算符及其运算规则

第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 3-1 3-1 算符及其运算规则算符及其运算规则 3-2 3-2 厄米算符的本征问题厄米算符的本征问题 3-3 3-3 坐标算符和动量算符坐标算符和动量算符 3-4 3-4 角动量算符角动量算符 3-5 3-5 共同完备本征函数系共同完备本征函数系 力学量完全集力学量完全集 3-6 3-6 力学量的平均值力学量的平均值 3-7 3-7 展开假定展开假定 3-8 3-8 不确定关系不确定关系 3-9 3-9 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动 3-10 3-10 氢原子问题氢原子问题 3-11 3-11 力学量平均值随时间的变化力学量平均值随时间的变化 守恒定律守恒定律 3-1 算符及其运算规则算符及其运算规则 一、算符一、算符二、算符的运算规则二、算符的运算规则三、算符的对易关系三、算符的对易关系3-1 算符及其运算规则算符及其运算规则 一、算符一、算符 若某一运算将函数若某一运算将函数 变为函数变为函数 ，记为，记为 uvvuF 则表示这一运算的符号则表示这一运算的符号 称为称为算符算符。 F 动量算符和哈密顿算符是量子中常见的算符动量算符和哈密顿算符是量子中常见的算符 ip22( )2HU r 量子力学中，算符表示它对波函数的一种量子力学中，算符表示它对波函数的一种运算运算或者或者操作操作。如动。如动量算符表示对波函数的微商运算。量算符表示对波函数的微商运算。 11221122()F ccc Fc F 如果算符满足如果算符满足 称为称为线性算符线性算符。 量子力学中的可观测量量子力学中的可观测量（也称为力学量或物理量，如坐标、动（也称为力学量或物理量，如坐标、动量、角动量和能量等）量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，而且对应的算符都是与相应的算符相对应，而且对应的算符都是线性算符。线性算符。这是量子力学的一个基本假设这是量子力学的一个基本假设。 力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。二、算符的运算规则二、算符的运算规则 1 1单位算符单位算符 I 称为单位算符。显然，称为单位算符。显然，任意波函数皆为单位算符的本征态，且本任意波函数皆为单位算符的本征态，且本征值为征值为1 1。 2 2算符之和算符之和 对任何波函数，有对任何波函数，有 BABA)(称算符称算符 为算符为算符 和算符和算符 之和。之和。 )(BAAB 算符的加法运算满足算符的加法运算满足 ABBACBACBA)()( 交换律：交换律： 结合律：结合律： I 对任何波函数，有对任何波函数，有 3 3算符之积算符之积 对任何波函数，有对任何波函数，有 )()(BABA称算符称算符 为算符为算符 和算符和算符 之积。之积。 ()ABAB 一般情况下一般情况下 )()(ABBAABBA这是算符运算与普通代数运算的重要区别。这是算符运算与普通代数运算的重要区别。 4 4算符之幂算符之幂 定义：算符定义：算符 的的 次幂次幂 An 个nnAAAA 满足满足 nmnmAAA 5 5逆算符逆算符 设设A1A称算符称算符 为算符为算符 的逆算符。的逆算符。 1AA 注意：并非所有的算符都具有相应的逆算符，注意：并非所有的算符都具有相应的逆算符，只有当算符的本只有当算符的本征值都不为零时才存在逆算符征值都不为零时才存在逆算符。 满足满足 IAAAA11 6 6算符的共轭算符的共轭 A21 对任意的波函数对任意的波函数 和和 以及算符以及算符 ，令，令 dAA2*112AA 定义算符定义算符 的共轭的共轭 满足满足dAdAdA*12*1*22*1)(即即 *1221()AA 7 7厄米算符厄米算符 AA 若算符若算符 等于其共轭等于其共轭 ，即，即 AA则称算符则称算符 为为厄米算符厄米算符或或自共轭算符自共轭算符。 A 引入厄米算符的意义在于，量子力学中可观测量对应的算符都引入厄米算符的意义在于，量子力学中可观测量对应的算符都是厄米的。是厄米的。 *1221()AdAd 例例1 1求常数算符求常数算符 的共轭。的共轭。 cA *1212ccd即即 *cc所以，所以，常数算符的共轭等于其复共轭常数算符的共轭等于其复共轭。 例例2 2求微分算符求微分算符 的共轭。的共轭。 