工程矩阵理论 东南PPT课件

1要 求1.重点是基本理论，基本方法；2.结合授课内容，熟悉课本；3.通过例题，掌握相关概念和理论；4.通过练习题，熟悉相关理论、方法；5.及时复习、总结，巩固所学内容。第1页/共348页2本课程大致内容第0章 复习与引深第1章 线性空间与线性变换第2章 内积空间、等距变换第3章 矩阵的相似标准形第4章 Hermite二次型第5章 范数及矩阵函数第6章 矩阵的广义逆第2页/共348页3矩阵理论. 1kA，A计算是方阵设.lim. 2kkA极限. 3的求解线性方程组bAx 第3页/共348页4第0章 复习与引深1.矩阵运算2.线性方程组3.向量组的极大无关组及秩4.矩阵的秩及等价标准形第4页/共348页5矩阵的乘法中应注意的问题1 存在非零零因子 例1 0101010n nN第5页/共348页62 不可交换.,00:22121交换的矩阵可求所有与互异其中设例AddddA:可以证明.,是数量矩阵则阶方阵可交换与任意如果AnA第6页/共348页7由此导致的一些问题 乘法消去律不成立? ,CBACABAA必可推出满足什么条件时，由当对给定的矩阵一些代数恒等式对矩阵不再成立mmmmmmmmmmBABCBACBACABABA1122211,即相应的二项式定理成立可交换时与当第7页/共348页8例311Aknn次幂：矩阵的计算下述解：kkkkkkkkkkkkkNCNICNICNICINIANINIA1122211)()()()()(可交换，与且kkkkkkkkkkkkNCNCNCNCIA1122211112211112211000000kkknk nkkkkkkkkkkkkCCCCCC 第8页/共348页9分块矩阵的乘法规则设 tnijnsijbBaA,qrqqrrpqppqqBBBBBBBBBBAAAAAAAAAA212222111211212222111211,在一定条件下，ABC 也可以写成分块矩阵将这两个矩阵分块：prpprrCCCCCCCCCC212222111211其中，1122ijijijiqqjCA BA BA B第9页/共348页10条件：上式有意义.的行的分法一致的列的分法与BAqjiqjijiijBABABAC2211第10页/共348页11一些特殊的分块形式1. nsijnsijbBaA,均按行进行分块BA,)()()(BrArBAr第11页/共348页12（接上页）不分块按列分块，BA. 2的列向量的线性组合，的列向量均是AAB.的相应的各个列的元素且组合系数刚好是B)(),()(BrArABr tnijnsijbBaA,设第12页/共348页13（接上页）按列分块。视作一块，将BA. 3.)()(,nBrArOAB则若第13页/共348页14（接上页）将相关矩阵分成四块。. 4第14页/共348页15非齐次线性方程组1. 线性方程组, bAx TsnsijbbbbaA21,其中，bArAr)(有解2. .,)(nrrbArAr则有唯一解若3. ( ),.r Ar Abrnnr若则通解中含有个自由未知量第15页/共348页16齐次线性方程组的基础解系,Ax nsijaA其中，对于齐次线性方程组1. 有非零解当且仅当.)(nAr.,)(. 2个解向量则其基础解系中含若rnnAr.,)(. 3其基础解系个线性无关的解向量是则其任意若rnnAr第16页/共348页17Gauss消元法阵化成阶梯形矩阵；用初等行变换将增广矩确定自由未知量；用回代法找出通解。第17页/共348页1815543423323322154321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx：求下列线性方程组的解例500000022111000431100111111初等行变换增广矩阵第18页/共348页19简化阶梯形矩阵第19页/共348页2015543423323322154321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx：求下列线性方程组的解例500000022111000431100111111初等行变换增广矩阵0000002211100026140100540011初等行变换第20页/共348页21例605540423303322054321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx础解系：求齐次线性方程组的基000001110003110011111初等行变换增广矩阵0000022100014010040011初等行变换第21页/共348页22例61. ( )();2.HHHAsnbsr Ar A AA AxA b设 是矩阵， 是 维列向量。证明：线性方程组恒有解。第22页/共348页23向量组的极大无关组及秩12121212121212, ,rrrsiiisiiiiiissr 若向量组的部分组线性无关且中每个向量均可由线性表示则称是向量组的一称 是极大无关组向量组的秩。., 21向量均是其极大无关组个线性无关的，则其中任意的秩为量组若向rrs第23页/共348页24例7第24页/共348页25矩阵的秩矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数 =A的行（列）向量组的秩有关矩阵的秩的不等式：);()()(. 1BrArBAr;)()(,. 3nBrArOBAtnns则若;)()()(. 4nBrArBArtnns);(),()(. 2BrArABr).()()(. 5BrArMrBOCAM，则设第25页/共348页26例8若A是可逆矩阵，证明r(AB)=r(B).