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考点强化练19解直角三角形及其应用夯实基础1.(2018云南)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为()A.3B.13C.1010D.31010答案A解析根据正切的意义得tanA=BCAC=31=3.2.(2018湖南益阳)如图,小刚从山脚A出发,沿坡角为的山坡向上走了300米到达B点,则小刚上升了()A.300sin B.300cos C.300tan D.300tan答案A解析sin=BCAB,BC=ABsin=300sin,故选A.3.(2018吉林长春)如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A、B在同一水平面上).为了测量A、B两地之间的距离,一架直升飞机从A地出发,垂直上升800米到达C处,在C处观察B地的俯角为,则A、B两地之间的距离为()A.800sin 米B.800tan 米C.800sin米D.800tan米答案D解析由题中条件可知,在RtABC中,ABC=,AC=800米,由tan=ACAB,可得AB=800tan米.4.(2018江苏苏州)如图,某海监船以20海里/时的速度在某海域执行巡航任务,当海监船由西向东航行至A处时,测得岛屿P恰好在其正北方向,继续向东航行1小时到达B处,测得岛屿P在其北偏西30方向,保持航向不变又航行2小时到达C处,此时海监船与岛屿P之间的距离(即PC的长)为()A.40海里B.60海里C.203海里D.403海里答案D解析本题解答时要利用直角三角形的边角关系和勾股定理来进行计算.由题意可知AB=20,APB=30,PA=203,BC=220=40,AC=60,PC=PA2+AC2=(203)2+602=403(海里),故选D.5.(2018长丰一模)计算:2cos 60+4sin 60tan 30-cos245=.答案52解析原式=212+43233-222=1+2-12=52.6.(2018山东枣庄)如图,某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31,AB的长为12米,则大厅两层之间的高度为米.(结果保留两个有效数字)(参考数据:sin 31=0.515,cos 31=0.857,sin 31=0.601)答案6.2解析在RtABC中,BCAB=sinBAC,即BC12=sin31,BC=120.515=6.186.2(米),故填6.2.7.(2018吉林)数学活动小组的同学为测量旗杆高度,先制定了如下测量方案,使用工具是测角仪和皮尺.请帮助组长林平完成方格内容,用含a,b,c的代数式表示旗杆AB的高度.数学活动方案活动时间:2018年4月2日活动地点:学校操场填表人:林平课题测量学校旗杆的高度活动目的运用所学数学知识及方法解决实际问题方案示意图测量步骤(1)用测得ADE=;(2)用测得BC=a米,CD=b米计算过程解测量步骤:(1)测角仪(2)皮尺计算过程:如题图,ADE=,DE=BC=a,BE=CD=b,在RtADE中,AED=90,tanADE=AEDE,DE=AEtanADE=atan.AB=AE+BE=(b+atan)(米).8.(2018辽宁抚顺)如图,BC是路边坡角30,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角DAN和DBN分别是37和60(图中的点A,B,C,D,M,N均在同一平面内,CMAN).(1)求灯杆CD的高度;(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:3=1.73,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75)解(1)延长DC交AN于E,DBN=60,BC=10米,CBN=30,DCM=90,CMAN,BDE=30,DEB=90.CE=12BC=5(米),BE=BC2-CE2=32BC=53(米).tanDBE=DEBE=DC+CEBE=3,解得CD=10(米).(2)由(1)可知,DE=15米,BE=53米.AE=AB+BE,tanDAN=DEAE=DEAB+BE,DAN=37,15AB+530.75,解得AB11.4(米).9.(2018江苏徐州)如图,1号楼在2号楼的南侧,两楼的高度均为90 m,楼间距为AB.冬至日正午,太阳光线与水平面所成的角为32.3,1号楼在2号楼墙面上的影高为CA;春分日正午,太阳光线与水平面所成的角为55.7,1号楼在2号楼墙面上的影高为DA.已知CD=42 m.(1)求楼间距AB;(2)若2号楼共有30层,层高均为3 m,则点C位于第几层?(参考数据:sin 32.30.53,cos 32.30.85,tan 32.30.63,sin 55.70.83,cos 55.70.56,tan 55.71.47)解(1)过点C,D分别作CEPB,DFPB,垂足分别为E,F.则有AB=CE=DF,EF=CD=42.由题意可知:PCE=32.3,PDF=55.7,在RtPCE中,PE=CEtan32.3=0.63CE.在RtPDF中,PF=CEtan55.7=1.47CE.PF-PE=EF,1.47CE-0.63CE=42,AB=CE=50(m).答:楼间距为50m.(2)由(1)得:PE=0.63CE=31.5(m),AC=BP-PE=90-31.5=58.5(m),58.53=19.5,点C位于第20层.答:点C位于第20层.10.(2017内蒙古包头)如图,在ABC中,C=90,B=30,AD是ABC的角平分线,DEBA交AC于点E,DFCA交AB于点F,已知CD=3.(1)求AD的长;(2)求四边形AEDF的周长.(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)解(1)在ABC中,C=90,B=30,BAC=60.AD是ABC的角平分线,CAD=BAD=12BAC=30.在RtACD中,CAD=30,CD=3,CD=12AD,AD=6.(2)DEBA,DFCA,四边形AEDF为平行四边形,BAD=EDA.CAD=BAD,CAD=EDA,AE=DE.四边形AEDF为菱形.DEBA,CDE=B=30,在RtCDE中,C=90,cosCDE=CDED,ED=3cos30=23.四边形AEDF的周长为4ED=423=83.提升能力11.(2018北京)如图所示的网格是正方形网格,BACDAE.