资源描述
题型07 动态问题试题一、单选题1如图，矩形中，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是（ ）A2B4CD【答案】D【分析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BPP1P2时，PB取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可.【详解】解：点P为DF的中点，当F运动过程中，点P的运动轨迹是线段P1P2因此可得当C点和F点重合时，BP1P1P2时使PB最小为BP1.当C和F重合时，P1点是CD的中点 故选D.【点睛】本题主要考查矩形中的动点问题，关键在于问题的转化，要使PB最小，就必须使得DF最长.2如图，在中，点P是边AC上一动点，过点P作交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当BD平分时，AP的长度为（）ABCD【答案】B【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到，得到，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【详解】解：，又，即，解得，故选B【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键3如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）ABCD或【答案】C【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知.【详解】解：如图1所示，当t等于0时，顶点坐标为，当时，当时，当时，此时最大值为0，最小值为；如图2所示，当时，此时最小值为，最大值为1综上所述：，故选：C 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键4矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作，交x轴于点D下列结论：；当点D运动到OA的中点处时，；在运动过程中，是一个定值；当ODP为等腰三角形时，点D的坐标为其中正确结论的个数是（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】D【分析】根据矩形的性质即可得到；故正确；由点D为OA的中点，得到，根据勾股定理即可得到，故正确；如图，过点P作于F，FP的延长线交BC于E，则，根据三角函数的定义得到，求得，根据相似三角形的性质得到，根据三角函数的定义得到，故正确；当为等腰三角形时，、，解直角三角形得到，、OPOD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到，故不合题意舍去；、，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到，故不合题意舍去；于是得到当为等腰三角形时，点D的坐标为故正确【详解】解：四边形OABC是矩形，；故正确；点D为OA的中点，故正确；如图，过点P作 A于F，FP的延长线交BC于E，四边形OFEC是矩形，设，则，在中，故正确；，四边形OABC是矩形，当为等腰三角形时，、 、 ，故不合题意舍去；、，故不合题意舍去，当为等腰三角形时，点D的坐标为故正确，故选：D【点睛】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP和PD是解本题的关键5如图，在中，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，使四边形周长最小的点的坐标为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据已知条件得到AB=OB=4，AOB=45，求得BC=3，OD=BD=2，得到D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线EC的解析式为y=x+2，解方程组即可得到结论【详解】在RtABO中，OBA=90，A（4，4），AB=OB=4，AOB=45，点D为OB的中点，BC=3，OD=BD=2，D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），直线OA 的解析式为y=x，设直线EC的解析式为y=kx+b，解得：，直线EC的解析式为y=x+2，解得，P（，），故选C【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P点的位置是解题的关键6如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A、D在x轴上方，对角线BD的长是2310，点E-2,0为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动当点F0,6到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（ ）A103B10C163D3【答案】A【分析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FGPE于G，连接EF首先说明点G与点F重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J设BC=2a利用相似三角形的性质构建方程求解即可【详解】如图1中，当点P是AB的中点时，作FGPE于G，连接EFE（-2，0），F（0，6），OE=2，OF=6，EF=22+42=210，FGE=90，FGEF，当点G与E重合时，FG的值最大如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J设BC=2aPA=PB，BE=EC=a，PEAC，BJ=JH，四边形ABCD是菱形，ACBD，BH=DH=103，BJ=106，PEBD，BJE=EOF=PEF=90，EBJ=FEO，BJEEOF，BEEF=BJEO，a210=1062，a=53，BC=2a=103，故选A【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题7如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ）ABCD【答案】C【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值.【详解】抛物线与轴交于、两点A（-4,0），B（4,0），即OA=4.在直角三角形COB中BC=Q是AP上的中点，O是AB的中点OQ为ABP中位线，即OQ=BP又P在圆C上，且半径为2，当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大此时BP=BC+CP=7OQ=BP=.