xA 解：解： 解：解： *1212dxxx分布积分*12dxx*12dxx*2121dxx *21dxx 12x 所以所以 xx 由此例可以看出，算符由此例可以看出，算符 的共轭为的共轭为 xpix xxpiipxx *12c*21cd 例例3 3证明：证明： 。 ABBA)( 解：解： 因为因为 *1221()()ABdABd*12() ()BAd*12B Ad所以所以 ABBA)(ABCBACCBA)()( 推广推广 例例4 4求算符求算符 的共轭。的共轭。 zyxLxpyp 解：解： zyxLp xp y 由例由例2 2和例和例4 4可以看出，可以看出，动量算符和角动量算符都是厄米算符动量算符和角动量算符都是厄米算符。 *12()BAdzL yxp xp yyxxpyp三、算符的对易关系三、算符的对易关系 1 1对易关系对易关系 引入符号引入符号 ABBABA,称为算符称为算符 和和 的的对易关系对易关系或或对易子对易子。 ABBABA0,BA 如果如果 ，则称算符，则称算符 和和 是是对易的对易的（或（或可交换的可交换的）；否）；否则，称则，称 和和 是不对易的。是不对易的。 例如，对于坐标与动量算符，显然有例如，对于坐标与动量算符，显然有 zyxpp,0,0, 根据所研究的对象不同，有时要用到两个算符的根据所研究的对象不同，有时要用到两个算符的反对易关系反对易关系，其定义为其定义为 ABBABABA, 2 2量子力学基本对易关系量子力学基本对易关系 对于任意的状态对于任意的状态 ，有，有 ,xxxx pxpp xi ( )( )(ixxxxx ）所以所以 ipxx,此即著名的此即著名的海森堡对易关系海森堡对易关系，它是量子力学，它是量子力学最基本的对易关系最基本的对易关系。 因为因为 ,yyyx pxpp x所以所以 ，因此，因此 ,0yx pzyxip, 用类似的方法可知，时间与能量的对易关系为用类似的方法可知，时间与能量的对易关系为 。 , E ti 例例5 5计算对易关系计算对易关系 。),(xpxf 解：解： ( ),( )( )xxxf xpf x pp f x( )( )ddi f xif xdxdx ( )( )( )ddf xdi f xii f xdxdxdx ( )df xidx 所以所以 ( ) ( ),xdf xf xpidx 0yyxpxp 3 3对易关系代数的运算规则对易关系代数的运算规则 ,ABBA,BABA,CABACBA , , ,A BCABCBCAABCBACBACBCAA B CB A C,CBABCACBA 例例6 6计算计算 。 ,nxxp 解：解： 11, ,nnnxxxxpx xpx p x221,2nnxxxpi x221, ,nnnxxx x xpx p xi x 1nni x 利用例利用例5 5结果，也可以求得结果，也可以求得 1)(,nnxnnxidxxdipx 例例7 7计算计算 。,nxpx 解：解： 11 , , ,nnnxxxxxx pp x px pp1nxi np221 , ,nnnxxxxxxpp x px ppi p 221 ,2nnxxxpx pip 定义定义轨道角动量算符轨道角动量算符 ，则其分量形式为，则其分量形式为 prLxzyyxzzyxLypzpiyzzyLzpxpizxxzLxpypixyyx ,yxLp,xxLp 例例8 8计算计算 、 。 解：解： 0,xxLp,xyxxzp Lp zpxp, ,xxxzpzppxp,xzpxp , , xzxzx ppp x p ,xzx ppzi p 引入记号引入记号 （反对称三阶张量）（反对称三阶张量），定义，定义 01zxyyzxxyz 总结起来，有总结起来，有 ,pLip ,Lpip 例例9 9计算计算 、 。 ,xx L ,yx L 解：解： ,0 xx L , ,yxzx Lx zpxp ,xx zp ,xz x pi z 总结，有总结，有 ,Li ,Li 解：解： 例例1010计算计算 。 ,xyL L, ,xyzyyyL Lyp LzpL, ,zyyyy p Lz Lpxyi ypi xp zi L 总结，有总结，有 ,LLiL LLi LLL 因为因为 所以，上式也可写成所以，上式也可写成 ()xyziL iL jL ki L() ()xyzxyzL iL jL kL iL jL k ()()()yzzyzxxzxyyxL LL L iL LL LjL LL L k 解：解： 例例1111角动量算符平方算符角动量算符平方算符 ，计算，计算 。 2222zyxLLLL,2zLL,2222zzzyzxzLLLLLLLL, , ,xxzxzxyyzyzyL L LL L LL L LL L L ()xyyxyxxyiL LL LL LL L 0总结，有总结，有 0,2LL