第26页/共348页27例9设A是n阶幂等矩阵，证明：( )()r Ar IAn第27页/共348页28矩阵的等价标准形第28页/共348页29.10（矩阵的满秩分解），使得矩阵及矩阵，证明存在的秩为矩阵：假设例BCACnrBrsrAns（满秩分解）第29页/共348页30例11：.34330222311013212101的满秩分解求A00000020003633012101初等行变换解：A00000010001011010101初等行变换第30页/共348页31线性空间和线性变换第一章 第31页/共348页32第一节 线性空间的定义用F表示实数全体（R）或复数全体（C）.:数域实或复是是非空集合设定义）（，FV:上定义了两种运算及在FV;,:的和称为记这个元素为应中有惟一的元素与之对在对加法VV.,的积与称为记这个元素为应中有惟一的元素与之对在对数乘k，kVFkV：第32页/共348页33如果满足下述公理，则称V是数域F上的线性空间，V中的元素称为是向量。kkkFkVlklkFlkVkllFlVVVVVVVV)(,. 8;)( ,. 7;)()( ,. 6;1 ,. 5;,. 4;,. 3);()( ,. 2;,. 1对对对对使对使得元对对第33页/共348页34例1nFV . 1nnFV. 2. 3xFV . 4xFVnRFCV,. 5CFCV,. 6第34页/共348页35例1（续）CFRV,. 7通常运算,. 8RFRVRFRV,. 9kkFkVV,:;,:对对定义新的运算第35页/共348页36线性空间的性质则上的线性空间是数域假设,FV;. 1 中的零向量是惟一的V;,. 2记为的负元素是惟一的对V;,:. 3则若加法消去律;),(,. 4xxxV记有惟一解向量方程对;) 1( ,),().(5特别地kk或0. 6kk第36页/共348页37第二节 基、维数和坐标如： 在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。，。kkkkkkVssssss是线性无关的，称否则线性相关，量组则称向使得不全为零的数若，定义：设212122112121,.第37页/共348页38一些重要结论.1, 2. 121个向量线性表示余可由其使线性相关则若sjsjs.,.,. 2212121的线性表示的方法是惟一而且线性表示可由则线性相关但线性无关若sss第38页/共348页39一些重要结论（续）.,. 3212121线性相关则线性表示可由若tst，st.,. 1212121st，tst则线性无关且线性表示可由若推论.,. 22121tsst则线性无关且均等价与若推论第39页/共348页40例11000010000100001. 12221121122，E，E，E，EF中在2322213243,31,32. 2xxxxxx，xF中在123.,1,1VC FRi 124.,1,1VC FCi 第40页/共348页41定义（基，维数）.2.121212121的一组基是，则，称线性表示，均可由）（线性无关；，）（满足条件，若VVVnnnnVV，Vndim)(或维记为的维数是称第41页/共348页42注：.1,dim个向量线性相关中任意则命题：若nVnV.注：线性空间的基不一定存在如： ：V零空间0dim xFV dimxF第42页/共348页43例2. 1nFV . 222 FV. 3xFVn.,. 4RFCV.,. 5CFCV.,. 6RFRV第43页/共348页44定理1.,dim的基成个线性无关的向量均构中任意则若VnVnV 23222132)(,3)(,321)(:,:3xxxfxxxfxxxfxF基下述三个向量构成一组中在证明例第44页/共348页45定义（坐标）：nnnxxxVV221121,且的一组基是，设,2121下的坐标在基是则称nnxxx).(,2121列向量下的坐标在基是或nnxxx第45页/共348页46例4.)0 , 0 , 0(,),0 , 1 , 0(),0 , 0 , 1 (),(2121下的坐标在基中nnneeexxx，F第46页/共348页47例5.1000010000100001 2221121122下的坐标在基中，在，EE，EEdcbaAF第47页/共348页48注2.基的几何意义1.线性空间的基是有序的。 第48页/共348页49定理2则及下的坐标分别是在基假设., 2 , 1,21siXXV，ini;. 1X;. 222112211ssssXkXkXkXkkk.,. 32121线性相关线性相关ssXXX极大无关组的计算第49页/共348页50例6232213)(,2)(,1)(:xxxfxxxfxxfxF关性中下述向量组的线性相判断第50页/共348页51例74233,1221,3012,2211:22DCBAF关组中下述向量组的极大无求第51页/共348页52形式记号XxxxxxxXnnnnn),(),(,2121212121可形式地记成则下的坐标，在基是若第52页/共348页53形式记号,2121线性表示可由若st使得矩阵我们可以找到一个于是,AtsAst),(),(2121第53页/共348页54形式记号的性质Ast),(),(2121若Btp),(),(2121)(,(),(2121ABsp则第54页/共348页55例8,21线性无关设nAnn),(),(2121.,:21是可逆矩阵线性无关证明An第55页/共348页56定义(过渡矩阵)且的基都是及设,2121VnnAnn),(),(2121.,2121的过渡矩阵到基是从基则称nnA.过渡矩阵一定是可逆的于是，第56页/共348页57过渡矩阵的性质。AA，nnnn121212121,. 1的过渡矩阵是到基则从基的过渡矩阵是到基若从基.,. 2212121212121ABBA，nnnnnn的过渡矩阵是到基则从基的过渡矩阵是到基从基的过渡矩阵是到基若从基第57页/共348页58例9。，F的过渡矩阵到基从基求中在) 1 , 2 , 2(),2 , 1 , 2(),2 , 2 , 1 ()2 , 1 , 1 (),1 , 2 , 1 (),1 , 1 , 2(3213213第58页/共348页59定理3(坐标变换公式),21XVn下的坐标是在基设n,21在基,Y下的坐标是的过到基而从基nn,2121则,A渡矩阵是,AYX 或XAY1第59页/共348页60例10在基求中在231)(,xxxfxF2232 ,2xxxxx.