福建师范大学21秋《常微分方程》在线作业三答案参考69

福建师范大学21秋常微分方程在线作业三答案参考1. 两个无穷大量的和仍是无穷大。( )A.错误B.正确参考答案：A2. 甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数，求甲取得的数大于乙取得的数的概率甲从2，4，6，8，10中任取一数，乙从1，3，5，7，9中任取一数各有5种取法，因此共有25种取法，即样本空间含基本事件总数为25；下求A=甲取得数大于乙取得数含基本事件数，当甲取10时，乙只能取1，3，5，7，9共5种取法；甲取8时，乙只能取1，3，5，7共4种取法，同理当甲取2，4，6时，乙分别只有1，2，3种取法，故A含基本事件数为：1+2+3+4+5=15，因此 3. 设X1，X2，Xn是来自正态总体 N(，2)的简单随机样本，且2= 1.69，则当检验假设为Ho：=35 时，设X1，X2，Xn是来自正态总体 N(，2)的简单随机样本，且2= 1.69，则当检验假设为Ho：=35 时，应采用的统计量为_.参考答案：4. 若数列收敛，则该数列的极限惟一。( )A.正确B.错误参考答案：A5. 若f(x)=x*ex，则f&39;&39;(0)=2。( )A.错误B.正确参考答案：B6. 试列举所熟悉的一些代数系统试列举所熟悉的一些代数系统例如，(N，+)，(Q，-)，(R，)，(R-0，)7. 已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?已知某人在求职过程中，每次求职成功的概率都是0.4，问他要求职多少次，才能有90%的把握获得一个就业机会?用A表示求职n次至少有一次获得一个就业机会，则表示求职n次没有获得任何就业机会，依题意，即1-(1-0.4)n0.9，解之得n4.5所以至少要求职5次，才能有90%的把握获得一个就业机会8. 有限多个函数的线性组合的不定积分等于他们不定积分的线性组合。( )A.正确B.错误参考答案：A9. 设S2是来自正态总体XN(，2)的随机样本(X1，X2，Xn)的方差，2是未知参数，试问a，b(0ab)满足什么条件，才设S2是来自正态总体XN(，2)的随机样本(X1，X2，Xn)的方差，2是未知参数，试问a，b(0ab)满足什么条件，才能使2的95%的置信区间的长度最短?，其概率密度为 记u的分布函数为F(x)，则 而2的置信区间的长度为 (2) 而式(1)右端可见a，b之间存在隐函数关系，不妨设b是a的函数，从而由式(2)，L是a 的函数，为使L达到最小值，必须 即 b2=a2b (3) 式(1)两边关于a求导，并注意F(x)=F(x)0(x0)得F(b)b-F(a)=0，即 f(b)b-f(a)=0， 所以 (4) 将式(4)代入式(3)得 10. 晶体与非晶体的基本区别是什么?按晶体中有序分布的质点的不同，晶体可以分成哪几种类型，每种类型晶体与非晶体的基本区别是什么?按晶体中有序分布的质点的不同，晶体可以分成哪几种类型，每种类型的晶体其物理性质的特点如何?正确答案：晶体与非晶体的基本区别在于：晶体的质点的排列是有规律的非晶体的质点排列则毫无规律。rn 根据晶体中那些排列有序的质点的性质可以将晶体分成四种基本类型：分子晶体、离子晶体、原子晶体和金属晶体。rn 分子晶体分子晶体中有序排列的质点是分子质点之间的结合力属于分子间作用力这种力远小于离子键和共价键的结合作用所以分子晶体一般来说熔点低导电性能较差。rn 离子晶体离子晶体中有序排列的质点是正离子和负离子正、负离子间的静电引力即离子键的作用是很强的因此离子晶体的熔点通常要高出室温很多。在晶体中离子不能自由移动所以这些离子晶体导电性差。然而当融化时它们成为很好的导体。rn 原子晶体原子晶体中有序排列的质点是原子。在任何一种原子晶体中原子间都是以共价键相互连接的。由于共价键十分强所以这类物质具有很高的熔点十分坚硬通常导电性差。rn 金属晶体金属晶体中有序排列的质点是金属原子或金属离子金属离子和原子有序地排列与沉浸在由失去的外层电子所形成的电子的“海洋”中。金属晶体的某些性质相差很大这些差异可以由金属键的强弱来加以说明。晶体与非晶体的基本区别在于：晶体的质点的排列是有规律的,非晶体的质点排列则毫无规律。