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2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)2013.3数学I试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1 本试卷共4页，均为非选择题(第 1题第20题，共20题)。本卷满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定地方。3作答试题，必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位 置作答一律无效。4 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上.1 已知全集 U 1,2,3,4,5,6 A1,3,5?, B1,2,3,51，则 g (A“ B)二 2亠ai 1k 3While I : 20 T I k I 2End WhilePrint T2若实数a满足2i，其中i是虚数单位，则1 -i3.已知 m 为实数，直线 h : mx y 3 = 0 , l2 ：(3m -2)x my 2 = 0 ,则“ m =1”是“ h l2 ”的条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个天空)4根据右图的伪代码，输出的结果T为 5.已知l , m是两条不同的直线,:-,:是两个不同的平面，有下列四个命题:若丨二，且_ 1 ,贝U l _ ：若l _ 一：，且/ ，贝U l _；若 l _ ，且 31 】，则 l / ：；若:-n 二 m，且 l / m，则 l / ： 则所有正确命题的序号是6正四面体的四个面上分别写有数字0, 1, 2, 3,把两个这样的四面体抛在桌面上，则露在外面的6个数字恰好是2, 0, 1, 3, 0, 3的概率为.17已知 cos(750 :) ，则 cos(3C -2)的值为 3片片0 呻呻呻 勺&已知向量 a , b的夹角为45 ,且a =1 , 2ab = 710，贝U b =S 2n +19设Sn , Tn分别是等差数列a,IbJ的前n项和，已知 n, N*Tn 4n - 2则 a10.a11=4+08b6+bi510已知F1 , F2是双曲线的两个焦点，以线段Fj F2为边作正.:MRF2，若边MR的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为X11.在平面直角坐标系 xOy中，A(1,0)，函数y=e的图像与y轴的交点为B，P为函数y二ex图像上的任意一点，则OpAB的最小值k12若对于给定的正实数 k,函数f(x)的图像上总存在点 C，使得以C为圆心，1为x半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为2,则k的取值范围是.13 .已知函数 f (x) xx 2 -3,则 f(-5f (-5)=x+1 x + 2 x + 3 x + 422.14设函数f (x) =ln x的定义域为 M , ：，且M 0 ,对于任意a , b , c (M：),若a , b , c是直角三角形的三条边长，且f(a), f (b), f (c)也能成为三角形的三条边长，那么 M的最小值为.、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明, 请把答案写在答题纸的指定区域内.证明过程或演算步骤,15.(本小题满分14分)在 ABC中，角A , B , C的对边分别是a ,(1 )若 BA.BC =3 , b = -、3，求 a c的值；2c,且 A ,B , C成等差数列.(2)求2sin AsinC的取值范围.16.(本小题满分14分)如图，在三棱柱 ARG - ABC中，已知E ,F , G分别为棱AB , AC , AO的中点,ACB =900 , AF _ 平面 ABCCH _ BG , H为垂足.求证：(1) AE 平面 GBC ；C1Gi叶VC H* ”4 一 VY(2) BG _ 平面 ACH17. （本小题满分14分）已知实数a , b , c R，函数f （x） =ax3 - bx2 ex满足f （1） = 0 ,设f （x）的导函数 为 f （x），满足 f （0） f （1） .0 .c（1）求一的取值范围；a（2） 设a为常数，且a . 