下的坐标第60页/共348页61第三节 子空间, 交与和.,.,:VWVWFVWVWFV记子空间的是则称上的线性空间的运算也构成关于若的非空子集是上的线性空间是数域设定义.:的子空间是例xFxFn.:中的运算应当相同的运算与注VW第61页/共348页62定理1.关于线性运算封闭的子空间是则设WVWVW .:的子空间本身均是及例VV312:( , , )|3251( , , )|3250RVx y zxyzVx y zxyz例中集合第62页/共348页63两类重要的子空间1.|.s nnAFVFAVAx设称 是齐次线性方程组的解空间)(.,.,|. 2212121121ssssiiiis，LWWFkkWV，。FV记是其生成元生成的子空间是由称集合上的线性空间是设第63页/共348页64命题：;),(. 121WLWjs则若等价；与ssssLL,),(),(. 221212121).,(),(dim),(,. 321212121ssssrL，。L故的基的极大无关组是第64页/共348页65例1.),()2 , 1 , 0 , 2(),1 , 1 , 1 , 1 (),2 , 1 , 3 , 2(),1 , 1 , 2 , 1 (,432143214的一组基及其维数求已知中在LWF第65页/共348页66例2.),(1111,1111,2112,1221,22的一组基求中在DCBALWDCBAF第66页/共348页67例3.,|22的一组基中子空间求FyxxyyxWF第67页/共348页68例4.,|:,12012222的一组基并求的子空间是证明设WFXAAXFXWA第68页/共348页69定理2.,.1111,2112;22的一组基扩充成将已知例FBABA.的一组基成的子空间的基均可扩充有限维线性空间VV第69页/共348页70子空间的交与和.21V，VV假设212211212121|:使得且定义V，VVVVVVVVV.:32121的子空间是定理VV，VVV第70页/共348页71注：交与并的区别则若命题，LVLVts),(),(:212211),(212121tsLVV第71页/共348页72定理4（维数定理）21212121dimdimdim)dim(,VVVVVVVVV有假设第72页/共348页73例5.,|,|2121212122的及维数及求子空间设VVVVVVFyxxyyxVFyxyyxxVF第73页/共348页74例6.,),(),()7 , 3 , 1, 1 (),1 , 0 , 1, 2(),1 , 1 , 1 , 1(),0 , 1 , 2 , 1 (212142122112121的基及维数的子空间求设VVVVFLVLV第74页/共348页75例7.|,|22121121,44132211111121214241的基及维数，求已知VVVVBxFxVAxFxVBA第75页/共348页76直和21212122112121.,.,.VVVV，VV，VVVVV记为是直和则称使得惟一的若设定义第76页/共348页77定理5:,21则下述条件是等价的设VVV;. 121直和VV ;. 2 的表示方式是唯一的 ;. 321VV;dimdim)dim(. 42121VVVV.,. 52121的基的基合在一起就是将VVVV第77页/共348页78例82121|,|VVFAAAVAAAVFnnTTnn证明的子空间已知第78页/共348页79例921212|,|., VVFxAxFxVAxFxVAAFAnnnnn证明且设第79页/共348页80多个子空间的直和sssiiiissVVVVVV，siV，VVVVVVV212112121., 2 , 1,.,.记为是直和则称使得惟一的若设定义第80页/共348页81定理6;. 2 的表示方式是唯一的 ;. 3 jiijVVsiisiiVV11dimdim. 4.,. 52121的基的基合在一起就是将ssVVVVVV;. 121直和sVVV:,21则下述条件是等价的设VVVVs第81页/共348页82第82页/共348页83第四节 线性映射.),(,.:.下的原像在为称下的像在为的称则若设有映射定义fyx，fxyxfySxTSf第83页/共348页84。f，ffbabfaffxfySxTySfTSf是双射则称又是单射既是满射若是单射则称必能推得若由是满射则称使得若假设映射定义;, )()(;,)(,|)(.:.).,:(:1TSIfgIgfS，TgfTSf使得存在映射是可逆映射是双射定理第84页/共348页85定义：。UVfyfxfyxfVyxxkfkxfFkVxUVfFUV的线性映射到是从则称满足条件若映射上的线性空间均是数域设).()()(,. 2);()(,. 1:.,).,(UVHomUV的线性映射全体记为到从上的线性变换。到自身的线性映射称为VV第85页/共348页86例1.)(,:,. 1AxxfFxFFfFAnsnns定义为映射假设).( )(,)(:. 2xpxpfxFxpxFxFfnnn定义为映射第86页/共348页87例1.)(,:,. 3XAxfFXFFfFAnnnnnnnn定义为映射假设第87页/共348页88例2性变换：考虑下列变换是否为线是一给定向量。上的线性空间，是数域假设VFV0 . 0)(,. 1xfVx. 0)(,. 2xxfVx第88页/共348页89注换：下述变换肯定是线性变;)(,:xOVxVVO.)(,:xxIVxVVI第89页/共348页90线性映射的性质：;)(. 1:fUVf是线性映射。则：假设siiisiiissfkkfFkkkV112121);()(,. 2则若;)(),(),(,. 32121线性相关线性相关，则若UfffVss);(),(),()()(),(. 42121ssfffLVffRfLV的值域则若的核子空间。的子空间，称为是fVxfVxffK )(|)()(. 