【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况.8如图，ABC中，ABAC10，tanA2，BEAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是( )ABCD10【答案】B【分析】如图，作DHAB于H，CMAB于M由tanA=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=BD，推出CD+BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题【详解】如图，作DHAB于H，CMAB于MBEAC，AEB=90，tanA=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，a2=20，a=2或-2（舍弃），BE=2a=4，AB=AC，BEAC，CMAB，CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等）DBH=ABE，BHD=BEA，DH=BD，CD+BD=CD+DH，CD+DHCM，CD+BD4，CD+BD的最小值为4故选B【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型9如图，已知 两点的坐标分别为，点分别是直线和x轴上的动点，,点是线段的中点，连接交轴于点；当面积取得最小值时，的值是（ ）ABCD【答案】B【分析】如图，设直线x=-5交x轴于K由题意KD=CF=5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与K相切时，ABE的面积最小，作EHAB于H求出EH，AH即可解决问题【详解】如图，设直线x=-5交x轴于K由题意KD=CF=5，点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，当直线AD与K相切时，ABE的面积最小，AD是切线，点D是切点，ADKD，AK=13，DK=5，AD=12，tanEAO=，OE=，AE=，作EHAB于HSABE=ABEH=SAOB-SAOE，EH=，故选B.【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.10如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（ ）ABCD【答案】A【分析】连接BE，由题意可得点E是ABC的内心，由此可得AEB135，为定值，确定出点E的运动轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD，则CDAB，在CD的延长线上，作DFDA，则可判定A、E、B、F四点共圆，继而得出DEDADF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设O的半径为R，求出点C的运动路径长为，DAR，进而求出点E的运动路径为弧AEB，弧长为，即可求得答案.【详解】连结BE，点E是ACB与CAB的交点，点E是ABC的内心，BE平分ABC，AB为直径，ACB90，AEB180(CAB+CBA)135，为定值，点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，AD=BD，如下图，过圆心O作直径CD，则CDAB，BDOADO45，在CD的延长线上，作DFDA，则AFB45，即AFB+AEB180，A、E、B、F四点共圆，DAEDEA67.5，DEDADF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设O的半径为R，则点C的运动路径长为：，DAR，点E的运动路径为弧AEB，弧长为：，C、E两点的运动路径长比为：，故选A.【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点E运动的路径是解题的关键.二、填空题11如图，矩形硬纸片ABCD的顶点A在轴的正半轴及原点上滑动，顶点B在轴的正半轴及原点上滑动，点E为AB的中点，AB=24,BC=5,给出下列结论：点A从点O出发，到点B运动至点O为止，点E经过的路径长为12；OAB的面积的最大值为144；当OD最大时，点D的坐标为，其中正确的结论是_（填写序号）.【答案】【分析】由条件可知AB=24，则AB的中点E的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长；当OAB的面积最大时，因为AB=24，所以OAB为等腰直角三角形，即OA=OB，可求出最大面积为144；当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DFy轴于点F，可求出OD=25，证明DFAAOB和DFOBOA，可求出DF长，则D点坐标可求出【详解】解：点E为AB的中点，AB=24，AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心，12为半径的一段圆弧，AOB=90，点E经过的路径长为，故错误；当OAB的面积最大时，因为AB=24，所以OAB为等腰直角三角形，即OA=OB，E为AB的中点，故正确；如图，当O、E、D三点共线时，OD最大，过点D作DFy轴于点F，OD=DE+OE=13+12=25，设DF=x，四边形ABCD是矩形，DAB=90，DFA=AOB，DAF=ABO，DFAAOBE为AB的中点，AOB=90，AE=OE，AOE=OAE，DFOBOA，解得舍去，故正确故答案为【点睛】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题12如图，在边长为的菱形中，将沿射线的方向平移得到，分别连接，则的最小值为_.【答案】【分析】过C点作BD的平行线，以为对称轴作B点的对称点，连接交直线于点，当三点共线时取最小值，再根据勾股定理即可求解.【详解】如图，过C点作BD的平行线，以为对称轴作B点的对称点，连接交直线于点根据平移和对称可知，当三点共线时取最小值，即，又，根据勾股定理得，故答案为【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知平移的性质及勾股定理的应用.13如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是_【答案】【分析】当F与A点重合时和F与C重合时，根据E的位置，可知E的运动路径是EE的长；由已知条件可以推导出DEE是直角三角形，且DEE=30，在RtADE中，求出DE即可求解【详解】解：如图E的运动路径是EE的长；AB4，DCA30，BC，当F与A点重合时，在RtADE中，AD，DAE30，ADE60，DE，CDE30，当F与C重合时，EDC60，EDE90，DEE30，在RtDEE中，EE；故答案为【点睛】本题考查点的轨迹；能够根据E点的运动情况，分析出E点的运动轨迹是线段，在30度角的直角三角形中求解是关键14如图，点是双曲线：（）上的一点，过点作轴的垂线交直线：于点，连结，.