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高中导数题的解题技巧选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势: 导数应用:导数,函数单调性,函数极值,函数最值,导数的实际应用( 【考点透视】 1(了解导数概念的某些实际背景,如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义,理解导函数的概念( 2(熟记基本导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则(了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数( 3(理解可导函数的单调性与其导数的关系,了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,导数在极值点两侧异号,会求一些实际问题,一般指单峰函数,的最大值和最小值( 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求:了解导数概念的实际背景掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义理解导函数的概念. 2xx例1(2006年辽宁卷)与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为 yx,yeex,，,21(0)A. B. C. D. yx,，ln(1)yx,ln(1)yx,，ln(1)yx,ln(1)考查目的本题考查了方程和函数的关系以及反函数的求解.同时还考查了转化能力 x22xxx解答过程， xe,？,0,1yeexey,，,21(0)(1)x,1即:，所以. eyxy,，,，1ln(1)fxx()ln(1),，故选A. xa,例2. ( 2006年湖南卷)设函数,集合M=,P=,若MP,则实数a的取值范围是 ( ) |()0xfx,|()0xfx,fx(),x,1A.(-?,1) B.(0,1) C.(1,+?) D. 1,+?) 考查目的本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. xa,解答过程由,？,0,1;,1.当a1时当xaaxa1时x,1 /xxa,1，xaxaa,1,/yy,？,0. ,22xx,11,xx,11，？,a1.综上可得MP时,？,a1.考点2 曲线的切线 (1)关于曲线在某一点的切线 求曲线y=f(x)在某一点P(x,y)的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切线的斜率. (2)关于两曲线的公切线 若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线. 典型例题 314例3.(2004年重庆卷)已知曲线y=x+，则过点P(2，4)的切线方程是_. 33思路启迪:求导来求得切线斜率. 2解答过程:y=x，当x=2时，y=4.?切线的斜率为4. ?切线的方程为y,4=4(x,2)，即y=4x,4. 答案:4x,y,4=0. 4例4.(2006年安徽卷)若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为( ) llyx,xy，,480A( B( 430xy,xy，,450C( D( 430xy,，,xy，,430选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 考查目的本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力. 434解答过程与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，,lyx,yx,4xy，,48040xym,，,yx,1)处导数为4，此点的切线为. 430xy,故选A. 22 5例5( ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x+y-4x+2y+=0相切的直线的方程为 ( ) 21111A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3x或y=x 3333考查目的本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力. 解答过程解法1:设切线的方程为 ykxkxy,？,0.522又xy,，,？,21,2,1.圆心为， 221k，512？,？，,？,3830.,3.kkkk 223k，11？,yxyx,3.或 3故选A. 1331,解法2:由解法1知切点坐标为由 (,),2222,/52,2，xy(2)1,，,，,，x2,x/xyy？,，,2(2)210,，x x,2/y？,.xy，11/kyky？,3,.xx113231,(,)(,)322221yxyx？,3,.3故选A. 22例6.已知两抛物线, 取何值时，有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程. aC:y,x，2x,C:y,x，aCC121222思路启迪:先对求导数. C:y,x，2x,C:y,x，a12222解答过程:函数的导数为，曲线在点P()处的切线方程为，Cx,x，2xy,x，2xy,2x，2y,(x，2x),2(x，2)(x,x)111111112即 ? y,2(x，1)x,x112曲线在点Q的切线方程是即 (x,x，a)Cy,(,x，a),2x(x,x)1222222 ? y,2xx，x，a22若直线是过点P点和Q点的公切线，则?