上海市华师大二附中高二上学期期末数学试题解析版

2018-2019学年上海市华师大二附中高二上学期期末数学试、单选题1 .关于x、y的二次一次方程组x 5y2x 3y0，其中行列式Dx为（A.0 5B.10C.05D.0 54324434 3【答案】C【解析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解.【详解】解：关于x、y的二元一次方程组X 5y 0的系数行列式:2x 3y 4故选：C.【点睛】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方 程组的系数行列式的定义的合理运用.2 .使复数z为实数的充分而不必要条件的是（）A. z2为实数B. Z Z为实数C. z ZD. Z Z【答案】D【解析】一个复数为实数的充分必要条件是它的虚部为 0,根据这个充要条件对各个项 加以判别，发现A、B都没有充分性，而C是充分必要条件，由此不难得出正确的选项.【详解】解：设复数z a bi （ i是虚数单位），则复数z为实数的充分必要条件为 b 0由此可看出：对于A, z2为实数，可能z = i是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；对于B，同样若Z是纯虚数，则Z Z 0为实数，没有充分性，故不符合题意；对于C,若z a bi,z a bi, z z等价b 0 ,故是充分必要条件，故不符合题对于D，若z z 0 ,说明z是实数，反之若z是负实数，则z z不成立，符合题 意.故选：D.【点睛】本题考查了复数的分类，共轭复数和充分必要条件的判断，属于基础题熟练掌握复数有关概念，是解决本题的关键.3 .下列动点 M的轨迹不在某一直线上的是（）A. 动点M到直线4x 3y 50和4x 3y 100的距离和为3B. 动点M到直线1,0和 1,0的距离和为2C. 动点M到直线0,2和0, 2的距离差为4D. 动点M到点2,3和到2x y 10的距离相等4【答案】A【解析】 利用平行线之间的距离，判断选项A的正误；利用两点间距离个数判断B的正误；轨迹方程判断 C, D的正误；【详解】|10 5|解：直线4x 3y 50和4x 3y 100之间的距离为：=23，所以动点M743到直线4x 3y 50和4x 3y 100的距离和为3,动点的轨迹是平行线之间的区域满足题意.动点M到直线（1, 0）和（-1, 0）的距离和为2,是两点之间的线段，轨迹在一条直线上，所以B不正确；动点M到直线（0, 2）和（0, -2）的距离差为4,是两条射线，在一条直线上，所以C不正确；动点M到点（2, 3）和到2x y 10的距离相等，动点 M的轨迹是经过（2, 3）与直线垂直的直线，所以 D不正确；故选：A.【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查分析问题解决问题的能力._ 22 亠 2 24 .在平面直角坐标系xOy中，已知两圆G：x y 12和C? : x y 14，又点A坐标为3, 1 ,M、N是Ci上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩 形的个数为()A.0个B.2个C.4个D.无数个【答案】D【解析】根据题意画出图形，通过计算得出公共弦MN也是以AQ为直径的圆的直径，结合图形得出满足条件的四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个.【详解】解：如图所示，任取圆 C2上一点Q,以AQ为直径画圆，交圆Ci与M,N两点,第9页共16页设Q m,n，则AQ中点坐标有 m2 n214,以AQ为直径的圆的方程为(x m)(x 3) (y n)(y 1)0 ,22即 x (3 m)x y (n 1)y n 3m,用C1的方程减去以AQ为直径的圆的方程，可得公共弦MN所在的直线方程,即(3 m)x (n 1)y12 n 3m,将AQ中点坐标专专代入上式得:左边=(3m)(n2 2m 6m 9 n 2n 126m 2n 243m n 12右边,2所以公共弦 MN也是以AQ为直径的圆的直径,则 MN AQ ,根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可得出四边形AMQN是矩形,由Q的任意性知，四边形 AMQN能构成无数个矩形,故选：D。