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题型01 操作类试题一、单选题1如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（）ABCD【答案】C【分析】利用基本作图得到AG平分BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算ACG的面积【详解】解：由作法得平分，点到的距离等于的长，即点到的距离为，所以的面积故选：C【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了交平分线的性质2如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处若，则的周长为（）A12B15C18D21【答案】C【分析】依据平行四边形的性质以及折叠的性质，即可得到，再根据是等边三角形，即可得到的周长为【详解】由折叠可得，又，由折叠可得，是等边三角形，的周长为，故选：C【点睛】本题考查了平行四边形的性质、轴对称图形性质以及等边三角形的判定解题时注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等3如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接下列结论一定正确的是（ ）ABCD【答案】D【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，ACD=BCE，所以选项A、C不一定正确再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据EBC=EBC+ABC=A+ABC=-ACB判断选项B不一定正确即可【详解】解：绕点顺时针旋转得到，AC=CD，BC=EC，ACD=BCE，A=CDA=；EBC=BEC=,选项A、C不一定正确A =EBC选项D正确EBC=EBC+ABC=A+ABC=-ACB不一定等于，选项B不一定正确；故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等也考查了等腰三角形的性质4如图，菱形的对角线，交于点，将沿点到点的方向平移，得到，当点与点重合时，点与点之间的距离为( )ABCD【答案】C【分析】由菱形性质得到AO，BO长度，然后在利用勾股定理解出即可【详解】由菱形的性质得为直角三角形故选C【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理以及菱形的性质，本题关键在于利用菱形性质求出直角三角形的两条边54张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为若，则a、b满足（ ）ABCD【答案】D【分析】先用a、b的代数式分别表示，再根据，得，整理，得，所以【详解】解：，整理，得，故选：D【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键6将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图，其中是折痕若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ）ABCD【答案】A【分析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得PHMF且正方形EFGH的面积正方形ABCD的面积，从而用a分别表示出线段GF和线段MF的长即可求解【详解】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PHMF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等由折叠可知正方形EFGH的面积正方形ABCD的面积，正方形EFGH的边长GF ，HFGF ，MFPH， .故选A【点睛】本题考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解决问题关键7如图，矩形与菱形的对角线均交于点，且，将矩形折叠，使点与点重合，折痕过点若，则的长为（）ABCD【答案】A【分析】延长交于点，连接、；由四边形是菱形，得，根据根据折叠性质，再证四边形为菱形，得是梯形的中位线，根据中位线性质求解.【详解】延长交于点，连接、；如图所示：则，为直角三角形，四边形是菱形，由折叠的性质得：，四边形为平行四边形，四边形为菱形，根据题意得：是梯形的中位线，；故选：A【点睛】考核知识点：矩形折叠，菱形判定和性质，三角函数.理解折叠的性质是关键.8如图，直线是矩形的对称轴，点在边上，将沿折叠，点恰好落在线段与的交点处，则线段的长是（）A8BCD10【答案】A【分析】根据正方形的性质及折叠的特点得到，再根据含30的直角三角形的性质即可求解.【详解】解：四边形是矩形，由题意得：，由折叠的性质得：，在中，；故选：A【点睛】此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知直角三角形的性质与特点.9如图，将沿边上的中线平移到的位置已知的面积为16，阴影部分三角形的面积9若，则等于（ ）A2B3C4D【答案】B【分析】由 SABC16、SAEF9且 AD为 BC边的中线知 ， ，根据DAEDAB知 ，据此求解可得【详解】、，且为边的中线，将沿边上的中线平移得到，则，即，解得或（舍），故选：【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的 性质、相似三角形的判定与性质等知识点10如图，在ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把BDC沿BD翻折，得到，DC与AB交于点E，连结，若AD=AC=2，BD=3则点D到BC的距离为（ ）ABCD【答案】B【分析】连接CC，交BD于点M，过点D作DHBC于点H，由翻折知，BDCBDC，BD垂直平分CC，证ADC为等边三角形，利用解直角三角形求出DM=1，CM= =，BM=2，在RtBMC中，利用勾股定理求出BC的长，在BDC中利用面积法求出DH的长.