湖南省邵阳市2018年中考数学提分训练 锐角三角函数（含解析）

2018年中考数学提分训练: 锐角三角函数一、选择题1.在RtABC中，C=90，AC=4，AB=5，则tanA的值是（ ） A.B.C.D.2.如图，在ABC中，AC8，ABC60，C45，ADBC，垂足为D，ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）A.B.2 C.D.3 3.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O都在格点上，则A的正弦值是（ ）A.B.C.D.4.已知 是等腰直角三角形的一个锐角，则 的值为（ ） A.B.C.D.15.一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米在用科学计算器求坡角的度数时，具体按键顺序是（ ）A.B.C.D.6.在ABC中，C=90，AB=6，cosA= ，则AC等于（ ）. A.18B.2C.D.7.如图，小强从热气球上测量一栋高楼顶部B的仰角为30，测量这栋高楼底部C的俯角为60，热气球与高楼的水平距离为45米，则这栋高楼高为（ ）米A.15 B.30 C.45 D.60 8.ABC中，A，B均为锐角，且（tanB ）（2sinA ）=0，则ABC一定是（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.有一个角是60的三角形9.如图，矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若COB60，FOFC，则下列结论：FBOC，OMCM；EOBCMB；四边形EBFD是菱形；MBOE32.其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.410.如图，在半径为5的O中，弦AB=6，点C是优弧 上一点（不与A，B重合），则cosC的值为（ ）A.B.C.D.11.如图，四边形ABCD，A1B1BA，A5B5B4A4都是边长为1的小正方形已知ACB=a，A1CB1=a1 ， ，A5CB5=a5 则tanatana1+tana1tana2+tana4tana5的值为（ ）A.B.C.1D.二、填空题 12.计算：tan60cos30=_ 13.已知A是锐角，且tanA= ，则A=_ 14.坡角为=60，则坡度i=_ 15.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2， ），以原点O为中心，将点A顺时针旋转165得到点A，则点A的坐标为_.16.如图，在ABC中，AB=AC，AHBC，垂足为点H，如果AH=BC，那么sinBAC的值是_17.在RtABC中，C=90，AB=2，BC= ，则sinA=_ 18.已知ABC，AB=AC，BC=8，点D、E分别在边BC、AB上，将ABC沿着直线DE翻折，点B落在边AC上的点M处，且AC=4AM，设BD=m，那么ACB的正切值是_（用含m的代数式表示） 19.如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45，测得河对岸A处的俯角为30（A，B，C在同一条直线上），则河的宽度AB约为_三、解答题20.计算：2cos45tan60+sin30| | 21.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱 均垂直于地面，点 在线段 上.在 点测得点 的仰角为 ，点 的俯角也为 ，测得 间的距离为10米，立柱 高30米.求立柱 的高（结果保留根号）.22.如图，为了测量建筑物 的高度，在 处树立标杆 ，标杆的高是 .在 上选取观测点 、 ，从 测得标杆和建筑物的顶部 、 的仰角分别为 、 ，从 测得 、 的仰角分别为 、 .求建筑物 的高度（精确到 ） .（参考数据： ， ， .）23.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，ABC37，坝顶DC3m，背水坡AD的坡度i（即tanDAB）为1：0.5，坝底AB14m（1）求坝高； （2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE2DF，EFBF，求DF的长（参考数据：sin37 ，cos37 ，tan37 ） 答案解析 一、选择题1.【答案】C 【解析】 ：在RtABC中，C=90，AC=4，AB=5，BC=3tanA=故答案为：C【分析】利用勾股定理先求出BC的长，再利用锐角三角形函数的定义，即可求出tanA的值。2.【答案】C 【解析】 ADBC，ADC是直角三角形，C=45，DAC=45，AD=DC，AC=8，AD=4 ，在RtABD中，B=60，BD= = = ，BE平分ABC，EBD=30，DE=BDtan30= = ，AE=AD-DE= ，故答案为：C.