当点在曲线上运动,且点在的上方时，面积的最大值是_.【答案】3【分析】令PQ与x轴的交点为E，根据双曲线的解析式可求得点A、B的坐标，由于点P在双曲线上，由双曲线解析式中k的几何意义可知OPE的面积恒为2，故当OEQ面积最大时的面积最大.设Q（a，）则SOEQ= a（）=，可知当a=2时SOEQ最大为1，即当Q为AB中点时OEQ为1，则求得面积的最大值是是3.【详解】交x轴为B点，交y轴于点A,A（0，-2），B（4，0）即OB=4，OA=2令PQ与x轴的交点为EP在曲线C上OPE的面积恒为2当OEQ面积最大时的面积最大设Q（a, ）则SOEQ= a（）=当a=2时SOEQ最大为1即当Q为AB中点时OEQ为1故面积的最大值是是3.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.15如图，正方形ABCD中，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作，交CD于点Q，则CQ的最大值为_【答案】4【分析】先证明，得到与CQ有关的比例式，设，则，代入解析式，得到y与x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值【详解】解：又设，则，化简得，整理得，所以当时，y有最大值为4故答案为4【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想16如图，在平面直角坐标中，一次函数y4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点.正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数（k0）的图象上.若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是_.【答案】3.【分析】过点D作DEx轴过点C作CFy轴，可证ABODAE(AAS)，CBFBAO(AAS)，则可求D(5，1)，C(4，5)，确定函数解析式，C向左移动n个单位后为(4n，5)，进而求n的值.【详解】过点D作DEx轴，过点C作CFy轴，ABAD，BAODAE，ABAD，BOADEA，ABODAE(AAS)，AEBO，DEOA，y4x+4，当x=0时，y=4，当y=0时，0=-4x+4，x=1，A(1，0)，B(0，4)，OA=1，OB=4，OE=OA+AE=5，D(5，1)，顶点D在反比例函数上，k5，易证CBFBAO(AAS)，CF4，BF1，C(4，5)，C向左移动n个单位后为(4n，5)，5(4n)5，n3，故答案为：3.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的平移等，综合性较强，正确添加常用辅助线是解题的关键.17如图1，在四边形中，,直线.当直线沿射线方向，从点开始向右平移时，直线与四边形的边分别相交于点、.设直线向右平移的距离为，线段的长为，且与的函数关系如图2所示，则四边形的周长是_. 【答案】【分析】根据图1直线l的平移过程分为三段，当F与A重合之前，x与y都不断增大，当当F与A重合之后到点E与点C重合之前，x增加y不变，E与点C重合后继续运动至F与D重合x增加y减小.结合图2可知BC=5，AD=7-4=3，由且B=30可知AB=，当F与A重合时，把CD平移到E点位置可得三角形AED为正三角形，可得CD=2，进而可求得周长.【详解】由题意和图像易知BC=5，AD=7-4=3当BE=4时（即F与A重合），EF=2又且B=30AB=，当F与A重合时，把CD平移到E点位置可得三角形AED为正三角形CD=2AB+BC+CD+AD=+5+2+3=10+故答案时.【点睛】本题考查了30所对的直角边是斜边的一半，对四边形中动点问题几何图像的理解，解本题的关键是清楚掌握直线l平移的距离为，线段的长为的图像和直线运动的过程的联系，找到对应线段长度.18如图，在矩形中，点是边上的一个动点，连接，作点关于直线的对称点，连接，设的中点为，当点从点出发，沿边运动到点时停止运动，点的运动路径长为_【答案】【分析】如图，连接BA1，取BC使得中点O，连接OQ，BD利用三角形的中位线定理证明=定值，推出点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120，已解决可解决问题【详解】解：如图，连接，取使得中点，连接四边形是矩形，点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，圆心角为，点的运动路径长故答案为【点睛】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型19如图，是O的内接三角形，且AB是O的直径，点P为O上的动点，且，O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是_【答案】【分析】过O作OMAC于M，延长MO交O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值=PM，解直角三角形即可得到结论【详解】过O作于M，延长MO交O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值，O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是，故答案为：【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键20如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为_. 【答案】2.【分析】如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，由此可得，当三点共线时，取“=”，此时即PMPN的值最大，由正方形的性质求出AC的长，继而可得，再证明，可得PMABCD，90，判断出为等腰直角三角形，求得长即可得答案.【详解】如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，当三点共线时，取“=”，正方形边长为8，AC=AB=，O为AC中点，AO=OC=，N为OA中点，ON=，BM=6，CM=AB-BM=8-6=2，PMABCD，90，=45，为等腰直角三角形，CM=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.三、解答题21如图，抛物线C1：yx22x与抛物线C2：yax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA2OB（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，MOC面积最大？