根据晶体中那些排列有序的质点的性质,可以将晶体分成四种基本类型：分子晶体、离子晶体、原子晶体和金属晶体。分子晶体分子晶体中有序排列的质点是分子,质点之间的结合力属于分子间作用力,这种力远小于离子键和共价键的结合作用,所以分子晶体一般来说熔点低,导电性能较差。离子晶体离子晶体中有序排列的质点是正离子和负离子,正、负离子间的静电引力,即离子键的作用是很强的,因此离子晶体的熔点通常要高出室温很多。在晶体中,离子不能自由移动,所以这些离子晶体导电性差。然而当融化时,它们成为很好的导体。原子晶体原子晶体中有序排列的质点是原子。在任何一种原子晶体中,原子间都是以共价键相互连接的。由于共价键十分强,所以这类物质具有很高的熔点,十分坚硬,通常导电性差。金属晶体金属晶体中有序排列的质点是金属原子或金属离子,金属离子和原子有序地排列与沉浸在由失去的外层电子所形成的电子的“海洋”中。金属晶体的某些性质相差很大,这些差异可以由金属键的强弱来加以说明。11. 设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_设随机变量X的数学期望E(X)=2，方差D(X)=4，则E(X2)=_812. 分别按下列条件求平面方程：分别按下列条件求平面方程：可取该平面的法向量为j=(0，1，0)，于是所求平面方程为y+5=0$可先设该平面方程为Ax+By=0，以(-3，1，-2)代入，得-3A+B=0，即B=3A，代入上面方程并消去A，所求方程为x+3y=0$记M1(4，0，-2)，M2(5，1，7)，则该平面的法向量n，且nOx，而=(0，9，-1)，所以=(0，9，-1)，于是所求平面方程为9(y-0)-(z+2)=0，即9y-z-2=013. 微分方程y&39;&39;-4y&39;+4y=xe2x的一个特解可设为y*=( ) Ax2e2x Bx3e2x Cx2(Ax+B)e2x De2x微分方程y-4y+4y=xe2x的一个特解可设为y*=()Ax2e2xBx3e2xCx2(Ax+B)e2xDe2xC14. 已知f(x)在点x0处可导，且f&39;(x0)=2，求极限已知f(x)在点x0处可导，且f(x0)=2，求极限原式=15. 利用夹逼准则，求(a0)利用夹逼准则，求(a0)当a1时，而(n)，由夹逼准则知. 当0a1时，而(n)，由夹逼准则知所以 16. 以下两种陈述有何差别? (1)A1，An有一个发生； (2)A1，An恰有一个发生以下两种陈述有何差别?(1)A1，An有一个发生；(2)A1，An恰有一个发生在陈述(1)，(2)中都包含了A1，An只发生一个的情况但在陈述(2)排除了A1，An中有2个或2个以上同时发生的情况，而对陈述(1)并未将这些情况排除在外，事实上我们可表述如下： A1，An有一个发生=A1An， 17. 长为2l的杆，质量均匀分布，其总质量为M，在其中垂线上高为h处有一质量为m的质点，求它们之间引力的大小长为2l的杆，质量均匀分布，其总质量为M，在其中垂线上高为h处有一质量为m的质点，求它们之间引力的大小建立如图所示的坐标系， 取x为积分变量，x-l，l，任取一微元x，x+dx，小段与质点的距离为，质点对小段的引力为 铅垂方向的分力元素为， 由对称性知在水平方向的分力为Fx=0 18. 函数y=sinx在其定义域内有界。( )A.错误B.正确参考答案：B19. 在古典概型的概率计算中，把握等可能性是难点之一现见一例：掷两枚骰子，求事件A=点数之和等于5的概率下面在古典概型的概率计算中，把握等可能性是难点之一现见一例：掷两枚骰子，求事件A=点数之和等于5的概率下面的解法是否正确?如不正确，错在哪里?解法：因试验可能结果只有两个，一是点数之和为5，另一个是点数之和不等于5，而事件A只含有其中的一种，因而此解法是错误的，这种解法是对样本空间进行了不正确的划分，分割出的两部分不是等可能的，因而不能据此进行计算 正确的解法如下：掷两枚骰子的样本空间可形象地表为=(i，j):i，j=1，2，6，数对(i，j)表示两枚骰子分别出现的点数，因而一个数对即对应着一个样本点，一共含有62=36个这样的数对，每个数对出现的可能性都等于，而事件A只含有(1，4)，(2，3)，(4，1)，(3，2)这样四个数对，因而在几何概型的概率计算中，关键在于正确地刻画出事件A所对应的子区域SA在下例中找出SA是什么 例甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6h，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率 我们记该事件为A，甲、乙到达时间分别为x，y(单位：h)，则=(x，y)：0x24，0y24.