式和?式都是的方程，故得 ll222，消去x得方程， 2x，2x，1，a,0x，1,x,x,x，1211121211若?=，即时，解得，此时点P、Q重合. 4,4，2(1，a),0a,x,122选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 11?当时，和有且只有一条公切线，由?式得公切线方程为 . CCa,yx,1224考点3 导数的应用 中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数导数是研究函数性质的重要而有力的工具特别是对于函数的单调性以“导数”为工具能对其进行全面的分析为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法进而与不等式的证明讨论方程解的情况等问题结合起来极大地丰富了中学数学思想方法.复习时应高度重视以下问题: 1. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值,最值,; 5.构造函数证明不等式. 典型例题 例7(2006年天津卷)函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开,(a,b)f(x)f(x)(a,b)f(x)区间内有极小值点( ) (a,b)A(1个 B(2个 yy,yy,ff(xx)C(3个 D( 4个 考查目的本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力. bb解答过程由图象可见,在区间内的图象上有一个极小值点. (,0)a OOaaxx故选A. 1例8. 设为三次函数，且图象关于原点对称，当时，的极小值为yfx,()fx()x,2，求出函数的解析式. ,1fx()32思路启迪:先设，再利用图象关于原点对称确定系数. fxaxbxcxda()(),，,032解答过程:设，因为其图象关于原点对称，即 fx(),fxaxbxcxda()(),，,0，得 ,fx()3232，,，,，axbxcxdaxbxcxd 3？,，00，即()bdfxaxcx2 由， fxaxc(),，31311c 依题意， ， fac(),，,0fa(),，,124282解之，得. ac,43，3 故所求函数的解析式为. fxxx(),43例9.函数的值域是_. yxx,，,，243思路启迪:求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。 240x，,解答过程:由得，即函数的定义域为. x,2,),，,2,x，,30,112324xx，,， ， y,24xx，23，2243xx，,，28x， 又， 2324xx，,，,2324xx，？ 当时， x,2y,0？函数在上是增函数，而，的值域是. ？,，,，yxx243(,),，,2,),，,1f(),21yxx,，,，243选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 332例10(2006年天津卷)已知函数，其中为参数，且( x,R,0,2,，fx,4x,3xcos,，cos,16(1)当时，判断函数是否有极值; cos,0，fx(2)要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围; ,fx()(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围( a,，2a,1,a，fx考查目的本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法. 3解答过程(?)当时，则在内是增函数，故无极值. cos0,fxx()4,fx()(,),，,cos,2(?)，令，得. fxxx()126cos,fx()0,xx0,122由(?)，只需分下面两种情况讨论. ?当时，随x的变化的符号及的变化情况如下表: cos0,fx()fx()(,0),x 0 cos,cos,cos, ，,(,)(0,)222fx()+ 0 - 0 + fx()? 极大值 ? 极小值 ? cos,cos,cos13,3因此，函数在处取得极小值，且 fx(),xf(),，f()cos,222416.cos,1332要使，必有，可得. ,f()0,cos(cos)00cos24423,311由于，故. ,或0cos,62262?当时，随x的变化，的符号及的变化情况如下表: cos0,fx()fx()(0,)，, x 0cos,cos,cos, ,(,0)(,)222fx()+ 0 - 0 + fx()极大值 极小值 3因此，函数处取得极小值，且 fxx()0在,f(0),f(0)cos.16若，则.矛盾.所以当时，的极小值不会大于零. cos0,cos0,fx()f(0)0,311综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为. (,),，,fx(),(,)(,)6226cos,(III)解:由(II)知，函数在区间与内都是增函数。 fx()(,),，,，,(,)2由题设，函数内是增函数，则a须满足不等式组 fxaa()(21,)在,21aa,21aa, 或 1a,0,21cosa,213311,3由(II)，参数时时，.