51第90页/共348页91例3定义为：其中：和维数：的值域及核子空间的基求线性映射:33xFxFff)( )(xpxpf第91页/共348页92例4ssnnsFxAxxfFFffFA,)(:.定义为：其中：和维数，的值域及核子空间的基求线性映射设).)(),(AKARf记为的值域及核子空间分别第92页/共348页93线性变换的运算,( ,),( ,),f fHom V UgHom U WkFkfffgf假设定义如下：它们都是线性变换。第93页/共348页94线性变换的运算的性质：则：假设).,(,VVHomhgf);().(1ghfhfg;)(. 2fhfghgf;).(3ghfhhgf证明：第94页/共348页95线性映射（变换）的矩阵：选定基偶：设).,(UVHomf ;,:21sVnU,:21Afffns),()(,),(),(2121若在选定基偶下的矩阵。是则称fA且如,VU Afffss),()(,),(),(2121在所选基下的矩阵。是线性变换则称fA第95页/共348页96例第96页/共348页97例5.,.,4323)(),(22211211222222下的矩阵在基求其中，定义为：EEEEfFdcbaXdcbacbacbbaXfFFHomf第97页/共348页98定理2.,)(,:;,:),(21212121AXfXVAUVUVHomfnsns下的坐标是在基则的坐标是在矩阵是下的在基偶若第98页/共348页99定理3在选定基偶：设),(UVHomf ;,:21sVnU,:21。下的矩阵是A在新的基偶则fPss),(),(2121Qnn),(),(2121下的矩阵是APQB112,( , ),sfHom V VAf 特别是 若在基下的矩阵是则, 在新的基Pss),(),(2121下的矩阵是.1APPB第99页/共348页100例6。xxxpxxpxxxpxFxp，xpxp，fxFxFf下的矩阵在基求线性变换2322133321)(,1)(,31)()()( )(:第100页/共348页101定理4下，则在基设下的矩阵分别是的基在假设ssFkBAVVVHomgf,),(,2121;. 1kAkf的矩阵是;. 2BAgf 的矩阵是;. 3ABfg的矩阵是。的矩阵是可逆，并且，矩阵可逆11. 4AfAf其实，对线性映射的矩阵有类似的性质。第101页/共348页102第五节 线性映射的值域及核子空间).()()()(),(1fKfRfVffUVHomf和被记为常及核子空间的值域假设则假设定理).,(. 1UVHomf ;)(UfRf是满射 .)(fKf是单射第102页/共348页103值域的计算即矩阵是下的在基偶若,:;,:),(2121AUVUVHomfnsAfffns),()(,),(),(2121)(),(),()(21sfffLVf于是).()(dimArfR从而，第103页/共348页104核子空间的计算.,)(,:;,:),(21212121AXfXVAUVUVHomfnsns下的坐标是在基则的坐标是在矩阵是下的在基偶若;)(AXfK因此，的基。是中的向量，则坐标的为是以的基础解系，是从而，若)(,2121fKVXAXXXXrnjjrn).()(dimArsfK特别，第104页/共348页105定理2（线性变换的维数定理）则假设).,(UVHomf VfKfRdim)(dim)(dim第105页/共348页106则设推论).,(,dim:VVHomfV是满射是单射可逆fff注：对无限维空间，推论不成立。（反例）第106页/共348页107例1的一组基及维数。及求对定义为：设)()()(,),(2222fKfRaddccbbaXfdcbaXFFHomf第107页/共348页108定义（不变子空间）：的不变子空间。是则称有若设fWWfWVWVVHomf,)(,.),(的不变子空间。均是则设例fFKfRVVHomf)(),().,(.第108页/共348页109为何要讨论不变子空间？第109页/共348页110为何要讨论不变子空间？第110页/共348页111例2.),(2OOOIVfffVVHomf似于的任意基下的矩阵均相在证明：且设第111页/共348页112线性空间的同构第112页/共348页113第113页/共348页114第114页/共348页115第115页/共348页116第二章内积空间、等距变换第116页/共348页117第一节 基本概念本章的目的：将内积推广到抽象的线性空间约定：数域F指实数域R或复数域C是酉空间。时称是欧基里德空间，当时称当。线性空间称为内积空间的内积。定义了内积的是则称若上定义了一个二元函数在上的线性空间，是数域定义：假设VCFVRFkkFkVVVVFV ,. 4;,. 3;,. 2; 0,. 1, 第117页/共348页118例1.,. 1TnRV.,. 2AtrBBARVTnn.)()()(),(,. 3113dxxgxfxgxfxRV.,. 4HnCV第118页/共348页119内积的性质;,. 1;,. 2kk;,. 31111jisitjjisitjjjiilklk0,. 4V对任意第119页/共348页120度量矩阵的坐标是的基，是设VVn,21jininjjiyx,11则,),(,),(2121TnTnyyyYxxxXYAXT下的度量矩阵。在基是称其中，nnnjiVAA,),(21;,TAARF则若HAACF则若,第120页/共348页121向量的模（长度）的模（长度）定义为定义：设,V,是单位向量。，则称若1性质：；且0, 0,. 1V;. 2kk.1,是单位向量则故若第121页/共348页122C-B不等式,V线性相关。，而且，等号成立第122页/共348页123三角不等式,V间的距离定义为，定义：向量)( ，d：三角不等式的距离形式),(),(),(,dddV第123页/共348页124正交性是正交的。，的内积为零，则称，定义：若向量。记222，则勾股定理：若第124页/共348页125标准正交基 定义： 由两两正交的非零向量组成的向量组。