【点睛】本题考查两圆的位置关系应用问题，是难题二、填空题5 在平面解析几何中，直线的倾斜角【答案】O,P)【解析】由倾斜角的概念可得答案。【详解】的取值范围为由倾斜角的概念得：直线的倾斜角故答案为：O,P)【点睛】本题考查倾斜角的概念，是基础题。的取值范围为O,p）。6 曲线y 2x2的准线方程为 .1 【答案】y丄8【解析】先将曲线y 2x2化为标准方程，即可求得准线方程。【详解】解：由y2x2得x2y ,故其准线方程为：y丄，81 故答案为：y丄。8【点睛】本题考查抛物线的标准方程，是基础题。【答案】5石【解析】将z1 2i 3 4i整理成abi形式，然后求模即可。【详解】解：z1 2i3 4i 3 6i 8i 811 2i ,7 若复数z满足z 1 2i 3 4i ,（ i是虚数单位），则Nz 11+2iz Jll2 22 5頁,故答案为：5、. 5【点睛】本题考查复数的模的求法，是基础题。a ib 2i228 若0, a,b R，（ i是虚数单位），则a2 b21 1 i【答案】1【解析】根据行列式的公式计算，列方程求解。【详解】解：原式(a i)(1 i) (b 2i)(a b 1) (a 1)ia b 1 0 a+1=0，b 0a 1，2 2a b 1 ,故答案为：1.【点睛】x y 3x 2y 10所表示的区域，则目标函数y 2x本题考查行列式的计算，是基础题。9 设点x,y位于线性的约束条件z 2x y的最大值和最小值的比值 .【答案】-2【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值与最小值, 然后求解比值.【详解】（阴影部分）平移直线y 2x z ,由图象可知当直线 y 2x z经过点B时，直线y 2x z的截距最大,此时z最大.x y 3x 2y 15 4o，解得 B(3,3)，代入目标函数zz得yX2即目标函数z2xy的最大值为143丄 X 2y 101 2由解得C （丄，）y 2x3 3代入目标函数z 2x y 得 z 21233即目标函数z2xy的最小值为43目标函数z 2x y的最大值和最小值的比值: 故答案为：7 .2【点睛】本题主要考查线性规划的应用，解决此类问题的基本方法.43 .72利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是2 2io.若方程 y一1表示椭圆，则k的取值范围是 .k 1 k2 3【答案】3, 11,1【解析】首先化为椭圆的标准方程，由题意列出不等式组，解不等式可求k的范围.【详解】2 2解：Q方程丄1表示椭圆，k 1 k2 33 k201 k01 k3k2.3k1 且 k1,故答案为:、3, 11,1【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的应用，椭圆的简单性质的应用，属于基础试题.11.已知直线ax by x 0与圆O : x2 y21相交于A, B两点，且 ABuuu uuuOAgOB=.1 【答案】丄2【解析】 在等腰三角形 OAB中，求出 AOB即可【详解】由题意得 |OA| |OB| 1 , |AB| -.3.过O作OHAB 于点 H，则 | HA | | HB | 丄3 , | OH | 1 ,2 2所以 AOH BOH 60 所以 AOB 120uju mu 所以OAg)Buuu uuuOA OB cos AOB1 1 cos120【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，弦长问题，一般可以在弦心距、半径、半弦长组成的三 角形中解决问题y21的两焦点，点P是该椭圆上一动点，则x212 已知F1、F2分别是椭圆-4uuv uuuPFi PF 2【答案】2,1【解析】 求得椭圆的焦点坐标，利用向量的坐标运算，求得uuur UULU12PF1 PF2- 3x28，4由2x2，即可求得答案.【详解】2 _解：由椭圆 1 y2 1 知，焦点 Fi( . 3,0)，F2(;3,0)，4设 P(x,y), 2x2，UULT UUULPF1 PF2_ _ 2( 3 x, y) ( ,3 x, y) x2 y23 x2 1 34N2 8，Q 2 x 2，UULT UJIH0 x2 4，故 PF1 PF2 2,1，故答案为：2,1【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，向量的坐标运算，一元二次函数的最值， 考查计算能力,属于中档题.13.