为求SA，注意到，A发生当且仅当甲、乙到达时间之差不超过6h，即|x-y|6，因而 SA=(x，y)：0x24,0y24,|x-y|6,即图2.1中阴影部分区域，所以 20. 测定预测误差的统计指标主要有( )。 A总预测误差 B平均绝对误差 C相对误差 D均方根误差 E平均误测定预测误差的统计指标主要有()。A总预测误差B平均绝对误差C相对误差D均方根误差E平均误差ABCD21. 据理回答： (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(据理回答： (1)何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质? (2)何种连续函数具有“所有下和(或上和)都相等”的性质? (3)对于可积函数，若“所有下和(或上和)都相等”，是否仍有(2)的结论?正确答案：22. 判定下列各组命题公式中哪些是等价的，哪些是不等价的，为什么? (1)( )(AB)(AB) (2)A(BC)，(AB)判定下列各组命题公式中哪些是等价的，哪些是不等价的，为什么?(1)()(AB)(AB)(2)A(BC)，(AB)C(3)A(BC)，A(BC)(4)(AB)AB在选项(1)中： ()=(AB)(BA) =(AB)(BA) =(AB)(BA) =(AB)(AB)， 故本组是等价的 在选项(2)中： A(BC)=A(BC)=ABC， (AB)C=(AB)C=ABC， 故本组是等价的 在选项(4)中：(AB)=(AB)=AB，故本组是等价的 在选项(3)中：A(BC)=A(BC)，将此式与另式A(BC)对照，两者不等价 23. 设X1，X2，是AX=b的两个解，则X1-X2是_的一个解设X1，X2，是AX=b的两个解，则X1-X2是_的一个解AX=024. 设A，B，C是三个事件，且A与B互不相容，P(C)0，求证：P(AB)|C)=P(A|C)+P(B|C)设A，B，C是三个事件，且A与B互不相容，P(C)0，求证：P(AB)|C)=P(A|C)+P(B|C)依次证明P(ABC)=0，P(AB|C)=0再用例1.1725. f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+5x32+4x1x24x2x2；f(x1，x2，x3)=3x12+4x22+5x32+4x1x24x2x2；正确答案：f(x1x2x3)的矩阵为因为A的顺序主子式为3都大于零所以这个二项型是正定的f(x1,x2,x3)的矩阵为因为A的顺序主子式为3,都大于零所以这个二项型是正定的26. 若函数f(x)在(a，b)内存在原函数，则原函数有( )。A.一个B.两个C.无穷多个D.其他选项都选参考答案：C27. a是a与0的一个最大公因数。( )a是a与0的一个最大公因数。( )正确答案：28. 现有10年期面值1000元的债券，半年换算名息率为8.4%，兑现值为1050元若前5年的半年换算名收益率为10%，后5年现有10年期面值1000元的债券，半年换算名息率为8.4%，兑现值为1050元若前5年的半年换算名收益率为10%，后5年的半年换算名收益率为9%，计算该债券的价格所有息票的现值为 而兑现值的现值为 1050(1+0.05)-10(1+0.045)-10元=415.08元， 故所求债券价格为 528.33元+415.08元=943.41元 29. 已知函数y=|x|/x，则下列结论正确的是( )。A.在x=0处有极限B.在x=0处连续C.在定义域内连续不可导D.在定义域内连续可导参考答案：D30. 定积分是微分的逆运算。( )A.正确B.错误参考答案：B31. 设f(x,y)为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且在上恒大于零。 (1)试证明； (2)试问在相同条件下，第二型设f(x,y)为定义在平面曲线弧段上的非负连续函数，且在上恒大于零。(1)试证明；(2)试问在相同条件下，第二型曲线积分是否成立？为什么？(1)设为光滑曲线(若分段光滑就分段积分)，且 则 由已知条件知 故由定积分的性质，有 (2)在与(1)相同条件下，一般不能成立。这是因为第二型曲线积分与曲线的方向有关。 例：取 在L1上， 在L2上， 但 32. 当x0时，与x相比是( ) A高阶无穷小 B低阶无穷小 C等价无穷小当x0时，与x相比是()A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小C当x0时，是等价无穷小，可知选C33. 参数的区间估计与参数的假设检验法都是统计推断的重要内容，它们之间的关系是( ) A没有任何相似之处 B参数的区间估计与参数的假设检验法都是统计推断的重要内容，它们之间的关系是()A没有任何相似之处B假设检验法隐含了区间估计法C区间估计法隐含了假设检验法D两种方法虽然提法不同，但解决问题的途径是相同的D34. 已知1，2为2维列向量，矩阵A=(21+2，1-2)，B=(1，2)若行列式|A|=6，则|B|=_已知1，2为2维列向量，矩阵A=(21+2，1-2)，B=(1，2)若行列式|A|=6，则|B|=_-2 其中，|C|=-30 所以B=AC-1， 从而|B|=|A|C|-1=-2 方法点击 也可用行列式性质来解：|A|=|21+2，1-2|-|31，1-2|=3|1，1-2|=3|1，-2|=-3|1，2|=-3|B|，故|B|=2 35. 计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) yex，ye-x ，x1 ；(2)yx34x，y0； (3) yx2，yx，y2计算下列曲线围成的平面图形的面积： (1) yex，ye-x ，x1 ；(2)yx34x，y0； (3) yx2，yx，y2x； (4)y212(x3)，y21正确答案：解 (1)另所求平面图形面积为A如图612所示则rn解(1)另所求平面图形面积为A,如图612所示,则36. 设向量组 1，2，s线性无关 (1) 1，2，s线性无关 (2) 且向量组(2)能被向量组(1)线性表示。求证设向量组1，2，s线性无关(1)1，2，s线性无关(2)且向量组(2)能被向量组(1)线性表示。求证：向量组(1)能被向量组(2)线性表示。因为1，2，s可以看作是向量组1，2，s，1，2，s的极大线性无关组，因此r(1，2，s,1，2,.，s)=s。又因为向量组1，2，s线性无关，所以1，2，s亦是1，2，s,1，2，s的一个极大无关组，因此向量组(1)能被向量组(2)线性表示。37. 罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。( )A.错误B.正确参考答案：B38. 验证函数y=C1cosx+C2sinx(，C1，C2是常数)满足关系式： y+2y=0验证函数y=C1cosx+C2sinx(，C1，C2是常数)满足关系式：y+2y=0y=-C1sinx+C2cosx =-C1sinx+C2cosx， y=-C1cosx+C2(-sinx) =-2(C1cosx+C2sinx)=-2y 所以y+2y=0 39. 当x0时，下列函数是无穷大量的是( )。A.1/exB.sinx/xC.lnxD.1/x参考答案：D40. 我们知道，平面曲线x(t)的曲率中心的轨迹y(t)称为x(t)的渐缩线，x(t)称为y(t)的一条渐伸线，y(t)的我们知道，平面曲线x(t)的曲率中心的轨迹y(t)称为x(t)的渐缩线，x(t)称为y(t)的一条渐伸线，y(t)的切向量为x(t)的主法向量试将它推广到空间R3正确答案：设n(t)=cosV2(t)+sinV3(t)为点x(t)处的法向量其中=(nV2)为n(t)与V2(t)的夹角称直线y(t)=x(t)+n(t) (R)为该曲线在点x(t)处的法线显然主法线(=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线定义 