正交向量组称为 由两两正交的单位向量组成的向量组称标准正交向量组为。 作为正交向量组的基称为是。正交基 作为标准正交向量组的基称为是。标准正交基第125页/共348页126标准正交基下的内积XYYXVVHnn,2121则，的坐标是下在的标准正交基，是设nCYX,第126页/共348页127Schmidt正交化方法是线性无关的。设Vs,21正交化：:令11111111111132222333111122211,ssssssss单位化：siiii, 2 , 11第127页/共348页128例2121225VV假设 在基 ，下的度量矩阵是。求 的一组标准正交基。第128页/共348页129例3311 ( ), ( )( ) ( ).VR xf x g xf x g x dxV在中定义内积：求 的一组标准正交基第129页/共348页130酉矩阵.HnAA AI定义： 阶复矩阵 称为是，若酉矩阵HAAA1是酉矩阵命题：的标准正交基。的行（列）向量组是nCA第130页/共348页131定理1,21的标准正交基是设VnUnn),(),(2121是酉矩阵。是标准正交基则，Un,21第131页/共348页132Schmidt正交化方法的应用第132页/共348页133注使得的基，则有标准正交基是如果nnV,2121Tnn),(),(2121对角元均大于零。是上三角矩阵，且其主其中，T第133页/共348页134矩阵的UT分解第134页/共348页135例第135页/共348页136定理212121212,sssnsssnWVWV 假设是 的子空间，是的标准正交基，则存在使得是的标准正交基。第136页/共348页137第二节 正交补空间,.WVVWW 定义：设若，称。，称，对若2121221121,WWWWVWW.,.),(121jsjWVLW则：设定理第137页/共348页138正交补空间记定义：设,VW WVW| VW易证这是 的子空间，称是 的正交补空间。.,2WWVVW则：若定理,.VWUWUUW而且，若且则.,WWVW则推论：若第138页/共348页139正交补空间的计算.:s nnsACf CC假设定义线性映射为：( ),nf xAxxC ？和问题：如何计算)()(AKAR第139页/共348页140正交补空间的计算第140页/共348页141例1的一标准正交基。求设WAxxWA.|,210112101021 第141页/共348页142一个几何问题空间中点到直线的距离：PQ第142页/共348页143空间中向量到子空间的距离：V00第143页/共348页144使得求已知,.,WVVW),(min),(ddW则：假设定理.,3VVW),(min),(ddWW中的正投影）。在是（称W第144页/共348页145例2中的正投影。在求假设中，已知在WLWR).,().2 , 1 , 2(),3 , 1, 2(),1, 2 , 1 (21213第145页/共348页146例3第146页/共348页147最小二乘解的最佳近似解。求线性方程组设bAxCAns,第147页/共348页148第三节 等距变换( , ).VfHom V V定义：设 是内积空间，若,)(),(ffV,是等距变换。称f;,是正交变换称若fRF .,是酉变换称若fCF 第148页/共348页149例1定义为：是酉矩阵。设nnCCfA:nCxAxxf,)(第149页/共348页150定理1( , ).1 .2 .3 .4 .VfHom V Vffff设 是内积空间，下述条件等价：（） 保持长度不变；（ ） 保持内积不变；（ ） 将标准正交基变为标准正交基；（ ） 在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。第150页/共348页151( )f关于直线的反射( )f第151页/共348页152欧氏空间中的反射第152页/共348页153镜像变换第153页/共348页15411第154页/共348页155第三章 矩阵的相似标准形第155页/共348页156矩阵与线性变换本章的目的： 对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。 对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。第156页/共348页157第一节 特征值与特征向量第157页/共348页158矩阵的相似对角化第158页/共348页159线性变换的特征值、特征向量第159页/共348页160线性变换的可对角化问题第160页/共348页161例1,),(),(33TzyxXCCHomf定义为：zyxyxXf2)(的特征值、特征向量。求f第161页/共348页162线性变换的特征值、特征向量的计算第162页/共348页163例2,),(222222CXCCHomf定义为：XXf1111)(的特征值、特征向量。求f第163页/共348页164定理1.,BIAICBAnn是相似的，则若注：定理的逆命题不成立；. 1多项式。可定义线性变换的特征. 2第164页/共348页165特征多项式的计算第165页/共348页166主子式与子式第166页/共348页167主子式与子式第167页/共348页168特征多项式的计算 则定理：设,nnijaAnnnnnbbbbAI12211阶主子式）的（其中，jAbjj) 1(,11niiiab特别地，.) 1(Abnn第168页/共348页169矩阵的迹1( ),.nijn niiiAaaAtr A定义：设称为 的，记为迹则的特征值为命题：若,)(21nnnijaA,)(1niiAtr.1iniA.),()(,BABtrAtrBA相似，则推论：若第169页/共348页170例3的特征值。求设AAbbbaaaHnn.,2121第170页/共348页171化零多项式.0)(,)()(的根的特征值均是则是多项式。若设xfAOAfxf。