【详解】解：如图，连接CC，交BD于点M，过点D作DHBC于点H，AD=AC=2，D是AC边上的中点，DC=AD=2，由翻折知，BDCBDC，BD垂直平分CC，DC=DC=2，BC=BC，CM=CM，AD=AC=DC=2，ADC为等边三角形，ADC=ACD=CAC=60，DC=DC，DCC=DCC= 60=30，在RtCDM中，DCC=30，DC=2，DM=1，CM=DM= ，.BM=BD-DM=3-1=2，在RtBMC中，BC=.BM=BD-DM=3-1=2,在RtCDM中， 故选B.【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度.二、填空题11如图，已知ABC，通过测量、计算得ABC的面积约为_cm2.（结果保留一位小数） 【答案】1.9【分析】过点C作CDAB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC的面积【详解】解：过点C作CDAB的延长线于点D，如图所示经过测量，AB=2.2cm，CD=1.7cm，（cm2）故答案为：1.9【点睛】本题考查了三角形的面积，牢记三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键12如图，把某矩形纸片ABCD沿EF、GH折叠（点E、H在AD边上，点F、G在BC边上），使得点B、点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为点，D点的对称点为点，若，的面积为4，的面积为1，则矩形ABCD的面积等于_.【答案】.【分析】根据相似三角形的判断得到AEPDPH，由三角形的面积公式得到SAEP，再由折叠的性质和勾股定理即可得到答案.【详解】AEPFAEP=DPH又A=A=90，D=D=90A=DAEPDPH又AB=CD，AB=AP，CD=DPAP= DP设AP=DP=xSAEP：SDPH=4：1AE=2DP=2xSAEP=AP=DP=2AE=2DP=4【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质.13用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形图中，_度【答案】36【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题【详解】，是等腰三角形，度【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质 解题关键在于知道n边形的内角和为：180（n2）14如图，有一张矩形纸片，先将矩形纸片折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；再将沿翻折，与相交于点，则的周长为_【答案】【分析】根据折叠的性质得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据周长公式计算即可【详解】解：由折叠的性质可知，由题意得，四边形为矩形，由勾股定理得，则的周长，故答案为：【点睛】考核知识点：矩形的折叠问题.运用矩形性质分析问题是关键.15如图，在ABC中，BAC=90，AB=AC=10cm，点D为ABC内一点，BAD=15，AD=6cm，连接BD，将ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为_cm.【答案】【分析】过点A作AHDE，垂足为H，由旋转的性质可得 AE=AD=6，CAE=BAD=15，DAE=BAC=90，再根据等腰直角三角形的性质可得HAE=45，AH=3，进而得HAF=30，继而求出AF长即可求得答案.【详解】过点A作AHDE，垂足为H，BAC=90，AB=AC，将ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，AE=AD=6，CAE=BAD=15，DAE=BAC=90，DE=，HAE=DAE=45，AH=DE=3，HAF=HAE-CAE=30，AF=，CF=AC-AF=，故答案为：.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加辅助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.16如图在正方形中，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求_.【答案】【分析】作于点，构造直角三角形，运用勾股定理求解即可.【详解】作于点，由折叠可知：，正方形边长.故答案为：.【点睛】本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，17如图，在中，以顶点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，则_【答案】【分析】利用基本作图得BD平分，再计算出，所以，利用得到，然后根据三角形面积公式可得到的值【详解】解：由作法得平分，在中，.