【分析】根据等腰直角三角形边之间的关系得出AD的长，在RtABD中，根据正切函数的定义由BD=得出BD的长，由DE=BDtan30得出DE的长，再根据线段的和差，由AE=AD-DE即可得出答案。3.【答案】A 【解析】 ：如图，由题意得：OC=2，AC=4，由勾股定理得：AO= =2 ，sinA= = 故答案为：A【分析】延长AB与OC，两线相交于点C，根据方格纸的特点得出OC=2，AC=4，由勾股定理得AO，再根据锐角三角函数的定义即可得出答案。4.【答案】B 【解析】 是等腰直角三角形的一个锐角，=45，sin=sin45= 故答案为：B【分析】根据等腰直角三角形的性质及特殊锐角三角函数值得出答案。5.【答案】A 【解析】 ：sinA= ，所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，故答案为：A【分析】根据正弦函数的定义，由sinA=0.15,再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。6.【答案】B 【解析】 在RtABC中，C=90，cosA= ，又AB=6，所以AC=2故答案为：B【分析】根据三角函数的定义，在RtABC中，cosA= A C A B，即可得出答案。7.【答案】D 【解析】 ：过A作ADBC，垂足为D，在RtABD中，BAD=30 ， AD=45m，BD=ADtan30=45=m,在RtACD中，CAD=60，AD=45m，CD=ADtan60=45=mBC=+=60m故答案为 ：D【分析】过A作ADBC，垂足为D，在RtABD中，由BD=ADtan30得出BD，在RtACD中，由CD=ADtan60得出CD,再根据BC=BD+CD得出答案。8.【答案】D 【解析】 ABC中，A，B均为锐角，且（tanB ）（2sinA ）=0，tanB =0或2sinA =0，即tanB= 或sinA= B=60或A=60ABC有一个角是60故答案为：D【分析】根据两个因式的积0，则这两个因式至少有一个因式为0可得tanB-=0或2sinA-=0，解得tanB= ，或sinA= ，因为ABC中，A，B均为锐角，由特殊角的锐角三角函数可得B=60或A=60所以ABC有一个角是609.【答案】C 【解析】 连接BD，四边形ABCD是矩形，AC=BD，AC、BD互相平分，O为AC中点，BD也过O点，OB=OC，COB=60，OB=OC，OBC是等边三角形，OB=BC=OC，OBC=60，在OBF与CBF中， ，OBFCBF（SSS），OBF与CBF关于直线BF对称，FBOC，OM=CM；正确，OBC=60，ABO=30，OBFCBF，OBM=CBM=30，ABO=OBF，ABCD，OCF=OAE，OA=OC，易证AOECOF，OE=OF，OBEF，四边形EBFD是菱形，正确，EOBFOBFCB，EOBCMB不符合题意错误，OMB=BOF=90，OBF=30，MB= ，OF= ，OE=OF，MB：OE=3：2，正确；故答案为：C【分析】（1）连接BD，由矩形的性质可得AC=BD，AC、BD互相平分，因为O为AC中点，所以AC、BD相较于O，则OB=OC，因为有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形，所以OBC是等边三角形，用边边边定理可得OBFCBF，所以OBF与CBF关于直线BF对称，由对称的性质可得FBOC，OM=CM；（2）由已知可证得EOBFOBFCB；（3）由（1）可得OBFCBF，所以OBM=CBM=-=30，所以ABO=OBF，根据平行线的性质可得OCF=OAE，用边角边可证得AOECOF，所以OE=OF，OBEF，根据菱形的判定可得四边形EBFD是菱形，（4）因为OMB=BOF=90，OBF=30，所以tanOBF=,cos30=,而OE=OF，所以MB：OE=3：2。10.【答案】D 【解析】 ：作直径AD，连结BD，如图AD为直径，ABD=90在RtABD中，AD=10，AB=6，BD= =8，cosD= = = C=D，cosC= 故答案为：D【分析】作直径AD，连结BD，根据直径所对的圆周角是直角得出ABD=90，在RtABD中根据勾股定理得出BD的长，根据余弦函数的定义得出cosD的值，根据同弧所对的圆周角相等及等角的同名三角函数值相等得出结论。11.【答案】A 【解析】 ：根据锐角三角函数的定义，得：tana= =1，tana1= = ，tana2= = ，tana5= = ，则tanatana1+tana1tana2+tana4tana5=1 + + + + =1 + + + + =1 = 故答案为：A【分析】根据锐角三角函数的定义，依次算出tana，tana1，tana2，tana5的值，依次代入tanatana1+tana1tana2+tana4tana5，并根据，进行化简计算即可。二、填空题12.【答案】【解析】 tan60cos30= = .故答案为： .【分析】根据特殊角的三角函数值，直接计算即可求解。