或的特征值只能是证明：例：已知10.2AAA 第171页/共348页172第二节 Hamilton-Cayley定理.)(.)(,OACAICFAnn则定理：设( , ),( )( ).fHom V VCfC fO定理：设是 的特征多项式，则是上三角矩阵。使得存在酉矩阵引理：对AUUUCASchurHnn,第172页/共348页173例1.53431000AA求设32)(2C第173页/共348页174例2。，求已知100311301221AA2) 1)(1()(C第174页/共348页175最小多项式.AA定义：矩阵 的次数最低的、最高次项系数为一的化零多项式称为 的最小多项式1( ), ( )( )| ( ).m xxAm xx性质 ：若分别是矩阵 的最小多项式、化零多项式，则式是唯一的：任意矩阵的最小多项性质2有相同的最小多项式。相似，则：如果矩阵性质BABA,3小多项式）定义：（线性变换的最第175页/共348页176定理1000( ),( )( )|( ),()0()0m x C xAm xC xC mC设分别是矩阵 的最小多项式和特征多项式，则，并且，对。第176页/共348页177例1aaaaaaaaa11,01,式：求下列矩阵的最小多项第177页/共348页178例2的最小多项式。求设AAbbbaaaHnn.,2121第178页/共348页179例3,),(222222CXCCHomf定义为：XXf1111)(的最小多项式。求f第179页/共348页180第三节 可对角化的条件目的： 对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵； 对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。第180页/共348页181已知的判别方法。个线性无关的特征向量有相似于对角阵矩阵：定理nAAnn1。值的特征向量线性无关：矩阵的属于不同特征定理212121 ,211,211 12,2221 ,23,issiit iittsst sAA 定理 ：若是矩阵 的互不相同的特征值，是 的属于特征值 的线性无关的特征向量，则线性无关。第181页/共348页182线性变换的可对角化问题。个线性无关的特征向量有可对角化：定理nff1征向量线性无关。的属于不同特征值的特定理f:212121 ,211,211 12,2221 ,23,issiit iittsst sff 定理 ：若是线性变换 的互不相同的特征值，是 的属于特征值 的线性无关的特征向量，则线性无关。( , ).VnfHom V V假设 是 维线性空间，第182页/共348页183特征子空间0( , ),fHom V Vf定义：设是 的特征值。称00|( )VVf的特征子空间。的相应于特征值为0f第183页/共348页184可对角化的条件第184页/共348页185例1,),(222222CXCCHomf定义为：XXf1111)(。相应的特征子空间的基的特征值及求 f第185页/共348页186定理11( )( )()dim.iisriiifHom VCVr 设的特征多项式是，则第186页/共348页187定理21( , )( )()isriifHom V VC 设的特征多项式是，则下述条件是等价的：是可对角化的；f . 1;dim. 2irVii，sVVVV21. 3第187页/共348页188例2,),(222222CXCCHomf定义为：XXf2211)(; . 2相应的特征子空间的基的特征值及求f下的矩阵；在基求22122111,. 1EEEEf2 23.Cf问：是否存在的基，使得 的矩阵为对角阵？为什么？第188页/共348页189定理3的最小多项式无重根。相似于对角阵矩阵AAnn121,()(1) .issiinMM MMOr Msn引理：若 阶矩阵满足则第189页/共348页190例3相似于对角阵。则满足阶矩阵若AAAAn,2第190页/共348页191例4.3.)5(,1032IArIArIAACAnn求行列式并且，满足已知第191页/共348页192第四节 Jordan标准形问题：如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，如何找一最简单的矩阵与之相似。等价的问题：若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。第192页/共348页193Jordan形矩阵块。的矩阵称为定义：形如Jordanaaakk11形矩阵。块）的矩阵称为均是（其中，形如JordanJordanJJJJJis21的标准形。是相似，则称形矩阵与若矩阵AJJJordanA第193页/共348页194例11000020001200001,000100002,000100012,200120001,200020011,200120011,200020001?形矩阵下列矩阵是否为Jordan第194页/共348页195Jordan标准形的存在性、唯一性标准形。的也是的一个排列，则是其中，标准形，而的是矩阵若JordanAKJJJJJJJJJKJordanAJJJJsiiiiiisss,21212121的。标准形是存在的、唯一矩阵的块的次序外，除了相差JordanJordan第195页/共348页196唯一性的证明思路0001., ()() ;kkAJk r AIr JI若 与 相似，是数，则对一切正整数nknkNrNrNnnkk若若则矩阵若, 0, 1)()(,01010. 21等于矩阵，则是若kkIJrIJrJordanJ)()(. 3010块的块数。为主对角元的的，以中阶数JordankJ0第196页/共348页197定理1块的块数为：阶的为主对角元标准形中以的的特征值。则是矩阵设JordankJordanAA00)()(2)(11kkkBrBrBrIAB0其中，第197页/共348页198例224( )(1) (2) ,(2 )4,ACr AIAJordan已知矩阵 的特征多项式是且求 的标准形。