如果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线定理1设y(t)(atb)为空间R3中的曲线则y(t)的渐伸线为 其中c为常数分别为y(t)的弧长与单位切向量及曲率c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的并都有无数条)证明设y(t)的渐伸线为两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线所以(t)+y(t)=0积分得因此y(t)的渐伸线为定理2给定空间R3中的曲线x(t)(atb)则x(t)的渐缩线为其中k(t)V2(t)V3(t)分别为x(t)的曲率主法向量从法向量；而0=(t0)是任意常数0取不同的值就得到不同的渐缩线rn证明设x(t)的渐缩线为y()=x(t)+(t)n(t)其中n(t)=cos(t).V2(t)+sin(t)V3(t) (t)=(n(t)V2(t)因为rn根据定理222y(t)的切线面(除脊线外)可展又因为y(t)为x(t)的渐缩线故y(t)的切线是x(t)的法线从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面它是可展曲面再根据定理221有因为y(t)为x(t)的渐缩线所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量于是上式两边点乘V1(t)得到0=1一(t)(t)cos(t)即此外从前式知cos(t)0且x(t)的渐缩线为设n(t)=cosV2(t)+sinV3(t)为点x(t)处的法向量,其中=(n,V2)为n(t)与V2(t)的夹角,称直线y(t)=x(t)+n(t)(R)为该曲线在点x(t)处的法线显然,主法线(=0)与从法线都是曲线在x(t)处的法线定义如果曲线y(t)的切线是曲线x(t)的法线,则称x(t)为y(t)的渐伸线；而y(t)为x(t)的渐缩线定理1设y(t)(atb)为空间R3中的曲线,则y(t)的渐伸线为,其中c为常数,分别为y(t)的弧长与单位切向量及曲率c取不同的值就得到不同的渐伸线(由此得到空间曲线与平面曲线的渐伸线在形式上是相同的,并都有无数条)证明设y(t)的渐伸线为,两边点乘并注意到y(t)的切线是渐伸线x(t)的法线,所以(t)+y(t)=0积分得因此,y(t)的渐伸线为定理2给定空间R3中的曲线x(t)(atb),则x(t)的渐缩线为其中k(t),V2(t),V3(t)分别为x(t)的曲率,主法向量,从法向量；而0=(t0)是任意常数,0取不同的值就得到不同的渐缩线证明设x(t)的渐缩线为y()=x(t)+(t)n(t),其中n(t)=cos(t).V2(t)+sin(t)V3(t),(t)=(n(t),V2(t)因为根据定理222,y(t)的切线面(除脊线外)可展又因为y(t)为x(t)的渐缩线,故y(t)的切线是x(t)的法线,从而y(t)的切线面就是x(t)的法线面,它是可展曲面再根据定理221,有因为y(t)为x(t)的渐缩线,所以y(t)的切向量就是x(t)的法向量于是,上式两边点乘V1(t),得到0=1一(t)(t)cos(t),即此外,从前式知cos(t)0,且x(t)的渐缩线为41. 设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f(0)=( )A.0B.1C.3D.2参考答案：C42. 设(，)的联合密度函数为 试求：设(，)的联合密度函数为试求：$因为Cov(，)0，所以与不独立 相关系数为 43. 如果函数g(x)在点x0处或f(u)在点u0处(其中u0=g(x0)不可导，那么复合函数fg(x)在x0处是否一定不可导？如果函数g(x)在点x0处或f(u)在点u0处(其中u0=g(x0)不可导，那么复合函数fg(x)在x0处是否一定不可导？不一定复合函数求导法则中关于函数g，f的条件是保证复合函数可导的充分条件，而不是必要条件，因此，函数g或f的可导性不满足时，复合函数仍有可能是可导的 例如：(1)g(x)=|x|在x=0处不可导，f (u)=u2在u=g(0)=0处可导，而f(g(x)=(|x|)2=x2在x=0处可导 (2)g(x)=x2在x=0处可导，f(u)=|u|在u=g(0)=0处不可导，而f(g(x)=|x2|=x2在x=0处可导. (3)g(x)=x+|x|在x=0处不可导，f(u)=u-|u|在u=g(0)=0处也不可导，而f(g(x)=x+|x|-|x+|x|在x=0处可导 44. 