并求出最大面积【答案】（1）yx2+4x；（2）线段AC的长度；（3）SMOC最大值为【分析】（1）C1、C2：y=ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a=-1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；（2）作点C关于C1对称轴的对称点C（-1，3），连接AC交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解；（3）SMOC=MHxC=（-x2+4x-x）= -x2+，即可求解【详解】（1）令：yx22x0，则x0或2，即点B（2，0），C1、C2：yax2+bx开口大小相同、方向相反，则a1，则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得：016+4b，解得：b4，故抛物线C2的解析式为：yx2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x0或3，故点C（3，3），作点C关于C1对称轴的对称点C（1，3），连接AC交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小为：线段AC的长度；（3）直线OC的表达式为：yx，过点M作y轴的平行线交OC于点H，设点M（x，x2+4x），则点H（x，x），则SMOCMHxC（x2+4xx）x2，0，故x，SMOC最大值为【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数22如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接（1）求的大小；（2）问题探究：动点在运动的过程中，是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由（3）问题解决：如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度【答案】（1）；（2）能，的值为5或；大小不变，；（3）.【分析】（1）在中，求出的正切值即可解决问题（2）分两种情形：当时，当时，分别求解即可利用四点共圆解决问题即可（3）首先证明是等边三角形，再证明垂直平分线段，解直角三角形即可解决问题【详解】解：（1）如图一（1）中，四边形是矩形，（2）如图一（1）中，当时，在中，是等边三角形，如图一（2）中，当时，易证，综上所述，满足条件的的值为5或结论：大小不变理由：如图一（1）中，四点共圆，如图一（2）中，四点共圆，综上所述，（3）如图二中，是等边三角形，垂直平分线段，【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题23如图，在中，点分别是边上的动点（点不与重合），且，过点作的平行线，交于点，连接，设为（1）试说明不论为何值时，总有；（2）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，试说明理由；（3）当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值【答案】（1）见解析；（2）当时，四边形为平行四边形；（3）当时，四边形的面积最大，最大值为【分析】（1）根据题意得到MQB=CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可【详解】解：（1），又，；（2）当时，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形；（3），即，解得，即，解得，则四边形的面积，当时，四边形的面积最大，最大值为【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键24如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M求证：DC是O的切线若且，求图中阴影部分的面积在的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，的值最小，并求出最小值【答案】证明见解析；【分析】作，证明OH为圆的半径，即可求解；利用，即可求解；作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，此时最小，即可求解【详解】解：过点O作，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分BCD，OH、OG都为圆的半径，即DC是O的切线；且，在直角三角形OHC中，；作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，此时最小，即：PH+PM的最小值为，在RtNPO中，在RtCOD中，则【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到圆切线的性质及应用、点的对称性、解直角三角形等知识，其中，通过点的对称性确定PH+PM最小，是本题的难点和关键25如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点，以DE为边作正方形DEFG，DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与GB交于点N，连接CG.（1）求证：CDCG；（2）若tanMEN=，求的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）EM长不可能为.理由见解析.【分析】（1）由正方形的性质得出A=ADC=EDG=90，AD=CD，DE=DG，即ADE=CDG，由SAS证明ADECDG得出A=DCG=90，即可得出结论；（2）先证明EDMGDM，得出DME=NMF，再证明DMEFMN，得出，在RtEFH中，tanHEF=，所以；（3）假设EM= ，先判断出点G在BC的延长线上，同（2）的方法得，EM=GM=，得出GM=,再判断出BM，得出CM，进而得出CMGM，即可得出结论【详解】（1）证明：四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，A=ADC=EDG=90，AD=CD，DE=DG，ADE=CDG，在ADE和CDG中，ADECDG（SAS），A=DCG=90，CDCG；（2）解：CDCG，DCBC，G、C、M三点共线四边形DEFG是正方形，DG=DE，EDM=GDM=45，又DM=DMEDMGDM，DME=DMG又DMG=NMF，DME=NMF，又EDM=NFM=45DMEFMN，又DEHF，又ED=EF，在RtEFH中，tanHEF=，（3）EM的长不可能为。