故答案为【点睛】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线18七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为的正方形可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型(其中点分别与图2中的点重合，点在边上)，则“拼搏兔”所在正方形的边长是_.【答案】【分析】如图3中，连接CE交MN于O，先利用相似求出OM、ON的长，再利用勾股定理解决问题即可【详解】如图3， 连结交于. 观察图1、图2可知， ，. 图3，.在中， ，同理可求得，即“拼搏兔”所在正方形的边长是.故答案为：4【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题19如图，过点C(3,4)的直线交轴于点A，ABC=90，AB=CB，曲线过点B，将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，则的值为_【答案】4【分析】分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N将C(3,4)代入可得b=-2，然后求得A点坐标为(1,0)，证明ABNBCM，可得AN=BM=3，CM=BN=1，可求出B(4,1)，即可求出k=4，由A点向上平移后落在上，即可求得a的值.【详解】分别过点B、点C作轴和轴的平行线，两条平行线相交于点M，与轴的交点为N，则M=ANB=90，把C(3,4)代入，得4=6+b，解得：b=-2，所以y=2x-2，令y=0，则0=2x-2，解得：x=1，所以A(1，0)，ABC=90，CBM+ABN=90，ANB=90，BAN+ABN=90，CBM=BAN，又M=ANB=90，AB=BC，ABNBCM，AN=BM，BN=CM，C(3，4)，设AN=m，CM=n，则有，解得，ON=3+1=4，BN=1，B(4，1)，曲线过点B，k=4，将点A沿轴正方向平移个单位长度恰好落在该曲线上，此时点A移动后对应点的坐标为(1，a)，a=4，故答案为：4.【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，点的平移等知识，正确添加辅助线，利用数形结合思想灵活运用相关知识是解题的关键.20如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，经过点A，B的圆的圆心在边AC上（）线段AB的长等于_；（）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_【答案】（）； （）如图，取圆与网格线的交点，连接与相交，得圆心；与网格线相交于点，连接并延长，交于点，连接并延长，与点的连线相交于点，连接，则点满足 【分析】（）根据勾股定理即可求出AB的长（）先确定圆心，根据EAF=取格点E、F并连接可得EF为直径，与AC相交即可确定圆心的位置，先在BO上取点P,设点P满足条件，再根据点D为AB的中点，根据垂径定理得出ODAB，再结合已知条件，得出，设PC和DO的延长线相交于点Q，根据ASA可得,可得OA=OQ，从而确定点Q在圆上，所以连接并延长，交于点，连接并延长，与点的连线相交于点，连接即可找到点P【详解】（）解：故答案为：（）取圆与网格线的交点，连接，与相交于点O，EAF=，EF为直径,圆心在边AC上点O即为圆心与网格线的交点D是AB中点，连接OD则ODAB，连接OB，,OA=OBOAB=OBA=，DOA=DOB=，在BO上取点P ，并设点P满足条件，APO=CPO=，设PC和DO的延长线相交于点Q，则DOA=DOB=POC=QOC=AOP=QOP=，OP=OP, OA=OQ,点Q在圆上，连接并延长，交于点，连接并延长，与点的连线相交于点，连接,则点P即为所求【点睛】本题主要考查了应用与设计作图、勾股定理、垂径定理、三角形的全等的性质与判定、等腰三角形的性质等知识，是一道综合性较强的题目，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图三、解答题21按要求解答下列各题：（1）如图，求作一点，使点到的两边的距离相等，且在的边上（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；（2）如图，表示两个港口，港口在港口的正东方向上海上有一小岛在港口的北偏东方向上，且在港口的北偏西方向上测得海里，求小岛与港口之间的距离（结果可保留根号）【答案】（1）见解析；（2）.【分析】(1)作出ABC的平分线(以点B为圆心，以任意长为半径画弧，与AB、BC各交一点，然后分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧在三角形内部交于一点，过点B及这个点作射线)交AC于点P即可；(2)过点作于点，由题意得，在中，求出AD的长，继而在中，求出AC长即可.【详解】(1)如图所示：作出的平分线标出点.(2)过点作于点，由题意得，在中，在中，(海里)，答：小岛与港口之间的距离是海里.【点睛】本题考查了尺规作图作角平分线，解直角三角形的应用，正确掌握作角平分线的方法是解(1)的关键，添加辅助线构建直角三角形是解(2)的关键.22图，图均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点在图中已画出线段，在图中已画出线段，其中均为格点，按下列要求画图：在图中，以为对角线画一个菱形，且为格点；在图中，以为对角线画一个对边不相等的四边形，且为格点，.