要使不等式关于参数恒成立，必有，,21cosa0cos,(,)(,),21a,226226443，即. ,a8选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 43，综上，解得或. a,0,a1843，所以的取值范围是. a(,0),1),8例11(2006年山东卷)设函数f(x)=ax,(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的单调区间. ,考查目的本题考查了函数的导数求法,函数的极值的判定,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 ax,1解答过程由已知得函数的定义域为，且 fx()(1,),，,fxa()(1),x，1(1)当时，函数在上单调递减， ,10afx()(1,),，,fx()0,1(2)当时，由解得 a,0fx()0,x,.a、随的变化情况如下表 xfx()fx()111 x(,)，,(1,),aaa fx() 0 + fx()极小值 从上表可知 11当时，函数在上单调递减. fx()fx()0,(1,),x,(1,)aa11当时，函数在上单调递增. fx()0,fx()(,)，,x,，,(,)aa综上所述:当时，函数在上单调递减. ,10afx()(1,),，,11当时，函数在上单调递减，函数在上单调递增. a,0fx()fx()(,)，,(1,),aa32例12(2006年北京卷)已知函数在点处取得极大值，其导函数x5fxaxbxcx(),，0的图象经过点，如图所示.求: yfx,()(1,0)(2,0)(?)的值; x0(?)的值. abc,考查目的本小题考查了函数的导数,函数的极值的判定,闭区间上二次函数的最值, 函数与方程的转化等基础知识的综合应用,考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力 解答过程解法一:(?)由图像可知，在上，在上，在上, ,11,2fx0,2,，,，fx0,fx0,，故在上递增，在上递减， (-,，1)，(2，+)fx()(1,2)因此在处取得极大值，所以 x,1x,1fx，02(?) fxaxbxc()32,，由 fff(1)=0，(2),0，(1),5，320,abc，,得 ,1240,abc，,abc，,5,解得 abc,2,9,12.解法二:(?)同解法一 2(?)设 fxmxxmxmxm()(1)(2)32,，选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 2又 fxaxbxc()32,，m3所以 abmcm,232m332| fxxmxmx()2,，32m3由即得 f(1)5,，m,6,，,mm25,32所以 abc,2,9,1223,x例13(2006年湖北卷)设是函数的一个极值点. x,3，fx,x，ax，bex,R(?)求与的关系式(用表示)，并求的单调区间; abab，fx25,2x(?)设，.若存在使得成立，求的取值范围. a,0a,0,4，f,g,1，gx,a，e1212,4,考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力. ,23x解答过程(?)f (x),x，(a,2)x，b,a e, ,233由f (3)=0，得 ,3，(a,2)3，b,a e,0，即得b,3,2a， ,23x 则 f (x),x，(a,2)x,3,2a,a e,23x3x,x，(a,2)x,3,3a e,(x,3)(x，a+1)e. 令f (x),0，得x,3或x,a,1，由于x,3是极值点， 12所以x+a+1?0，那么a?,4. 当a3,x，则 21在区间(,?，3)上，f (x)0，f (x)为增函数; 在区间(a1，?)上，f (x),4时，x3,x，则 21在区间(,?，a1)上，f (x)0，f (x)为增函数; 在区间(3，?)上，f (x)0时，f (x)在区间(0，3)上的单调递增，在区间(3，4)上单调递减，那么f (x)在区间0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)， ,31而f (0),(2a，3)e0，f (3),a，6， 3那么f (x)在区间0，4上的值域是,(2a，3)e，a，6. 252x又在区间0，4上是增函数， gxae,，()()42242525且它在区间0，4上的值域是a，(a，)e， 44选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 2221125由于(a，),(a，6),a,a，,()?0，所以只须仅须 a,4242253(a，),(a，6)0，解得0a0时f(0)为极大值 C、b=0 D、当a0时f(0)为极小值 3211、已知函数y=2x+ax+36x-24在x=2处有极值则该函数的一个递增区间是( ) A、,23, B、,3+?, C、,2+?, D、,-?3, 54312、方程6x-15x+10x+1=0的实数解的集合中( ) A、至少有2个元素 B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素 二、填空题 f(xk)f(x),0013.若f(x)=2, =_. 0limk,02k14.设f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则f(0)=_. 215.函数f(x)=log(3x+5x,2)(a,0且a?1)的单调区间_. a16.在半径为R的圆内作内接等腰三角形当底边上高为_时它的面积最大. 三、解答题 3217.已知曲线C:y=x,3x+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x,y)(x?0)求直线l的方程及切点坐标. 