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第十七章 勾股定理一、填空题1.等腰三角形的腰长5 cm,底长8 cm,则底边上的高为3cm.2.已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等”写出它的逆命题如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等.该逆命题是假命题(填“真”或“假”).3. 在RtABC中, C=90,AB=15,BC:AC=3:4,则BC= 9 。4.ABC的两边分别为5,12,另一边c为奇数,且a+b+c是3的倍数,则c应为13,此三角形为直角三角形.5. 一座桥长24米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头10米，则小船实际行驶了 26 米。6. 如图，一菜农要修建一个育苗棚，棚宽BE=2m，棚高AE=1.5m，长BC=20m。AE所在的墙面与地面垂直，现要在棚顶覆盖一种农用塑料薄膜，请你为他计算一下，共需多少这种塑料薄膜 50 m2。 二、选择题7.在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ D ） A B C D 8.下列三角形一定不是直角三角形的是(C)(A)三角形的三边长分别为5,12,13(B)三角形的三个内角比为123(C)三边长的平方比为345(D)其中有两个角互余9.如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为(C)(A)5 米 (B)3 米(C)(5+1)米(D)3米10.我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题目:“问有沙田一块,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知为田几何?”这道题讲的是有一块三角形沙田,三条边长分别为5里,12里,13里,问这块沙田面积有多大?题中的“里”是我国市制长度单位,1里=500米,则该沙田的面积为(A)(A)7.5平方千米(B)15平方千米(C)75平方千米(D)750平方千米11.如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现有一只蚂蚁想从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是(C)(A)31+(B)32(C)34+22(D)31+212.在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则(A)(A)A为直角(B)C为直角(C)B为直角(D)不是直角三角形13.如图,点P是以AB为半径的圆弧与数轴的交点,则数轴上点P表示的实数是(D)(A)-2 (B)-2.2(C)-10(D)-10+114.设三角形的三边长分别等于下列各组数,能构成直角三角形的是(D)(A)13,14,15 (B)4,5,6(C)5,6,10(D)6,8,1015.如图,在平面直角坐标系中,点P坐标为(-4,3),以点B(-1,0)为圆心,以BP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于(A)(A)-6和-5之间(B)-5和-4之间(C)-4和-3之间(D)-3和-2之间16.在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为(A)(A)5(B)6(C)7(D)8二、 解答题17.如图,在ABC中,A=30,AC=23,B=60,求点C到AB的距离和ABC的面积.解:过点C作CDAB,则ADC=90,因为A=30,AC=23,所以CD=3,在ABC中,因为A=30,B=60,所以ACB=90,在RtABC中,设BC=x,则AB=2x,因为AB2=BC2+AC2,所以(2x)2=x2+(23)2,x=2,所以SABC=12ACBC=12232=23.18.如图所示的一块地,AD=8 m,CD=6 m,ADC=90,AB=26 m,BC=24 m.求这块地的面积.解:连接AC,则ADC为直角三角形,因为AD=8,CD=6, 所以AC=10.在ABC中,AC=10,BC=24,AB=26.因为102+242=262,所以ABC也是直角三角形.所以这块地的面积为S=SABC-SADC=12ACBC-12ADCD=121024-1286=120-24=96 m2.所以这块地的面积为96 m2 .19. 如图， 一架方梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米。（1）这个梯子的顶端离地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？答案.（1）4米；（2）， 15-7=8 (米)20.如图,ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.(1)证明:BCD是直角三角形.(2)求ABC的面积.(1)证明:CD=9,BD=12,CD2+BD2=92+122=81+144=225.BC=15,BC2=152=225.CD2+BD2=BC2.BCD是直角三角形,且BDC=90(勾股定理逆定理).(2)解:设AD=x,则AC=x+9.AB=AC,AB=x+9.BDC=90,ADB=90.在RtADB中,由勾股定理得AB2=AD2+BD2,(x+9)2=x2+122,解得x=72.AC=AD+CD=72+9=252.SABC=12ACBD=1225212=75.21.如图(1),在ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若C=90,则有a2+b2=c2;如图(2),ABC为锐角三角形时,小明猜想a2+b2c2,理由如下:设CD=x,在RtADC中,AD2=b2-x2,在RtADB中,AD2=c2-(a-x)2,则b2-x2=c2-(a-x)2,所以a2+b2=c2+2ax,因为a0,x0,所以2ax0,所以a2+b2c2,所以当ABC为锐角三角形时a2+b2c2.所以小明的猜想是正确的.(1)请你猜想,当ABC为钝角三角形时,a2+b2与c2的大小关系;(2)证明你猜想的结论是否正确.温馨提示:在图(3)中,作AC边上的高.(1)解:若ABC是钝角三角形,C为钝角,则有a2+b20,x0,所以2bx0,所以a2+b2c2.
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