微专题圆锥曲线几何条件的处理策略

-微专题圆锥曲线几何条件的处理策略圆锥曲线处理心法：一、几何条件巧处理，事半功倍！二、谋定思路而后动，胸有成竹！三、代数求解不失分，稳操胜券！四、解后反思收货大，触类旁通 ！1.平行四边形处理策略几何性质代数实现对边平行斜率相等，或向量平行对边相等长度相等，横纵坐标差相等对角线互相平分中点重合例1.2015，新课标2理科20椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为 ()证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；假设过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？假设能，求此时的斜率，假设不能，说明理由【答案】()详见解析；能，或【解析】试题分析：()题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取点差法或韦达定理两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系；根据()中结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线过点列方程求的值试题解析：()设直线，将代入得，故，于是直线的斜率，即所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值四边形能为平行四边形因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，由()得的方程为设点的横坐标为由得，即将点的坐标代入直线的方程得，因此四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即于是解得，因为，所以当的斜率为或时，四边形为平行四边形考点：1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系2.直角三角形处理策略几何性质代数实现1两边垂直斜率乘积为-1，或向量数量积为02勾股定理两点的距离公式3斜边中线性质中线等于斜边一半两点的距离公式例2.椭圆的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为，1求椭圆的方程；2过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，假设为直角三角形，求直线的斜率解析：2根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，联立消去得， 令，解得。设两点的坐标分别为，则，1当为直角时， 所以，即，所以所以，解得2当或为直角时，不妨设为直角，此时，所以即又，将代入，消去得，解得或舍去将代入得，所以，经检验所得值均符合题意，综上，的值为和3.等腰三角形处理策略几何性质代数实现1两边相等两点的距离公式2两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反3三线合一垂直且平分垂直：斜率或向量 平分：中点坐标公式例3.在直角坐标系中，点,为动点，且直线与直线斜率之积为，1求动点的轨迹方程；2设过点的直线与椭圆交于两点,假设点在轴上，且，求点的纵坐标的围解析：1设动点的坐标为，依题意可知整理得，所以动点的轨迹的方程为2当直线的斜率不存在时，满足条件的点的纵坐标为0，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入，并整理得，设，则，设的中点为，则，所以，由题意可知，又直线的垂直平分线的方程为，令解得，当时，因为，所以当时，因为，所以，综上所述，点的纵坐标的围是.4.菱形的处理策略例4.椭圆M：过点，且离心率为1求椭圆M的方程；2是否存在菱形，同时满足以下三个条件：点在直线上；点在椭圆上 ；直线的斜率等于1；如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由。解析：1由题意得解得，；所以椭圆M的方程为2不存在满足题意的菱形，理由如下：假设存在满足题意的菱形，设直线的方程为，且，线段的中点，则由可得，由可得，又，所以，假设四边形为菱形，则是的中点，点的纵坐标，又因为点在椭圆上，所以与矛盾，故不存在满足题意的菱形。5.圆的处理策略几何性质代数实现1点在圆上点与直径端点向量数量积为零2点在圆外点与直径端点向量数量积为正数3点在圆点与直径端点向量数量积为负数例5.椭圆，点，分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线不与轴重合交于两点，1求的离心率及短轴长；2是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，假设存在，求出直线的方程；假设不存在，说明理由.1由得，所以的离心率为，短轴长为；2方法一：由题意知，设，则，因为所以，所以点不在以为直径的圆上，即不存在直线，使得点在以线段为直径的圆上。方法二、由题意可设直线的方程为，由可得所以，所以，因为所以，所以，所以点不在以为直径的圆上，即不存在直线，使得点在以线段为直径的圆上。6.角的处理策略几何性质代数实现1锐角，直角，钝角角的余弦向量数量积的符号2倍角，半角，平分角角平分线性质，定理夹角到角公式3等角相等或相似比例线段或斜率例6.【2013.，理科22】椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为。求椭圆的方程；点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值围；解析：法一：由知，则，由椭圆定义得， 因为平分，所以，则，所以所以，即法二：由题意可知，即，设,其中，将向量坐标代入并化简得，因为，所以而，所以【跟踪变式训练】1.【转化为平行的处理】【2016高考新课标3理数】抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点I假设在线段上，是的中点，证明；II假设的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.【答案】见解析；设与轴的交点为，则.由题设可得，所以舍去，.设满足条件的的中点为.当与轴不垂直时，由可得.而，所以.当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. .12分2.【转化为等腰三角形处理】【2016高考理数】此题总分值15分如图，设椭圆a1.I求直线y=k*+1被椭圆截得的线段长用a、k表示；II假设任意以点A0,1为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值围.【答案】I；II【解析】设直线被椭圆截得的线段为，由得，故，因此假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，满足记直线，的斜率分别为，且，由知，故，所以由于，得，因此，因为式关于，的方程有解的充要条件是，所以因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，由得，所求离心率的取值围为3【转化为等腰三角形处理】【2015高考，18】如图，在平面直角坐标系*Oy中，椭圆的离心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3. 1求椭圆的标准方程； 2过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于 点P，C，假设PC=2AB，求直线AB的方程.【答案】12或【解析】试题分析1求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为，二是右焦点F到左准线l的距离为3，解方程组即得2因为直线AB过F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，此题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB解出直线AB斜率,写出直线AB方程.试题解析：1由题意，得且，解得，则，所以椭圆的标准方程为2当轴时，又，不合题意当与轴不垂直时，设直线的方程为，将的方程代入椭圆方程，得，则，的坐标为，且假设，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意从而，故直线的方程为，则点的坐标为，从而因为，所以，解得此时直线方程为或【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系4【圆的处理】.设为坐标原点，椭圆的离心率为，抛物线的准线方程为1求椭圆和抛物线的方程；2设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，假设在以为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值围【答案】1，；2.试题解析：1由题意得，故抛物线的方程为，又，从而椭圆的方程为5分2显然直线不满足题设条件，可设直线由，得7分，9分，根据题意，得，11分，综上得12分考点：直线与圆锥曲线位置关系5【角的处理】【2016高考*理数】本小题总分值14分设椭圆的右焦点为，右顶点为，其中为原点，为椭圆的离心率.求椭圆的方程；设过点的直线与椭圆交于点不在轴上，垂直于的直线与交于点，与轴交于点，假设，且，求直线的斜率的取值围.【答案】【解析】解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.解：设直线的斜率为，则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.解得，或，由题意得，从而.由知，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线的方程为.设，由方程组消去，解得.在中，即，化简得，即，解得或.所以，直线的斜率的取值围为. z.