00022p18.求函数f(x)=px(1-x)(p?N)在01内的最大值. +219.证明双曲线xy=a上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数. 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 20.求函数的导数 22x(1)y=(x,2x+3)e; x(2)y=. 31,x21.有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上假设其下端沿地板以3 m/s墙脚1.4 m时梯子上端下滑的速度. ,22222n1*22.求和S=1+2x+3x+nx,(x?0,n?N). n323.设f(x)=ax+x恰有三个单调区间试确定a的取值范围并求其单调区间. 224.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值, (2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值并说明理由. ba25.已知a、b为实数且b,a,e,其中e为自然对数的底求证:a,b. 24x,a26.设关于x的方程2x,ax,2=0的两根为、(,),函数f(x)=. 2x，1(1)求f()?f()的值, (2)证明f(x)是,上的增函数, (3)当a为何值时f(x)在区间,上的最大值与最小值之差最小, 【参考答案】 sinx0一、1.解析:y=e,cosxcos(sinx),cosxsin(sinx),y(0)=e(1,0)=1. 答案:B x，9y,402.解析:设切点为(x,y),则切线的斜率为k=,另一方面y=()=,故 002x，5x(x，5)02(1)(2)(1)(2)yx，9,15，93,400y(x)=k,即或x+18x+45=0得x=,3,y=,15,对应有y=3,y=,因此得两个切点0000000,2,15，55xx(x，5)(x，5)00003,441,A(,33)或B(,15,),从而得y(A)= =,1及y(B)= ,由于切线过原点故得切线:l:y=,xA,32525(,3，5)(155),，x或l:y=,. B25答案:A ,ff(0)(0)3.解析:由=,1,故存在含有0的区间(a,b)使当x?(a,b),x?0时,0,于是当x?(a,0)时f(0),0,当x?(0,b)时limx,0xxf(0),0,这样f(x)在(a,0)上单增在(0,b)上单减. 答案:B 2n32n-12n-124.解析:?f(x)=2xn(1,x),nx(1,x)=nx(1,x),2(1,x),nx,令f(x)=0,得x=0,x=1,x=,易知f(x)nn123n2，n22nn+122222在x=时取得最大值最大值f()=n()(1,)=4?(). n2，n2，n2，n2，n2，n答案:D 5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C fx，,k,fx()()00二、13.解析:根据导数的定义:f(x)=(这时) ,x,k0limk,k0选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 f(x,k),f(x)1f(x,k),f(x)0000？,limlimk,0k,02k2,k 1f(x,k),f(x)100,f(x),1.lim0k,02,k2答案:,1 14.解析:设g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x), f(0)=g(0)+0?g(0)=g(0)=1?2?n=n: 答案:n! 2loge(6x，5),loge1aa15.解析:函数的定义域是x,或x,2,f(x)=.(3x+5x,2)=, 23(3x,1)(x，2)3x，5x,211?若a,1,则当x,时loge,0,6x+5,0,(3x,1)(x+2),0,?f(x),0,?函数f(x)在(,+?)上是增函数x,2时fa33(x),0.?函数f(x)在(,?,2)上是减函数. 11?若0,a,1,则当x,时f(x),0,?f(x)在(,+?)上是减函数当x,2时 33f(x),0,?f(x)在(,?,2)上是增函数. 答案:(,?,2) 22h=AO+BO=R+,解得 16.解析:设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h那么R,x2x=h(2R,h),于是内接三角形的面积为 234S=x?h= (2Rh,h),h,(2Rh,h),1,134342从而 ,S(2Rhh)(2Rhh),212,1h(3R,2h)3423 2,(2Rh,h)(6Rh,4h),32(2R,h)h.3令S=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况所在区间(0,2R) 2333(0, R) R (,2R) h 222S + 0 , S 增函数 最大值 减函数 3由此表可知当x=R时等腰三角形面积最大. 23答案:R 232y0三、17. 解:由l过原点知k=(x?0),点(x,y)在曲线C上y=x,3x+2x, 0000000x0222y0?=x,3x+2,y=3x,6x+2,k=3x,6x+2 0000x02223y0又k=,?3x,6x+2=x,3x+2,2x,3x=0,?x=0或x=. 000000002x03由x?0,知x=, 023233331y0?y=(),3()+2?=,.?k=,. 