离散型随机变量的期望值和方差

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12.2 离散型随机变量的期望值和方差一、知识梳理1.期望:若离散型随机变量,当=xi的概率为P(=xi)=Pi(i=1,2,n,),则称E=xi pi为的数学期望,反映了的平均值.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.E由的分布列唯一确定.2.方差:称D=(xiE)2pi为随机变量的均方差,简称方差.叫标准差,反映了的离散程度.3.性质:(1)E(a+b)=aE+b,D(a+b)=a2D(a、b为常数).(2)二项分布的期望与方差:若B(n,p),则E=np,D=npq(q=1p).D表示对E的平均偏离程度,D越大表示平均偏离程度越大,说明的取值越分散.二、例题剖析【例1】 设是一个离散型随机变量,其分布列如下表,试求E、D.101P12qq2拓展提高既要会由分布列求E、D,也要会由E、D求分布列,进行逆向思维.如:若是离散型随机变量,P(=x1)=,P(=x2)=,且x1x2,又知E=,D=.求的分布列.解:依题意只取2个值x1与x2,于是有E=x1+x2=,D=x12+x22E2=.从而得方程组【例2】 人寿保险中(某一年龄段),在一年的保险期内,每个被保险人需交纳保费a元,被保险人意外死亡则保险公司赔付3万元,出现非意外死亡则赔付1万元.经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是p1,非意外死亡的概率为p2,则a需满足什么条件,保险公司才可能盈利?【例3】 把4个球随机地投入4个盒子中去,设表示空盒子的个数,求E、D.特别提示求投球的方法数时,要把每个球看成不一样的.=2时,此时有两种情况:有2个空盒子,每个盒子投2个球;1个盒子投3个球,另1个盒子投1个球.【例4】 若随机变量A在一次试验中发生的概率为p(0p1),用随机变量表示A在1次试验中发生的次数.(1)求方差D的最大值;(2)求的最大值.【例5】 袋中装有一些大小相同的球,其中有号数为1的球1个,号数为2的球2个,号数为3的球3个,号数为n的球n个.从袋中任取一球,其号数作为随机变量,求的概率分布和期望.【例6】(湖北卷)某地最近出台一项机动车驾照考试规定;每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止。如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望,并求李明在一年内领到驾照的概率.三、同步练习 g3.1098 离散型随机变量的期望值和方差1.设服从二项分布B(n,p)的随机变量的期望和方差分别是2.4与1.44,则二项分布的参数n、p的值为BA.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.12.一射手对靶射击,直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6,现有4颗子弹,命中后的剩余子弹数目的期望为CA.2.44B.3.376C.2.376D.2.43.设投掷1颗骰子的点数为,则BA.E=3.5,D=3.52B.E=3.5,D=C.E=3.5,D=3.5D.E=3.5,D=4.设导弹发射的事故率为0.01,若发射10次,其出事故的次数为,则下列结论正确的是AA.E=0.1B.D=0.1C.P(=k)=0.01k0.9910kD.P(=k)=C0.99k0.0110k5.已知B(n,p),且E=7,D=6,则p等于AA.B.C.D.6.一牧场有10头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为,则D等于CA.0.2 B.0.8 C.0.196 D.0.8047.有两台自动包装机甲与乙,包装重量分别为随机变量1、2,已知E1=E2,D1D2,则自动包装机_乙_的质量较好.8.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验,当p=_时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为_ 5_.9.甲从学校乘车回家,途中有3个交通岗,假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的,并且概率都是,则甲回家途中遇红灯次数的期望为_1.2_.10.一次单元测试由50个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分,不选或错选得0分,满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8,求他在这次测试中成绩的期望和标准差.11.袋中有4只红球,3只黑球,今从袋中随机取出4只球.设取到一只红球得2分,取到一只黑球得1分,试求得分的概率分布和数学期望.12.一台设备由三大部件组成,在设备运转中,各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以表示同时需要调整的部件数,试求的数学期望E和方差D.13.将数字1,2,3,4任意排成一列,如果数字k恰好出现在第k个位置上,则称之为一个巧合,求巧合数的数学期望.14.(辽宁卷)某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品,两道工序的加工结果都为A级时,产品为一等品,其余均为二等品. ()已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙;()已知一件产品的利润如表二所示,用、分别表示一件甲、乙产品的利润,在(I)的条件下,求、的分布列及E、E;()已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名,可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量,在(II)的条件下,x、y为何值时,最大?最大值是多少?(解答时须给出图示)3
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