第198页/共348页199例3242( )(1) (2) ,(2 )4, (2 )3,ACr AIr AIAJordan已知矩阵 的特征多项式是且求 的标准形。第199页/共348页200例4,411301621AJordan标准形：求下列矩阵的,786675161613B.) 1()(3 xxCA2) 1)(3()(xxxCB第200页/共348页201分块矩阵的最小多项式：的最小多项式间有关系则矩阵：若定理BAMBOOAM,2).(),()(BAMmmm第201页/共348页202Jordan标准形与最小多项式.,)()(31iisirirJordanJordanAxxmAi最高阶数为块的为主对角元的标准形中以的则的最小多项式是：假设矩阵定理的最小多项式无重根。相似于对角阵特别地，AA 第202页/共348页203例5形。的可能的求项式分别是的特征多项式和最小多已知JordanAxxxmxxxCA252)2)(1()(,)2() 1()(第203页/共348页204例642( )( )AC xm xxAAJordan已知 的特征多项式和最小多项式均是求 及的标准形。第204页/共348页205例7标准形。的求设JordanAAbbbaaaHnn.,2121第205页/共348页206例8., 1)()( 2AAArAtr证明：已知第206页/共348页207例9,126103 ,114PJordanA 求相似变换矩阵将下列矩阵变成其标准形：,786675161613B.) 1()(3 xxCA2) 1)(3()(xxxCB第207页/共348页208存在性的证明思路第208页/共348页209存在性的证明思路第209页/共348页210存在性的证明思路第210页/共348页211存在性的证明思路第211页/共348页212存在性的证明思路第212页/共348页213存在性的证明思路第213页/共348页214存在性的证明思路第214页/共348页215存在性的证明思路第215页/共348页216存在性的证明思路第216页/共348页217第五节 特征值的分布 .nnijaA设的谱；的特征值的集合为称AA,( )AAA谱半径称 的特征值的模的最大值为 的记为。iniiiiiiaaaaR111记：个盖尔园；的第称之为iARazzCiiii,的盖尔园系。为称ACGnii1第217页/共348页218定理1的盖尔园系中。的特征值必定在矩阵AA第218页/共348页219例1.61104A设中没有特征值。中有两个特征值，但21CC第219页/共348页220K-区,n nACAnknkk定义：设在 的 个盖尔园中， 有 个园构成一连通区域，但与 其余个园不相交，则称这 个连通区域为一 区。第220页/共348页221例2210021012A0105 . 03005 . 10B第221页/共348页222定理2个特征值。的区中有且仅有的盖尔园的kAkAAnAn推论：如果 的 个盖尔园互不相交，则 有 个互不相等的特征值。第222页/共348页223例35 . 001. 002. 014. 09 . 001. 011. 002. 01A区。的盖尔园均是1TA第223页/共348页224谱半径的估计121111,max,max,ijn nnnijiji nj njiAaaa 定理：设.,)(21A则，第224页/共348页225例45 . 001. 002. 014. 09 . 001. 011. 002. 01A第225页/共348页226例5. 6)(.211123321AA证明：设第226页/共348页227 应用第227页/共348页228对角占优矩阵第228页/共348页229对角占优矩阵第229页/共348页230第四章Hermite二次型第230页/共348页231第一节 H阵、正规阵 Hermite二次型与Hermite矩阵 标准形 惯性定理（唯一性） 正定性第231页/共348页232Hermite矩阵、 Hermite二次型数定义一复变量、复值函设,nnCA,)(1,jinjiijHxxaAXXXfTnxxxX),(21其中，可以证明：AARxxxfCxHnj),(,21第232页/共348页233Hermite矩阵、 Hermite二次型,()HHermiteHHermiteAAAf X矩阵阵若称 是，简称。这时的称为是二次型。第233页/共348页234实对称矩阵的性质第234页/共348页235H阵的性质阵的特征值均是实数。定理H:12:H定理阵的属于不同特征值的 特征向量相互正交。3:A,HHUU AU定理 若 是 阵，则一定存在酉矩阵使得是对角阵。第235页/共348页236正规阵.,n nHHACA AAAA定义：设若则称 是正规阵。阵均是正规阵。阵，酉矩阵，反例：HH第236页/共348页237上三角的正规阵AA若 既是上三角的，又是正规的，则 必是对角阵。定理：第237页/共348页238定理酉相似于对角阵。是正规阵ACAnn第238页/共348页239推 论n nACAn是正规阵.有 个两两正交的单位特征向量.第239页/共348页240例1,A B证明：正规阵相似的充要条件 是它们有相同的特征多项式。第240页/共348页241例221.012.AAAAAAO设 是正规阵。证明：的特征值是 或 ；是幂零阵第241页/共348页242第二节 Hermite二次型可以证明：,.nHHA BHXCXAXX BXAB若都是 阵，且对则(), ( ),()( ),HHf XXAX g YY BY CXCYf Xg Y设是可逆矩阵，若在下，.ACCBH则，第242页/共348页243,HA BHCBC AC定义：设是 阵，若有可逆阵 使得，则称可以证明：共轭合同关系满足： 反身性，对称性，传递性。AB共轭与 是合同的。