(填“”“=”或“解析如图,取格点N,点H,连接NH、BC,过N作NPAD于P,SANH=22-12122-1211=12AHNP,32=52PN,PN=35,RtANP中,sinNAP=PNAN=355=35=0.6,RtABC中,sinBAC=BCAB=222=220.6,正弦值随着角度的增大而增大,BACDAE.12.(2018内蒙古通辽)我市304国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰,如图所示,其中山脚A、C两地的海拔高度约为1 000米,山顶B处的海拔高度约为1 400米,由B处望山脚A处的俯角为30,由B处望山脚C处的俯角为45,若在A、C两地间打通一条隧道,求隧道最短为多少米(结果取整数,参考数据31.732).解作BDAC,垂足为D,如图所示.由题意可得BD=1400-1000=400(米),BAC=30,BCA=45,在RtABD中,tan30=BDAD,即400AD=33,AD=4003(米).在RtBCD中,BCA=45,DC=DB=400(米).AC=AD+DC=4003+4001092.81093(米).答:隧道最短约为1093米.13.(2018山东莱芜,20)在小水池旁有一盏路灯,已知支架AB的长是0.8 m,A端到地面的距离AC为4 m,支架AB与灯柱AC的夹角为65.小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角为45,在水池的内沿E测得支架A端的仰角为50(点C,E,D在同一直线上),求小水池的宽DE.(结果精确到0.1 m)(sin 650.9,cos 650.4,tan 501.2)解过点B作BFAC于F,BGCD于G.在RtBAF中,BAF=65,BF=ABsinBAF=0.80.9=0.72,AF=ABcosBAF=0.80.4=0.32,FC=AF+AC=4.32.由题意可知四边形FCGB是矩形,BG=FC=4.32,CG=BF=0.72.BDG=45,DBG=GDB,GD=GB=4.32,CD=CG+GD=5.04.在RtACE中,AEC=50,CE=ACtanAEC=41.23.33,DE=CD-CE=5.04-3.33=1.711.7.答:小水池的宽是1.7m.导学号1673412414.(2018江苏扬州)问题呈现:如图1,在边长为1的正方形网格中,连接格点D、N和E、C,DN和EC相交于点P,求tanCPN的值.方法归纳:求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中CPN不在直角三角形中,我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点M,N,可得MNEC,则DNM=CPN,连接DM,那么CPN就变换到RtDMN中.问题解决(1)直接写出图1中tanCPN的值为;(2)如图2,在边长为1的正方形网格中,AN与CM相交于点P,求cosCPN的值;思维拓展(3)如图3,ABBC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接AN交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求CPN的度数.解(1)由勾股定理得:DM=22,MN=2,DN=10,(22)2+(2)2=(10)2,DM2+MN2=DN2,DMN是直角三角形.MNEC,CPN=DNM.tanDNM=DMMN=222=2,tanCPN=2.(2)法1:如图,cosCPN=cosQCM=22.法2:如图中,取格点D,连接CD,DM.CDAN,CPN=DCM,DCM是等腰直角三角形,DCM=CDM=45,cosCPN=cosDCM=22.(3)法1:如图,CPN=CMQ=45.法2:如图,CPN=QAN=45.法3:如图中,取格点Q,连接AQ、NQ.PCQN,CPN=ANQ.AQ=QN,AQN=90,ANQ=QAN=45,CPN=45.导学号1673412515.(2018山东莱芜)如图,若ABC内一点P满足PAC=PCB=PBA,则称点P为ABC的布罗卡尔点.三角形的布罗卡尔点是法国数学家和教育家克雷尔首次发现,后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现,并用他的名字命名,布罗卡尔点的再次发现,引发了研究“三角形几何”的热潮.已知ABC中,CA=CB,ACB=120,P为ABC的布罗卡尔点,若PA=3,则PB+PC=.答案1+33解析如图,由“布罗卡尔点”的定义,设PAC=PCB=PBA=,又CA=CB,ACB=120,ABC=BAC=30,CBP=PAB=30-=,BCPABP,PBPA=BCAB=PCPB,而在ABC中,作CDAB于D,则BD=12AB,而cosB=BDBC=32,BCAB=13,PB3=13=PCPB,PB=1,PC=33,PB+PC=1+33.故答案为1+33.创新拓展16.在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PMAB,PNAC,M,N分别为垂足.(1)求证:不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;(2)求当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大,并求出最大值.(1)证明连接AP,ABC是等边三角形,故不妨设AB=BC=AC=a,其中BC边上的高记作h,PMAB,PNAC,SABC=SABP+SACP=12ABMP+12ACPN=12a(PM+PN),又SABC=12BCh=12ah,PM+PN=h.即不论点P在BC边的何处时都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.(2)解设BP=x,在RtBNP中,BMP=90,B=60,BP=x,BM=BPcos60=12x,MP=BPsin60=32x,SBMP=12BMMP=1212x32x=38x2;PC=2-x,同理可得SPNC=38(2-x)2,又SABC=3422=3,S四边形AMPN=SABC-SBMP-SPNC=3-38x2-38(2-x)2=-34(x-1)2+334,当BP=1时,四边形AMPN的面积最大,是334.11
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