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课时训练(十四)二次函数的图象与性质(二)|夯实基础|1.抛物线y=2x2-22x+1与坐标轴的交点个数是()A.0B.1C.2D.32.若二次函数y=x2+mx的对称轴是直线x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=-7D.x1=-1,x2=73.2019淄博将二次函数y=x2-4x+a的图象向左平移一个单位,再向上平移一个单位,若得到的函数图象与直线y=2有两个交点,则a的取值范围是()A.a3B.a5D.a54.如图K14-1,已知二次函数y1=23x2-43x的图象与正比例函数y2=23x的图象交于点A(3,2),与x轴交于点B(2,0),若0y1y2,则x的取值范围是()图K14-1A.0x2B.0x3C.2x3D.x35.2019鄂州二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K14-2所示,对称轴是直线x=1.下列结论:abc0;(a+c)2-b20;a+bm(am+b)(m为实数).其中结论正确的个数为()图K14-2A.1个B.2个C.3个D.4个6.2019泸州已知二次函数y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7(其中x是自变量)的图象与x轴没有公共点,且当x-1时,y随x的增大而减小,则实数a的取值范围是()A.a-1C.-1a2D.-1a|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是()图K14-38.2019广元如图K14-4,抛物线y=ax2+bx+c(a0)过点(-1,0),(0,2),且顶点在第一象限,设M=4a+2b+c,则M的取值范围是.图K14-49.2019雅安已知函数y=-x2+2x(x0),-x(x0)的图象如图K14-5所示,若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点,则m的取值范围为.图K14-510.2019达州如图K14-6,抛物线y=-x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间,顶点为B.抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点;若点M(-2,y1),点N12,y2,点P(2,y3)在该函数图象上,则y1y2y3;将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为y=-(x+1)2+m;点A关于直线x=1的对称点为C,点D,E分别在x轴和y轴上,当m=1时,四边形BCDE周长的最小值为34+2.其中正确判断的序号是.图K14-611.2019荆门抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的顶点为P,且抛物线经过点A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)(1m3,n0;3a+c0;a=-1时,存在点P使PAB为直角三角形.其中正确结论的序号为.12.2018黄冈已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求OAB的面积.13.如图K14-7,抛物线l:y=-12(x-t)(x-t+4)(常数t0)与x轴从左到右的交点为B,A,过线段OA的中点M作MPx轴,交双曲线y=kx(k0,x0)于点P,且OAMP=12.(1)求k的值;(2)当t=1时,求AB的长,并求直线MP与抛物线l的对称轴之间的距离;(3)把抛物线l在直线MP左侧部分的图象(含与直线MP的交点)记为G,用t表示图象G最高点的坐标.图K14-714.2019杭州设二次函数y=(x-x1)(x-x2)(x1,x2是实数).(1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x=12时,y=-12.若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由.(2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小值(用含x1,x2的代数式表示).(3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0x1x21时,求证:0mn0)的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,形成新的图象记为y1,另有一次函数y=x+b的图象记为y2,则以下说法:(1)当m=1,且y1与y2恰好有三个交点时,b有唯一值为1;(2)当b=2,且y1与y2恰有两个交点时,m4或0m0,抛物线的对称轴在y轴右侧,-b2a0,b0.