设简单图Gi=(i=1，2，6)，其中V=a，b，c，d，e， E1=(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)； E2=(a，b)，(b，e设简单图Gi=i(i=1，2，6)，其中V=a，b，c，d，e，E1=(a，b)，(b，c)，(c，d)，(a，e)；E2=(a，b)，(b，e)，(e，b)，(a，e)，(d，e)；E3=(a，b)，(b，e)，(e，d)，(c，c)；E4=(a，b)，(b，c)，(c，a)，(a，d)，(d，a)，(d，e)；E5=(a，b)，(b，a)，(b，c)，(c，d)，(d，e)，(e，a)；E6=(a，a)，(a，b)，(b，c)，(e，c)，(e，d)做出各图，试问：(1)其中图是有向图，是无向图$ 图是强连通图，图是单向连通图，无弱连通图 45. 设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于( ) (A) BAB-E (B) ABA-E (C) ABA-A (D) BAB-B设A，BAB-E是同阶可逆矩阵，则(A-B-1)-1-A-1)-1等于()(A) BAB-E(B) ABA-E(C) ABA-A(D) BAB-BC(A-B-1)-1-A-1)(ABA-A) =(B(AB-E)-1-A-1)(ABA-A) =B(AB-E)-1(AB-E)A-A-1A(BA-E)=E 46. 已知直线方程 L1： L2： 验证它们相交，并求它们所确定的平面方程已知直线方程L1：L2：验证它们相交，并求它们所确定的平面方程因为M1(1，1，0)是L1上的点，M2(-1，-2，-1)是L2上的点所以 因为 2，3，1)不平行于-1，1，1 故L1与L2相交 设M(x，y，z)是所求平面的任一点那么平面方程为 即 2x-3y+5z+1=0 47. 在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。在编制统计表时，若某项指标数据不详，用_表示。空格48. 若f(x)dx=F(x)+C，则f(ax+b)dx=_若f(x)dx=F(x)+C，则f(ax+b)dx=_F(ax+b)+C49. 设f：X-，与g：X-，是可测函数，证明x：f(x)g(x)与x：f(x)=g(x)都是可测集设f：X-，与g：X-，是可测函数，证明x：f(x)g(x)与x：f(x)=g(x)都是可测集证明令h(x)=g(x)-f(x)由于f，g可测，故h可测又因为 x：f(x)g(x)=x：h(x)0=h-1(0，)， x：f(x)=g(x)=x：h(x)=0=h-1(0)，(0，是-，中的开集，0是-，中的闭集故由可测函数的定义，h-1(0，)与h-1(0)都是可测的，结论成立 50. 设f(x+y,x-y)=x2-y2，则，分别为_ (A)y，x (B)2x，2y (C)2x，-2y (D)x，-y设f(x+y,x-y)=x2-y2，则，分别为_(A)y，x(B)2x，2y(C)2x，-2y(D)x，-yA因为f(x+y，x-y)=x2-y2=(x+y)(x-y)， 所以，f(u，v)=uv，即f(x，y)=xy，从而 ， 故应选(A) 51. 一枚硬币前后掷两次所出现可能结果的全部所组成的集合，可表示为( )A.正面，反面B.(正面，正面)、(反面，反面)C.(正面，反面)、(反面，正面)D.(正面，正面)、(反面，正面)、(正面，反面)、(反面，反面)参考答案：D52. 给定三点Ai(xi，yi)，i=1，2，3 求证按最小二乘拟合这三点的直线过A1A2A3的重心给定三点Ai(xi，yi)，i=1，2，3 求证按最小二乘拟合这三点的直线过A1A2A3的重心记，则为A1A2A3的重心 设拟合直线为 y=a+bx， (5.7) 则a，b满足正规方程组 其中s0=3，考虑第一个方程 两边同除以3得，即点在直线(5.7)式上因而按最小二乘拟合三点Ai(i=1，2，3)的直线过A1A2A3的重心 53. 