特征，运用数形结合思想判断零点个数，更费时间。依据题意 可直接将函数转变成f (x) cosx.解出答案为B.3、图形未必精准在数学解题中，形象、直观的数形结合方法为我们分析、简化问题提供了重要途径。但在 具体问题的解决中图形的精准性直接影响着解题的正误，有的学生在利用数形结合解题时 由于缺乏对图形准确性的认识导致解题错误。因此图形的精准性是数形结合思想的前提条 件，即使是草图也应该画准确，必要时要对图形的直观分析给出推理论证。例 13函数 f(x) x cosx在0,)内().A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点 D有无穷多个零点解析：本题判断函数f (x). x cosx在0,)内是否有零点，可转化为判断 f (x) . x与f(x) cosx的交点个数，进而借助图像进行分析，得出答案为B.在分析过程中要做到以“数”控“形”，否则容易因图形不准而误解。6 结论主要发现 数形结合思想方法在高中数学中应用广泛，其运用主要是数学问题的条件与结论之间的内 在联系，分析其代数意义，揭示其几何直观，使数量关系的精确度与空间形式的直观形象 巧妙、和谐地结合在一起 . 如在解集合、函数、数列、不等式、线性规划、向量、概率统 计、导数、复数问题中，运用数形结合，直观易发现解题途径，进而能避免复杂的计算和 推理，大大简化了解题过程。这在解高考选择题、填空题中更显重要，既省时又省力，能 够得到事半功倍的效果。启示和意义 数学问题的编拟与构造，常常遵循由简到繁的规律，有的将一个简单代数问题和一个几何 问题结合后变成一个复杂新问题 . 在新问题中常常已隐去其“本真”面目，有时变得面目 全非，但或多或少总会留下一些刀劈斧凿、精雕细刻的痕迹。解决这些问题要真正掌握数 形结合的精髓，必须有雄厚的知识基础和熟练的基本技能，就要注意培养数形结合思想意 识，要争取胸中有图，见数想图，以开阔自己的思维视野。局限性 数形结合思想方法运用非常广泛，本文只介绍了一些简单的方法，没有做更深度的研究。 所选例题是一些具有代表性的数形结合的题目，对于陌生的题目该用哪种方法未能一一探 讨。努力方向 在面对不同数学题时，学生能判断出用哪一种方法解题，选择最合适的方法快速解题，真 正做到省时省力这是今后研究的努力方向。参考文献1 叶立军.数学方法论M.杭州：浙江大学出版社， 2008, (6): 148 - 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