抛物线与y轴交于负半轴,c0,故错误;当x=-1时,y0,a-b+c0,-b2a=1,b=-2a,把b=-2a代入a-b+c0中得3a+c0,故正确;当x=1时,y0,a+b+c0,a+c0,a+cb,|a+c|b|,(a+c)2(-b)2,即(a+c)2-b20,所以正确;抛物线的对称轴为直线x=1,x=1时,函数的最小值为a+b+c,a+b+cam2+mb+c,即a+bm(am+b),所以正确.故选C.6.D解析y=(x-a-1)(x-a+1)-3a+7=x2-2ax+a2-3a+6,抛物线与x轴没有公共点,=(-2a)2-4(a2-3a+6)0,解得a2.抛物线的对称轴为直线x=-2a2=a,抛物线开口向上,而当x-1时,y随x的增大而减小,a-1,实数a的取值范围是-1a2.7.D解析由y=ax+b,y=ax2+bx,得x1=1,y1=a+b,x2=-ba,y2=0,故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1,a+b)和-ba,0.对于D选项,从直线过第一、二、四象限可知:a0.又|a|b|,a+b0.从而(1,a+b)在第四象限,因此D选项不正确,故选D.8.-6M6解析y=ax2+bx+c过点(-1,0),(0,2),c=2,a-b=-2,b=a+2.顶点在第一象限,a0,b0,a+20,a-2,-2a0,M=4a+2b+c=4a+2(a+2)+2=6a+6,-6M6.9.0m0,解得m0),-x(x0)的图象有两个不同的交点,再向上平移,有三个交点,m0,m的取值范围为0m14.10.解析由题意得,m+2=-x2+2x+m+1,化简得x2-2x+1=0,b2-4ac=0,抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点,正确;由图可得:y1y3y2,故错误;y=-x2+2x+m+1=-(x-1)2+m+2,将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得的抛物线解析式为y=-(x+1)2+m,故正确;当m=1时,抛物线解析式为y=-x2+2x+2,A(0,2),C(2,2),B(1,3).作点B关于y轴的对称点B(-1,3),作点C关于x轴的对称点C(2,-2).连结BC,与x轴、y轴分别交于点D,E.则BE+ED+CD+BC=BE+ED+CD+BC=BC+BC.此时,四边形BCDE的周长最小.为34+2,故正确.11.解析将A(-1,0),B(m,0),C(-2,n)代入解析式y=ax2+bx+c,对称轴x=m-12=-b2a,-ba=m-1,a(m-1)=-b.1m3,ab0.n0,a0.a-b+c=0,c=b-a0,abc0,错误;易知当x=3时,y0,9a+3b+c=9a+3(a+c)+c=12a+4c=4(3a+c)0,正确;a=-1时,y=-x2+bx+c=-x2+bx+b+1,Pb2,b+1+b24,若PAB为直角三角形,则PAB为等腰直角三角形,b+1+b24=b2+1,b=-2,b0,不存在点P使PAB为直角三角形.错误.故答案为.12.解:(1)证明:联立两个函数表达式,得x2-4x=kx+1,即x2-(4+k)x-1=0,其中=(4+k)2+40,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l与抛物线总有两个交点.(2)如图,连结AO,BO,联立两个函数表达式,得x2-4x=-2x+1,解得x1=1-2,x2=1+2.设直线l与y轴交于点C,在一次函数y=-2x+1中,令x=0,得y=1,所以C(0,1),OC=1.所以SABO=SAOC+SBOC=12OC|xA|+12OC|xB|=12OC|xA-xB|=12122=2.13.解:(1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M知OA=2x,代入OAMP=12,得2xy=12,即xy=6,k=xy=6.(2)当t=1时,令y=0,得0=-12(x-1)(x+3).x1=1,x2=-3.由点B在点A的左边,得B(-3,0),A(1,0),AB=4.抛物线l的对称轴为直线x=-1,而点M的坐标为12,0,直线MP与抛物线l的对称轴之间的距离为32.(3)A(t,0),B(t-4,0),抛物线l的对称轴为直线x=t-2,直线MP为直线x=t2.当t-2t2,即t4时,顶点(t-2,2)就是G的最高点;当t-2t2,即t4时,抛物线l与直线MP的交点t2,-18t2+t就是G的最高点.14.解:(1)乙求得的结果不正确,理由如下:当x=0时,y=0;当x=1时,y=0,二次函数图象经过点(0,0),(1,0),x1=0,x2=1,y=x(x-1)=x2-x,当x=12时,y=-14,乙求得的结果不正确.