若圆x2 y2 r2 r 0和曲线 1恰有六个公共点，则r的取值集合是34【答案】 3【解析】可作出圆x2 y2 r2 r 0和曲线 1的图像，恰有六个公共点，根34据图像判断即可。【详解】圆x2 y2 r2 r 0和曲线1恰有六个公共点，34对于曲线土 1 ,34当x0,y0时，x3y i ；4；当x0,y0时，xA 1 ；34当x0,y0时，xx 1 ；34，当x0,y0时，xy 1 ；34画出图像如图所示，此时r 3,故答案为：3。【点睛】本题考查数形结合研究图像交点个数问题，是中档题。三、解答题14 .已知2x b ab 0 a 0,b0，当ab取得最小值时，曲线出1上a b的点到直线y J2x的距离的取值范围是.【答案】(0迹，3【解析】利用基本不等式可得 b 2a 4 再对x, y分类讨论，画出图形，利用直线与曲线相切的性质即可得出.【详解】解：/ 2x b ab 0 a 0,b0 ,ab 2a b 2、2ab，化为ab( ,ab 2 2)0,、ab 2,2，解得 ab 8 .当且仅当b 2a 4时取等旦号.曲线为x0,y0时,曲线化为xy2422x0,y0时,曲线化为x仝12422x0,y0时,曲线化为xy2422x0,y0时,曲线化为xy2422当1;当当，此时无图像，应舍去;11当由图形可知:直线y . 2x分别:是曲线孔1,曲线x y2424因此点到直线y2x的距离d0 .设直线y2x im与曲线2 x21 ( x0, y0),相切，24联立y/巴m，化为4x22 2mx m2 4 0，2xy 4令8m2162m 40 ,解得m22，二切线为y22 .两平行线y、2x22 ,y.2x的距离d 102、22 622221的渐近线.3第11页共16页、2x的距离取值范围是1上的点到直线y第13页共16页【点睛】本题考查了基本不等式、 直线与曲线相切的性质， 分类讨论思想方法等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.15 .已知复数zm2 2m 15 i (i是虚数单位)(1) 复数z是实数，求实数 m的值；(2) 复数z是虚数，求实数 m的取值范围；(3) 复数z是纯虚数，求实数 m的值.【答案】(1) m 5; (2) m 5且 m 3; (3) m 3或 2.【解析】(1)根据复数是实数得到虚部为零；(2) 复数是虚数，则虚部不为零；(3) 复数是纯虚数，则实部为零，虚部不为零。【详解】解：(1)复数z是实数，则2m 2m 15 0m 3 0解得m 5 ；复数z是虚数，2 m2m150(2)则m3解得m 5且m3 ；2 mm6 0(3)复数是纯虚数，则m32 m2m150解得m 3或2。【点睛】 本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的数学关系式是解决本题的关键.16 .直线y kx 1与双曲线3x2 y2 1相交于不同的两点 A,B.(1) 求实数k的取值范围；(2) 若以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求实数 k的值【答案】(1) k 、6 . 3、3,、./3； ( 2) k 1.【解析】(1)由直线y kx 1与双曲线3x2y21，消去y，利用判别式大于零得不等式，解出即可;(2)以线段AB为直径的圆经过坐标原点转化为uuu uuu 刚OA OB 0，即 X1X2 y20，整理后代入根与系数关系求解实数k的值.【详解】 解：(1)由直线y kx 1与双曲线3x2 y2 1 ,得 3 k2 x2 2kx 20,所以k204k2 8(3 k2)解得 k 、6,3(2)以线段AB为直径的圆经过坐标原点，设A 为1 ,B X2,y2 ,uuu uuu 则 OA OB0，即曲2y20:x1x2kN 1kx21 0,即k21x1x2k片X21 0,.222k小k12k -2 0,3 k3k2整理得k21，符合条件, k 1 .【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的应用,直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，是处理这类问题的最为常用的方法,训练了利用直线斜率的关系判断两直线的垂直关系，是中档题.217 .