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据菱形的定义画出图形即可（答案不唯一）（2）利用数形结合的思想解决问题即可【详解】解：（1）如图，菱形AEBF即为所求（2）如图，四边形CGDH即为所求【点睛】本题考查作图-应用与设计，菱形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型23如图，在的方格中，的顶点均在格点上，试按要求画出线段EF（E,F均为格点），各画出一条即可【答案】见解析.【分析】图1，根据格点的特征，利用全等三角形画出图形即可；图2：根据格点的特征，利用全等三角形及两锐角互余的三角形为直角三角形画出图形即可；图3：根据格点的特征，结合线段垂直平分线的判定定理画出图形即可.【详解】如图所示：【点睛】本题考查了格点三角形中的作图，正确利用格点的特征是解决问题的关键24按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：如图2，在ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作ABC的高AH 【答案】（1）见解析；（2）见解析；见解析.【分析】(1)作直径AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求；(2)连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点F，则F即为所求；如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BMAC，连接CN，则可得直线CNAB，两线交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求.【详解】(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；(2)如图所示，点F即为所求；如图所示，AH即为所求.【点睛】本题考查了尺规作图，无刻度直尺作图，熟练掌握尺规作图的方法以及无刻度直尺作图的方法是解题的关键.25如图，将平行四边形纸片沿一条直线折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为求证：（1）；（2）【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】(1)依据平行四边形的性质，即可得到，由折叠可得，即可得到； (2)依据平行四边形的性质，即可得出，由折叠可得，即可得到，进而得出【详解】(1)四边形是平行四边形，由折叠可得， ，；(2)四边形是平行四边形，由折叠可得，又，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质以及折叠的性质是解题的关键.26图、图、图均是66的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点均在格点上在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法（1）在图中以线段为边画一个，使其面积为6（2）在图中以线段为边画一个，使其面积为6（3）在图中以线段为边画一个四边形，使其面积为9，且【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【分析】（1）直接利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）直接利用三角形面积求法得出答案；（3）根据矩形函数三角形的面积的求法进而得出答案【详解】解：（1）如图所示，即为所求；（2）如图所示，即为所求；（3）如图所示，四边形即为所求；【点睛】考核知识点：作三角形和四边形.利用三角形面积公式求解是关键.27如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求四边形的面积【答案】（1）详见解析；（2）【分析】（1）根据题意可得，因此可得，又，则可得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形.（2）设，则，再根据勾股定理可得x的值，进而计算出四边形的面积.【详解】（1）证明：由题意可得， ，四边形是平行四边形，又四边形是菱形；（2）矩形中， ，设，则，解得， ，四边形的面积是：【点睛】本题主要考查菱形的判定，关键在于首先证明其是平行四边形，再证明两条临边相等即可.28综合与实践动手操作：第一步：如图1，正方形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，展开铺平.在沿过点C的直线折叠，使点B，点D都落在对角线AC上.此时，点B与点D重合，记为点N，且点E，点N，点F三点在同一直线上，折痕分别为CE，CF.如图2.第二步：再沿AC所在的直线折叠，ACE与ACF重合，得到图3第三步：在图3的基础上继续折叠，使点C与点F重合，如图4，展开铺平，连接EF，FG，GM，ME，如图5，图中的虚线为折痕.问题解决：(1)在图5中，BEC的度数是 ，的值是 ；(2)在图5中，请判断四边形EMGF的形状，并说明理由；(3)在不增加字母的条件下，请你以图中5中的字母表示的点为顶点，动手画出一个菱形(正方形除外)，并写出这个菱形： .【答案】(1)67.5；(2)四边形EMGF是矩形，理由见解析；(3)菱形FGCH或菱形EMCH(一个即可).