13.【答案】30 【解析】 ：A是锐角，tanA= ，A=30故答案为：30【分析】根据特殊锐角的三角函数值即可得出答案。14.【答案】【解析】 ：坡度i=tan=tan60= 故答案为： 【分析】根据坡度就是坡角的正切值，再根据特殊锐角三角函数即可得出答案。15.【答案】（ ， ） 【解析】 作ABx轴于点B，AB= OB=2，则tanAOB= ，AOB=60，AOy=30，将点A顺时针旋转165得到点A后，AOC=165309045,OA=OA=2OB=4，AC=OC= ,即A( , )，故答案为：（ ， ）.【分析】作ABx轴于点B，根据点A的坐标得出AB,OB的长，根据正切函数的定义得出AOB的度数，进而得出AOy的度数，将点A顺时针旋转165得到点A后，根据旋转的性质从而得出AOC的度数，OA=OA=2OB=4，进而得出AC=OC= ，得出A的坐标。16.【答案】【解析】 如图，过点B作BDAC于D，设AH=BC=2x，AB=AC，AHBC，BH=CH= BC=x，根据勾股定理得，AC= = x，SABC= BCAH= ACBD，即 2x2x= xBD，解得BC= x，所以，sinBAC= 故答案为： 【分析】过点B作BDAC于D，设AH=BC=2x，由等腰三角形三线合一可得BH=CH=BC=x，在直角三角形ACH中，根据勾股定理得，AC=,因为SABC=BCAH=ACBD，即2x2x=xBD，解得BC=x，在直角三角形ABD中，sinBAC=.17.【答案】【解析】 ：如图RtABC中，C=90，AB=2，BC=，sinA=故答案为：【分析】利用锐角三角函数的定义，即可求解。18.【答案】【解析】 如图所示：作AHBC，MGBC，连结EM、MCAB=AC，BC=8，AHBC，CH=4AC=4AM，CM：AC=3：4AHMG， ，即 ，解得：CG=3BG=5DG=m5由翻折的性质可知MD=BD=m在RtMGD中，依据勾股定理可知：MG= tanACB= 故答案为： 【分析】作AHBC，MGBC，连结EM、MC由已知条件易得CM：AC=3：4因为AHMG，根据平行线分线段成比例定理可得,即，解得CG=3，所以BG=BC-CG=5，所以DG=BD-DG=m5，由折叠的性质可得MD=BD=m，在直角三角形MGD中，由勾股定理可得MG=,所以tanACB=.19.【答案】15.3m 【解析】 ：在RtACD中，CD=21m，DAC=30，AC= = =21 m，在RtBCD中，EDB=45，DBC=45，BC=CD=21m，AB=ACBC=21 2115.3（m），河的宽度AB约是15.3m【分析】本题利用锐角三角函数解决实际问题，已知CD=21m，DAC=，用角的正切可以求出AC的值，因为BCD是等腰直角三角形，所以AB=AC-21.三、解答题20.【答案】 ：原式=2 + = 【解析】【分析】根据特殊锐角三角函数值，及绝对值的意义，先化简，再根据实数的混合运算计算出结果。21.【答案】解：作CFAB于F，则四边形HBDC为矩形，BD=CF，BF=CD.由题意得，ACF=30，CED=30，设CD=x米，则AF=（30x）米，在RtAFC中，FC= ，则BD=CF= ，ED= -10，在RtCDE中，ED= ，则 -10= ，解得，x=15 ，答：立柱CD的高为（15 ）米 【解析】【分析】首先由仰角和俯角的定义，是水平线与视线方向的夹角，则可作CFAB于F，此时CF/水平线，则四边形HBDC为矩形，BD=CF，BF=CD；求CD，即设CD=x，由仰角和俯角可得到ACF=30，CED=30，用x表示出ED两种代数式，构造方程解答即可.22.【答案】解：在 中， ， . .在 中， ， . .同理 . .解得 .因此，建筑物 的高度约为 【解析】【分析】在 Rt CED 中，根据正切函数的定义得出DE =,在 Rt CFD 中根据正切函数的定义得出DF=,由线段的和差表示出EF的长，同理再表示出EF的长，从而得出方程，求解得出AB的长。23.【答案】（1）解： 过点D作DMAB，垂足为M，过点C作CNAB，垂足为N.因背水坡AD的坡度i为1:0.5，tanDAB=2，设AM=x，则DM=2x.又四边形DMNC是矩形，DM=NC=2x.在RtBNC中，tanABC=tan37= ，BN= ，由x+3+ ，得x=3，DM=6.即坝高为6m.（2）解：过点F作FHAB，垂足为H.设DF=y，则AE=2y.EH=3+2y-y=3+y，BH=14+2y-(3+y)=11+y，由FHBE，EFBF，得EFHFBH. ，即 .，解得y= 或y= （舍）.DF= .答：DF的长为 米 【解析】【分析】（1）已知ABC37和背水坡AD的坡度i，则过点D作DMAB，垂足为M，过点C作CNAB，垂足为N，由AB=AM+MN+BN，构造方程解答；（2）过点F作FHAB，垂足为H，由（1）可得FH=DM=6，又EFBF，可证得EFHFBH，则 其中HF=6，而HB与EH可设FD=x，用含x的代数式分别求出EH和HB，然后代入 即可.17