函数y=tan2x+cosx是一个非奇非偶的周期函数。( )A.正确B.错误参考答案：A54. Fx中，不与x1相伴的是A、2x2B、3x3C、3x3D、2x2Fx中，不与x-1相伴的是A、2x-2B、3x-3C、3x+3D、-2x+2正确答案： C55. 函数y=6x-5-sin(ex)的一个原函数是6x-cos(ex)。( )A.正确B.错误参考答案：B56. 设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有设f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0，f(x)0，g(x)0,证明：对任何a0，1有证法1设 则F(x)在0，1上可导，并且 F(x)=g(x)f(x)-f(x)g(1)=f(x)g(x)-g(1) 由于x0，1时，f(x)0，g(x)0，表明g(x)在0，1上广义单调增加，所以F(x)0，即F(x)在0，1上广义单调减少 注意到 而故F(1)=0 因此，x0，1时，F(x)0,由此可得对任何a0，1，有 证法2 因为所以 又由于x0，1时，f(x)0，所以f(x)在0，1上广义单调增加，则有f(x)f(a)，对于任意xa，1 又由题设，当x0，1时，有g(x)0，所以 f(x)g(x)f(a)g(x)，xa,1于是 从而 注 在证法2中，证明“”时用到了f(x)的单增性和积分性质,在这一步骤中，可以用积分中值定理，具体证明如下： 由积分中值定理知，存在a，1，使 一般来说，有关定积分的等式或不等式的证明，可将某一积分上限换成x，从而将问题转化为一个有关函数的等式或不等式问题，再通过研究该函数的性态来达到证明的目的，如果用该思路来证明本问题，可考查考生对定积分变上限函数的导数的理解和计算以及利用导数判断函数单调性的掌握，另外，通过对不等式左边的两个被积函数形式的考察，可以想到用定积分的分部积分法来变形，所以本题一般可用以下两种方法证明 57. 设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角设cabba，且a，b，c都为非零向量，证明：c平分a与b的夹角正确答案：aca(ab)b(aa)a(ab)bca(bb)b(ba)b(ba)58. 函数x=xy(1-x-y)的极值点是_ (A)(0，0) (B)(0，1) (C)(1，0) (D)(，)函数x=xy(1-x-y)的极值点是_(A)(0，0)(B)(0，1)(C)(1，0)(D)(，)D因为=y(1-2x-y)，=x(1-x-2y) 令，即 解得：， 又因为 ， 当(x，y)=(0，0)时，A=0，B=1，C=0，B2-AC=10，所以，点(0，0)不是极值点 当(x，y)=(0，1)时，A=-2，B=-1，C=0，B2-AC=10，所以，点(0，1)不是极值点 当(x，y)=(1，0)时，A=0，B=-1，C=-2，B2-AC=10，所以点(1，0)不是极值点， 当(x，y)=(，)时，A=-，B=-，C=-，B2-AC=-0且A0，所以，点(，)是函数的极大值点 故应选(D). 59. 把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?把长为的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?正确答案：设一段长为x则另一段长为-x矩形面积为f(x)=x(-x)则f(x)=-2x=0故x=/2f(x)=-20故x=/2是f(x)的极大值点。 rn 故当两段等长度截开时以这两线段为边所组成的矩形面积最大。设一段长为x,则另一段长为-x,矩形面积为f(x)=x(-x),则f(x)=-2x=0,故x=/2,f(x)=-20,故x=/2是f(x)的极大值点。故当两段等长度截开时,以这两线段为边所组成的矩形面积最大。60. 在计算机时代，_ 已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。在计算机时代，_ 已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。参考答案计算方法