022284x0选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 133?l方程y=,x 切点(,). 4282p,118. , f(x),px(1,x)2,(2，p)x2令f(x)=0得x=0x=1x= , 2，pp2p，2在01上f(0)=0f(1)=0 . ,f()4()，2p2pp2，p? . ,f(x)4()max，2p19.设双曲线上任一点P,xy, 002a , ky|,x,x02x02a? 切线方程 , y,y,(x,x)002x0令y=0则x=2x 022a令x=0则 . y,x012 . ?S,|x|y|,2a220.解:(1)注意到y,0,两端取对数得 22x2lny=ln(x,2x+3)+lne=ln(x,2x+3)+2x, 22,1(x,2x，3)2x,22(x,x，2),？,y,，2,，2,222yx,2x，3x,2x，3x,2x，3.222(x,x，2)2(x,x，2)22x ,？y,y,(x,2x，3),e.22x,2x，3x,2x，322x,2(x,x，2),e.(2)两端取对数得 1ln|y|=(ln|x|,ln|1,x|), 3两边解x求导得 ,111111,y,(),y3x1,x3x(1,x) 111x3,.？y,y,x,xx,x,x3(1)3(1)11,47221.解:设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5,当下端移开1.4 m时t=, 25,9t0,3151,1221又s=, (25,9t)?(,9?2t)=9t, 2225,9t所以s(t)=9=0.875(m/s). 710,157225,9，()151nn，22222n-111,(n，1)x，nx22.解:(1)当x=1时S=1+2+3+n=n(n+1)(2n+1),当x?1时1+2x+3x+nx=,两边同n26(1,x)乘以x,得 12n，n，22nx,(n，1)x，nxx+2x+3x+nx=两边对x求导得 2(1,x)222222n-1S=1+2x+3x+nx n选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 22122nn，n，1，x,(n，1)x，(2n，2n,1)x,nx=. 3(1,x)223.解:f(x)=3ax+1. 若a,0,f(x),0对x?(,?,+?)恒成立此时f(x)只有一个单调区间矛盾. 若a=0,f(x)=1,0,?x?(,?,+?),f(x)也只有一个单调区间矛盾. 11若a,0,?f(x)=3a(x+)?(x,),此时f(x)恰有三个单调区间. 3|a|3|a|11?a,0且单调减区间为(,?,)和(,+?) 3|a|3|a|11单调增区间为(, ). 3|a|3|a|a24.解:f(x)=+2bx+1, xa(1) 由极值点的必要条件可知:f(1)=f(2)=0,即a+2b+1=0,且+4b+1=0, 222121解方程组可得a=,b=,?f(x)=,lnx,x+x, 3636-121x,x+1,当x?(0,1)时f(x),0,当x?(1,2)时f(x),0,当x?(2,+?)时f(x),0,故在x=1处(2)f(x)=,33542函数f(x)取得极小值,在x=2处函数取得极大值,ln2. 633ba25.证法一:?b,a,e,?要证a,b,只要证blna,alnb,设f(b)=blna,alnb(b,e),则 aaf(b)=lna,.?b,a,e,?lna,1,且,1,?f(b),0.?函数f(b)=blna,alnb在(e,+?)上是增函数?f(b),f(a)=alnabbba,alna=0,即blna,alnb,0,?blna,alnb,?a,b. 2、在教师的组织和指导下，通过自己的主动探索获得数学知识，初步发展创新意识和实践能力。圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补;balnx1,lnx证法二:要证a,b,只要证blna,alnb(e,a,b,即证,设f(x)=(x,e)则f(x)=,0,?函数f(x)在)2xx(e,+?)上是减函数又?e,a,b, 23.53.11加与减（一）4 P4-12balnalnb?f(a),f(b),即,?a,b. ,ab,8,826.解:(1)f()=,f()= ,f()=f()=4, 22a，16,aa，16，a3、思想教育，转化观念端正学习态度。2(2)设(x)=2x,ax,2,则当,x,时(x),0, 6、增加动手操作的机会，使学生获得正确的图形表象，正确计算一些几何形体的周长、面积和体积。222,(4x,a)(x，1),(4x,a)(x，1)4(x，1),2x(4x,a) ,f(x),2222(x，1)(x，1)(3)边与角之间的关系：22(2x,ax，2)2(x), ,02222(x，1)(x，1).(三)实践活动?函数f(x)在()上是增函数. (3)函数f(x)在,上最大值f(),0,最小值f(),0, 应用题?|f()?f()|=4,?当且仅当f()=,f()=2时f(),f()=|f()|+|f()|取最小值4此时a=0,f()=2. (6）三角形的内切圆、内心.选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 104.305.6加与减（二）2 P57-60选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开) 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
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