理由：假设EM的长为，点E是AB边上一点，且EDG=ADC=90，点G在BC的延长线上，同（2）的方法得，EM=GM=，GM=，在RtBEM中，EM是斜边，BM正方形ABCD的边长为1，BC=1，CMCMGM，点G在正方形ABCD的边BC上，与“点G在BC的延长线上”相矛盾，假设错误，即：EM的长不可能为【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键，用反证法说明EM不可能为是解本题的难度26在平面直角坐标系中，已知，动点在的图像上运动（不与重合），连接，过点作，交轴于点，连接（1）求线段长度的取值范围；（2）试问：点运动过程中，是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由（3）当为等腰三角形时，求点的坐标【答案】（1）；（2）为定值，=30；（3）， ，【分析】（1）作，由点在的图像上知：，求出AH，即可得解；（2）当点在第三象限时，当点在第一象的线段上时，当点在第一象限的线段的延长线上时，分别证明、四点共圆，即可求得=30；（3）分，三种情况，分别求解即可【详解】解：（1）作，则点在的图像上，（2）当点在第三象限时，由，可得、四点共圆，当点在第一象的线段上时，由，可得、四点共圆，又此时当点在第一象限的线段的延长线上时，由，可得，、四点共圆，（3）设，则：，：，当时，则整理得： 解得：， 当时，则整理得： 解得：或当时，点与重合，舍去，当时，则整理得：解得：【点睛】本题为一次函数综合题，涉及到待定系数法求函数解析式、三角函数、等腰三角形判定和性质以及圆的相关性质等知识点，其中（2）（3），要注意分类求解，避免遗漏27如图1，在正方形中，点是边上的一个动点（点与点不重合），连接，过点作于点，交于点（1）求证：；（2）如图2，当点运动到中点时，连接，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，过点作于点，分别交于点，求的值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.【分析】（1）先判断出，再由四边形是正方形，得出，即可得出结论；（2）过点作于，设，先求出，进而得出，再求出，再判断出，进而判断出，即可得出结论；（3）先求出，再求出，再判断出，求出，再用勾股定理求出，最后判断出，得出，即可得出结论.【详解】（1）证明：，四边形是正方形，；（2）证明：如图2，过点作于，设，点是的中点，在中，根据面积相等，得，；（3）解：如图3，过点作于，在中， ，在中，【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出是解本题的关键.28如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB4，BC6若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动(1)当OAD30时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cosOAD的值【答案】(1)点C的坐标为(2，3+2)；(2)OA3；(3)OC的最大值为8，cosOAD【分析】(1)作CEy轴，先证CDEOAD30得CECD2，DE，再由OAD30知ODAD3，从而得出点C坐标；(2)先求出SDCM6，结合S四边形OMCD知SODM，SOAD9，设OAx、ODy，据此知x2+y236，xy9，得出x2+y22xy，即xy，代入x2+y236求得x的值，从而得出答案；(3)由M为AD的中点，知OM3，CM5，由OCOM+CM8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ONAD，证CMDOMN得，据此求得MN，ON，ANAMMN，再由OA及cosOAD可得答案【详解】(1)如图1，过点C作CEy轴于点E，矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO90，又OAD+ADO90，CDEOAD30，在RtCED中，CECD2，DE2，在RtOAD中，OAD30，ODAD3，点C的坐标为(2，3+2)；(2)M为AD的中点，DM3，SDCM6，又S四边形OMCD，SODM，SOAD9，设OAx、ODy，则x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，将xy代入x2+y236得x218，解得x3(负值舍去)，OA3；(3)OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，OM3，CM5，OCOM+CM8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ONAD，垂足为N，CDMONM90，CMDOMN，CMDOMN，即，解得MN，ON，ANAMMN，在RtOAN中，OA，cosOAD【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点29在等腰三角形中，作交AB于点M，交AC于点N（1）在图1中，求证：；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作交CM于点E，作交BN于点F，求证：；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作交CM的延长线于点E，作交NB的延长线于点F，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，利用AAS定理证明；（2）根据全等三角形的性质得到，证明、，根据相似三角形的性质列出比例式，证明结论；（3）根据，得到，证明，得到，根据比例的性质证明即可【详解】证明：（1）， 在和中， ； （2）， ， ， ， ； （3）同（2）的方法得到， ， ，又，【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键30已知：是等腰直角三角形，将绕点顺时针方向旋转得到，记旋转角为，当时，作，垂足为，与交于点（1）如图1，当时，作的平分线交于点.写出旋转角的度数；求证：；（2）如图2，在（1）的条件下，设是直线上的一个动点，连接，若，求线段的最小值.（结果保留根号）【答案】（1）旋转角为；见解析；（2）的最小值为.【分析】（1）解直角三角形求出即可解决问题.连接，设交于点.在时截取，连接.首先证明是等边三角形，再证明，即可解决问题. （2）如图2中，连接，作交的延长线于.证明，推出，推出，关于对称，推出，推出，求出即可解决问题.【详解】解：（1）旋转角为理由：如图1中，旋转角为.证明：连接，设交于点.在时截取，连接.，平分，是等边三角形，是等边三角形，.（2）解：如图2中，连接，作交的延长线于.由可知，关于对称，在中，.的最小值为.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题.49
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