(2)对称轴为直线x=x1+x22.当x=x1+x22时,y=-(x1-x2)24,函数的最小值为-(x1-x2)24.(3)证明:二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点,m=x1x2,n=1-x1-x2+x1x2,mn=x1x2(1-x1)(1-x2)=(x1-x12)(x2-x22)=-x1-122+14-x2-122+14.0x1x21,并结合函数y=x(1-x)的图象,0-x1-122+1414,0-x2-122+1414,且-x1-122+14与-x2-122+14不能同时取14,0mn116.15.B解析甲:-b2=1,b=-2;乙1-b+c=0;丙:4c-b24=3,4c-b2=12;丁:4+2b+c=4.若甲错:1-b+c=0,4c-b2=12,4+2b+c=4,由乙、丁得b=13,c=-23,代入丙,不成立,不合题意;若乙错:b=-2,4c-b2=12,4+2b+c=4,由甲、丁得b=-2,c=4,代入丙,成立,符合题意;若丙错:b=-2,1-b+c=0,4+2b+c=4,由甲、丁得b=-2,c=4,代入乙,不成立,不符合题意;若丁错:b=-2,1-b+c=0,4c-b2=12,由甲、乙得b=-2,c=-3,代入丙,不成立,不合题意.16.(2)(3)解析根据题意,y1=x2-m(x-m或xm),-x2+m(-mxm).(1)中,当m=1时,由于y1与y2恰好有三个交点,故有两种可能:一是直线y=x+b过点(-1,0)且与抛物线y=-x2+1相交,解得b=1;二是直线y=x+b与抛物线y=-x2+1有且仅有1个交点,且与抛物线y=x2-1有两个交点,解得b=54,故(1)不正确.(2)中,要使y1与y2恰有两个交点,有两种情况:一是直线y=x+2与y=-x2+m没有交点,令x2+x+2-m=0,由12-4(2-m)0,得m74,则0m74;二是直线y=x+2与x轴的交点横坐标x满足-mxm,即-m-24,故(2)正确.(3)中,由y=-x2+m,y=x+m得两个交点(0,m),(-1,m-1),故(3)正确.(4)中,直线y=x-m恒过点(0,-m),将x=m代入y=x-m,得y=m-m,显然不一定大于或等于0,即y1与y2不一定有交点,故不正确.17.解:(1)将A(-2,0),C(0,2)的坐标代入抛物线的解析式y=-x2+mx+n,得-4-2m+n=0,n=2,解得m=-1,n=2.抛物线的解析式为y=-x2-x+2.(2)由(1)知,该抛物线的解析式为y=-x2-x+2,易得B(1,0),依据SAOM=2SBOC列方程可得:12AO|yM|=212OBOC,122|-a2-a+2|=2,a2+a=0或a2+a-4=0,解得a=0或-1或-1172,符合条件的点M的坐标为:(0,2)或(-1,2)或-1+172,-2或-1-172,-2.(3)设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(-2,0),C(0,2)代入,得-2k+b=0,b=2,解得k=1,b=2.直线AC的解析式为y=x+2,设N(x,x+2)(-2x0),则D(x,-x2-x+2),ND=(-x2-x+2)-(x+2)=-x2-2x=-(x+1)2+1,-10,x=-1时,ND有最大值1.18.解析(1)先求出直线的解析式,然后由二次函数解析式与一次函数解析式得到一元二次方程,利用根的判别式0,求出a的取值范围;(2)对自变量的取值范围在对称轴的左、右两侧进行分类,结合增减性求出m的值;(3)抛物线经过(0,-1)这一定点,将抛物线分开口向上和开口向下两种情况求出a的取值范围.解:(1)将A(-3,-3),B(1,-1)的坐标代入 y=kx+b中,得:-3k+b=-3,k+b=-1,解得k=12,b=-32.直线l的解析式为:y=12x-32.抛物线C与直线l有交点,ax2+2x-1=12x-32有实数根,整理得2ax2+3x+1=0,=9-8a0,a98,a的取值范围是a98且a0.(2)当a=-1时,抛物线为:y=-x2+2x-1=-(x-1)2,对称轴为直线x=1,当mxm+21时,y随x的增大而增大,当x=m+2时,函数y有最大值-4,m=1(舍去)或-3.当1mxm+2时,y随x的增大而减小,当x=m时,函数y有最大值-4,m=-1(舍去)或3.综上所述m=3.(3)49a98或a-2.解析当a0,将B(1,-1)代入y=ax2+2x-1,得a=-2,当a-2时,抛物线C与线段AB有两个不同的交点;当a0时,对称轴为直线x=-1a,-1a0,将A(-3,-3)代入y=ax2+2x-1,得a=49,当49a98时,抛物线C与线段AB有两个不同的交点.综上所述,抛物线C与线段AB有两个不同的交点时,49a98或a-2.11
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