【分析】(1)由正方形的性质可得B=90，ACB=BAC=45，根据折叠的性质可得BCE =22.5，继而可求得BEC=67.5，在RtAEN中，由sinEAN=可得AE=EN，即可求得；(2)四边形EMGF是矩形，理由如下：由折叠的性质可得1=2=3=4=22.5，CM=CG，BEC=NEC=NFC=DFC=67.5，MC=ME，GC=GF，5=1=22.5，6=4=22.5，继而可得MEF=GFE=90，再根据等腰直角三角形的性质可得 CMG=45，由三角形外角的性质得BME=1+5=45，根据平角的定义求得EMG=90，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得到四边形EMGF是矩形； (3) 如图所示，四边形EMCH是菱形，理由如下：先证明四边形EMCH是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明平行四边形EMCH是菱形.(同理四边形FGCH也是菱形).【详解】(1)四边形ABCD是正方形，B=90，ACB=BCD=45，BAC=BAD=45，折叠，BCE=BCE=22.5，BE=EN，ENC=B=90，BEC=90-22.5=67.5，ANE=90，在RtAEN中，sinEAN=，AE=EN，故答案为：67.5，；(2)四边形EMGF是矩形，理由如下：四边形ABCD是正方形，B=BCD=D=90，由折叠可知：1=2=3=4=22.5，CM=CG，BEC=NEC=NFC=DFC=67.5，由折叠可知：MH、GH分别垂直平分EC，FC，MC=ME，GC=GF，5=1=22.5，6=4=22.5，MEF=GFE=90，MCG=90，CM=CG，CMG=45，又BME=1+5=45，EMG=180-CMG-BME=90，四边形EMGF是矩形； (3) 如图所示，四边形EMCH是菱形，理由如下：由(2)BME=45=BCA，EM/AC，折叠，CM=CH，EM=CM，EM=CH，EM CH，四边形EMCH是平行四边形，又CM=EM，平行四边形EMCH是菱形.(同理四边形FGCH是菱形，如图所示).【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定，菱形的判定，解直角三角形等，正确把握相关知识是解题的关键.29（1）如图1，菱形的顶点、在菱形的边上，且，请直接写出的结果（不必写计算过程）（2）将图1中的菱形绕点旋转一定角度，如图2，求；（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且，此时的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由 【答案】（1）；（2）（3）有变化，【分析】（1）连接，由菱形的顶点、在菱形的边上，且，易得，共线，延长交于点，延长交于点，连接，交于点，则也为菱形，利用菱形对角线互相垂直，结合三角函数可得结论； （2）连接，由和都是等腰三角形，易证与与，利用相似三角形的性质及菱形的性质可得结论； （3）连接，易证和，利用相似三角形的性质可得结论【详解】（1）连接，菱形的顶点、在菱形的边上，且，共线，延长交于点，延长交于点，连接，交于点，则也为菱形，为平行四边形，（2）如图，连接，和都是等腰三角形，在和中，（3）有变化如图，连接，【点睛】本题是菱形与相似三角形，全等三角形，三角函数等知识点的综合运用，难度较大30如图，等边中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），关于DE的轴对称图形为.（1）当点F在AC上时，求证：DF/AB；（2）设的面积为S1，的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时。求AE的长。【答案】（1）见解析；（2）存在最大值，最大值为；（3）.【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得DFC=A，可证DFAB；（2）过点D作DMAB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，SABF最小时，S最大；（3）过点D作DGEF于点G，过点E作EHCD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明BGDBHE，可求EC的长，即可求AE的长【详解】解：（1）ABC是等边三角形，A=B=C=60，由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，DFC=C=60，DFC=A，DFAB；（2）存在，如图，过点D作DMAB交AB于点M，AB=BC=6，BD=4，CD=2，DF=2，点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，当点F在DM上时，SABF最小，BD=4，DMAB，ABC=60，MD=2 ，SABF的最小值= ，S最大值=.（3）如图，过点作于点G，过点E作EHCD于点H，CDE关于DE的轴对称图形为FDE，DF=DC=2，EFD=C=60，GDEF，EFD=60，FG=1，DG=FG=，BD2=BG2+DG2，16=3+（BF+1）2，BF=-1，BG=，EHBC，C=60，CH=，EH=HC=,GBD=EBH，BGD=BHE=90，BGDBHE，,EC=AE=AC-EC=【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握是解题的关键. 33
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