0，已知函数f （x）的两个极值点为 x1， x2， A（x1, f （x1），2 aaB（X2, f（X2），求证：直线AB的斜率k，-.9618. （本小题满分16分）某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为 O，半径为R （米）的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托EA, EB , EC , ED所在圆的圆心都是 O、半径都是 R （米）、圆弧的圆心角都是 二（弧度）；灯杆EF垂直于地面，杆顶E到地面的距离为h （米）,且h R ;灯脚FA , FB1, FG , FD1是正四棱锥F ABGU的四条侧棱，正方形 AB1C1D1的外接圆半径为 R （米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为 二（弧度）.已知灯杆、 灯脚的造价都是每米 a（元），灯托造价是每米 a（元）,3其中R, h , a都为常数.设该灯架的总造价为y （元）.（1 ）求y关于二的函数关系式；AB1（2 ）当二取何值时，y取得最小值？19. （本小题满分16分）2已知椭圆E : y1的左、右顶点分别为A , B，圆x2 y4上有一动点P , P 4在x轴的上方，C(1,0)，直线PA交椭圆E于点D，连结DC , PB .(1) 若.ADC =90，求 ADC 的面积 S ；(2) 设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1 = k2，求的取值范围.20. (本小题满分16分)前n项的和为Sn，对于任意 正整数 m , n ,设数列订鳥的各项均为正数，其Sm n _ 2a2m(1 S2n) -1 恒成立.(1 )若a1 =1，求还,a3 , a4及数列的通项公式;(2)若aa2(a1 a21)，求证：数列ian?成等比数列.2012-2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)P（第21-A题）已知矩阵A =a|tc 0的一个特征值为 r =-1，其对应的一个特征向量为数学II （附加题）21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D四小题，请选定其中两题 ，并在相应的 答题区域 内作答，若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A （选修4 1 几何证明选讲）（本小题满分10分）如图，已知CB是O O的一条弦，A是O O上任意一点，过点A作O O的切线交直线CB于点P , D为O O上一点，且 ABD=/ABP . 求证：AB2 =BP BD .B .（选修42：矩阵与变换）（本小题满分10分）C.（选修4 4:坐标系与参数方程）（本小题满分10分）I x = 2 _t 、, 已知直线I的参数方程！、一 （t为参数），圆C的极坐标方程：“ 2sin v - 0 .jy =1 +J3t（1） 将直线I的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）在圆C上求一点P，使得点P到直线I的距离最小.D.（选修45:不等式选讲）（本小题满分10分）已知a , b , c都是正数，且a 2b 3 6，求. a V . 2b V . 3c 1的最大值.必做题第22、23题海小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内22. （本小题满分10分）如图，圆锥的高P0 =4 ,底面半径0B = 2 , D为PO的中点，E为母线PB的中点,F为底面圆周上一点，满足 EF _ DE .(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值;(2)求二面角 0 DF -E的正弦值.P23. (本小题满分10分)(1) 山水城市镇江有“三山”一一金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求的分布列和数学期望；(2) 某城市有n ( n为奇数，n _3)个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5 ,且该游客是否游览这 n个景点相互独立，用表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点 数差的绝对值，求的分布列和数学期望.答案:；豐篇严是平行四边形，5分面GBC. GMu面GBC. ：人E面GBC7 分3分4分5分6分7分8分右：村一舛耳C| - ABC中 G.F分别为4GMC中点，4G = fc且4Gfc四边形AFCG为平行四边形 AF CG分 丄平面的c,CG丄平面MC.ACu 平面PC, . CG 丄/C.“1 分 CD 丄CCG,C8u平面GC8, CGfCB = C ,NC丄平血ecg ,11分.又 BG u 平面BCG , AC1BG.12 分CZZ 丄 CG且 ACcCH = C, AC,CH u 平面 ACH、奴 BG 丄平面/1CH 14 分17解：/(l) = a + 6 + c = 0,b = -(a + c)】分 fx) = 3ax2 + 2bx + c/X0) = c , /f(l) = 3a + 2Z + c.Ac(3a + 2Z + c) = c(a-c) = ac-c2 0 oh0,ch0 .