第243页/共348页244标准形定义：第244页/共348页245标准形 配方法（初等变换法） 酉变换法：第245页/共348页246惯性定理第246页/共348页247惯性定理Hermite二次型的标准形中的正项个数、负项个数与所用的可逆线性变换无关。标准形中的正项个数称为其 负项个数称为其正惯性指数，负惯性指数。第247页/共348页248惯性定理惯性定理的矩阵形式：1122121212,nnnnHAabababa aab bbA 若 阵 与共轭合同，则与中正、负项个数相同。分别称为矩阵 的正、负惯性指数。第248页/共348页249规范形第249页/共348页250共轭合同的充分必要条件共轭合同矩阵定理：BAnHermiten,数。有相同的正、负惯性指BA,第250页/共348页251例1nHermite问：按共轭合同关系， 阶矩阵共可分成多少个共轭合同类？第251页/共348页252正定性00(),()0,HAHf XXAXXf XfAH定义：设 是 阵， 若对， 则称 是， 是正定的正定的 阵。第252页/共348页253如何建立判别方法; 0,. 121indDdddD是正定的则设正定；正定共轭合同，则阵若BABAH,. 2。正定共轭合同，则与阵若0. 321indAdddDAH第253页/共348页254定理阵，则下述条件等价：是设nHnA 零。的各顺序主子式均大于使得存在可逆阵共轭合同；与的特征值均大于零；是正定的；APPAPIAAAH. 5;. 4. 3. 2. 1第254页/共348页255例21HnkAIk假设 是 维列向量，且。问：当 取何值时，矩阵是正定的。第255页/共348页256例32.AHermiteHermiteSAS设 是正定的矩阵，证明：存在正定的矩阵 使得第256页/共348页257例4. IAA是正定的，则证明：若酉矩阵第257页/共348页258其它有定性000000(),()0,()0,()0,HAHf XXAXXf XfAHXf XfAHXf XfAH定义：设 是 阵， 若对，则称 是的， 是的 阵； 若对，则称 是的， 是的 阵； 若对，则称负定负定半正定半正定半负定半负定是的， 是的 阵。第258页/共348页259如何建立判别方法; 0,. 121indDdddD是半正定的则设半正定；半正定共轭合同，则阵若BABAH,. 2。半正定共轭合同，则与阵若0. 321indAdddDAH第259页/共348页260定理阵，则下述条件等价：是设nHnA 于零。的各主子式均大于或等使得存在矩阵共轭合同；与零；的特征值均大于或等于是半正定的；APPAPOIAAAHr. 5;. 4. 3. 2. 1第260页/共348页261例5矩阵。定矩阵的和一定是正定证明：正定矩阵与半正第261页/共348页262奇值分解第262页/共348页263奇值分解定理的证明第263页/共348页264奇值分解定理的证明第264页/共348页265奇值分解定理的证明第265页/共348页266奇值分解定理的证明第266页/共348页267第三节 Rayleigh商,.nHAnHXCXAXR设 是 阶 阵，则于是，可以定义一复变量的实值函数nHHCXXXAXXXR，)(Rayl iAe gh称此函数为 的商。第267页/共348页268定理1则的特征值，阵假设,21nnnACAH1min()max()nnX CnX CR XR X第268页/共348页269例|max1.nHHX CAXAXXX假设 是酉矩阵，证明： 第269页/共348页270定理212121211,( ,),( ,),n nnniiiiinHACAx xxSL x xxTL x xx假设 阵， 的特征值相应的标准正交特征向量组是令 则1min()max()iiix Sx TR XR X 第270页/共348页271定理3（Courant极大极小原理）12dimdim1,max min( )minmax( )n nnix SS iS n ix SHACR xR x 假设 阵的特征值是则第271页/共348页272第五章范数和矩阵函数第272页/共348页273本章的目的 矩阵函数 范数 矩阵函数的应用第273页/共348页274第一节 范数的概念和例子 VFV定义：设 是数域 上的线性空间，是定义在 上的实值函数。 若 满足：; 0)(,. 1V);()(,. 2kkFkV)()()(,. 3V赋范线性空间。的线性空间称为是上的范数，定义了范数是定义在则称V第274页/共348页275内积与范数1.VV例 设 是内积空间。则 上的内积下 的长度就是一范数。上的范数常记为因此，任意线性空间V第275页/共348页276Cn中范数的例子nTnCxxxX),(21;1 . 111niixX范数：;)()(2 . 21212122niHiXXxX范数：.max. 31inixX范数：第276页/共348页277更多的例子. 1;)(. 111pxXpppniip范数：2.nnACAXAXC如果是上的一种范数， 是一可逆矩阵，则也是上的一种范数。第277页/共348页278更多的例子12123.,nnnnCnCVVCVVXX 设 是复数域上的线性空间，是 的基， 是上的范数。定义 上的范数： 假设在基下的坐标是规定 第278页/共348页279范数与极限 0,iVVV假设是线性空间 上的一个范数，是 上的一个向量序列，若0lim0,ii 00lim.iii则称，趋记向于为在范数下第279页/共348页280范数的可比较性1212,VkkV kk定义：对线性空间 上的两个范数及，若有正实数使得 则称这两个范数是可比较的。比较的。上任意两个范数均是可定理：有限维线性空间V第280页/共348页281第二节 矩阵范数 nmijaAp范数：矩阵;,1jiijmaA2/12/12/12,2HHjiijmtrAAAtrAaA ijjimaA,max第281页/共348页2822,mFFroben uAsAi又记为称为范数。.,FFUAVAVU是酉矩阵，则若第282页/共348页