已知F1、F2为双曲线：: y2 1的左、右焦点，点 P在双曲线上，点 Q在4圆 C:x2 y 34 上.()若PF| PF2 8，求点p的坐标；(2)若直线l与双曲线 及圆C都恰好只有一个公共点，求直线 I的方程.【答案】（1）85,55 ,8*5558.5558云；（2）555555551x 2, yx 35, y21x23、5, y.132V 3 .【解析】（1 ）设PFim, PF2 n ,运用双曲线的两个定义,解方程即可得到所求 P的坐标；（2）分别讨论直线的斜率不存在、直线和渐近线平行、直线和圆、双曲线都相切的情 况，解方程即可得到所求直线方程.【详解】解：（1 ）设 PFi m, PF2 n,可得 m n 8,| m n| 4,若P在第一象限，可得m n 4 ,解得m 6,n2 ,由双曲线的第二定义可得 解得乂卩頑，丫卩卫5 ,55由对称性可得点 P的坐标为8亦届 8晁届845 455845 455JJJJJJJ55555555（2）直线|与双曲线 及圆C都恰好只有一个公共点,若直线|的斜率不存在，即有直线方程为x 2 ;1由双曲线的渐近线方程可得y 1 x ,21直线I与渐近线平行，可设| : y 1 x m ,2|m 3|2由直线I与圆相切，可得1，解得m 3 .5 ,V1 ;可得直线I的方程为y 丄乂 3 i.5或y x 3 5 ；2 2当直线I与双曲线和圆都相切，设直线方程为y kx t,|t 3|可得E “由双曲线方程和直线方程联立，可得12 2 24k x 8ktx 4t 42 2可得 64k t 161t21 4k2化为1 t2 4k2,由解得k暑即直线I的方程为y丄13 x6综上可得直线I共有8条，分别为3,5 或 y13x6【点睛】本题考查直线和双曲线、直线和圆的位置关系，考查化简运算能力、方程思想，属于中档题.18 已知椭圆:271 a b 0的右焦点为F 1,0 , M点的坐标为 0,b ,b2O为坐标原点,OMF是等腰直角三角形(1)求椭圆的方程;3第17页共16页(2)经过点C 0,2作直线AB交椭圆 于A, B两点，求 AOB面积的最大值;(3) 是否存在直线|交椭圆于P,Q两点，使点F为 PQM的垂心(垂心：三角形三边高线的交点)?若存在，求出直线 I的方程；若不存在，请说明理由【答案】(1)y2 1 ; (2)2 ； (3) y x2【解析】(1)OMF是等腰直角三角形，可得b 1,a-,2b .2，从而可得椭圆方程;(2)设过点C 0,2的直线AB的方程为y kxAB的横坐标分别为Xa，Xb ,求出Xa Xb的最大值，即可求得 AOB面积 1 22Xa XbXaXb的最大值;(3)假设存在直线I交椭圆于P,Q两点，且使点F为PQM的垂心，设直线|的方程umrm，代入椭圆方程，利用韦达定理结合MPuuuFQ 0,即可求得结论.【详解】解：(1)OMF是等腰直角三角形，可得b 1,a,2b ,2 ,故椭圆方程为(2)设过点C 0,2的直线AB的方程为y kx 2 ,代B的横坐标分别为xA, xB ,将线ab的方程为ykx2代入椭圆方程,消元可得(1+2k2)x28kx6 0,216k240 ,XaXb8k1 2k2 ,XaXb62 ，1 2kXaXb8k1 2k261 2k216k2 24口，2k2令k2XaXb16t24(1 2t)212，则0,XaXbSuh2 (当且仅当u 2时取等号)又AOB面积丄2XaXb AOB面积的最大值为2 ;2(3)因为XaXb假设存在直线I交椭圆于P,Q两点，且使点Xi，yi ,Q x2,y2，M(0,1),F(1,0)，所以 kpQ 1 .于是设直线l的方程为y xm，代入椭圆方程,PQM的垂心,消元可得3x2 4mx 2m2，得 m23，且 x-i4m2 m2uuur uuu由题意应有MP FQ 0,所以Xi X2 1 y2 yi 1 0,2所以 2X|X2 x1 x2 (m 1) m m 0.2m224m,八2整理得2(m 1) m m 0.3 34解得m 或m 1.3经检验，当m 1时，PQM不存在，故舍去.3 4二当m时，所求直线I存在，且直线l的方程y x3 3【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题.