-()2 o,a a/0 x + c = 02b. _ cT+X2寿，厂矿f(x2) - /(%,) _ (唱 + bx； + cx) - (ax, - bx； + crjk= % f =士-旺s a(x： + “I + x：) + b(x2 + X|) + c刊Q+讦-J + bE+xJ + c岛二数学符案第2页（共10贝）网亦厂詡+-务*诰煜-务七浑（耳+知令2则= 虫（0，1）.则 k = -（】+ O2 + 3/=-（ -r1 +/-1）,14分D18解：（1）延长EF与地面交于0由题意：勺FO严“且F产孟 f、从而吩-磊，代爲， f畤侖+篇）_O1（注：每写对一个部件造价得2分）、40 4-cosO“2（亍飞矿）+以40 4-cos0 设/如亍盂厂4sin2 9 + 3-12cos 令广二30Q-2cos0）（7 + 2cos&） 一 12分13分11分3 sin2 0“亍当处（O申时,/0：吨昴时,小分 设处佩冷），其中tan恥*1 %” ”分 ,玉（0冷，气时，曲小*3212分15分16分答：当0峙时，灯架造价取得械小低心学桃笫3呱（共贝）19.解：设 Dy). V ZADC = 9(T , A AD2 + DC2 = AC2 ky则(X + 2)2+F+(x1)2*2=9D0即 x2 +y2 +X-2 = O. 点D在椭圆E上，令+ b ；联立，消去y,得 3x2 + 4x-4 = 0,2* -2 x x = 3代入椭圆方程.得丁二年一 4分A A ADC 的面积 S = |x3x = /2 . 6(2)设P(x0,y0),直线M程为X。+ 2(x + 2),代入椭圆方程令+八】，即 F + 4y2 -4 = 0 t 得,+4x (x + 2)2 -4 = 0. (勺+2)/ x02 + y02 = 4 , x2 +4x-_ (x+ 2-4 = 0 + 2將理得(10-3x0)x2 + (32 -16x0)x + 24 - 20心=0 (注：消去X.可得方程(x02 + 4x0 + 4 + 4y02)y2 -4(x0 + 2)yQ9 也得 8 分) 此方程有-根为-2,设*,川则护幣芦10分代M线审方程，得心冷4必则何沽,他诒直I丁圧気10-3x012分血澈学符农tft4 UI (HI09X) 14 分16分 e Jb- j k、Xq 211 2214禺4儿4 Xq_24Xo-2 八13x0-2222V -2x0 .fll=l,A02=2 则 =4x2 = 2 小(诊 3, “wNJ5 J 坷“也适合上式陽=2门(weN*).谶列他是等比数列.16分朋神枠第汰陳师数学II（附加题）2IA.证明：打8相切丁点八肋为3的弦，则例=厶在00中 ZACB = DB, DB = mAB. 乂在ZiDB/l 和5ABP 中 ZDBA = BP：厶 DBAsABP、岂二型，即 AB2BPBD.BP AB2分5分8分10分21B.解：由題意的3分5分-1 + 4 = 1,Ja = 2,c = 1|c = 1.4的特征多项式为/(2) = (A-l)A-2 = A2-A-2=0.则入以=2当入=2,特征方稈二:鳥 属于特征值石=2的一个轩征向掀为冬彳7分10分 *2* .才0 =才(-2 +3 ) = (-2)x(-l)5 ；21C解：（1）宜线/的晋通方程为尸-5 + 1 + 2的:圆C的肾通方程为：? + / + 2 = 0.在圆C上任取-点p（8如+sin砒（0打0,2）,卩到直教的距助:d = cos tsin 0 2 - 2 巧 | 12 sin（0 + 彳） 2 - 2巧 | 2高二数学楸第7贾（共io臾）2,0 *：心如.心心耐“吋“心丫W (】 】*】 w(A7TT,亠,Ai.匕寺且仅当故所求式没平(fl! DEF法向ft为”；=(岭4启八- 旦、同艸可得T ift! DEF的个法向W J g B(h亍八一 |V2.设：何用O-QF-E的平而角为0，则COS/j|=：l|p|l &79分10分22. M：(1)以 2A + 1. ?可能取值为：1, 3 5. 2* + 1P = l)= ($ X(】_护 +斶(捫 x(l-l)* =2x(捫 :陀=3)= g(l)*-x(i- lya+g,“ %2 x y，ct!,；pe=2*+1)=ci(|) * a-护 “+琛;(护“ x(i-l)-=2x (护u , A =(2Ar + l-0)x2x(1.|(l)24-,+(2it + l-l)-|)x2xC；4.1(i):IH+(2& + 1-2)-2农2*久(护“+.+(22-灯小Cwg 尸“= 2x(护“(2* + 1煜“*2 + (2l)a“ + . +(2* + i煜 jT0xG“ + 1xC；“+2xC；“+.+心J命散学舀案M9 9( (M 10()=2 x(2k + l)xC：； + 2k xC；：t,十(2 1)xC：；： + + (11)x7 = 2x(l)w*(2A + l)xC；：+C；f,+- + C；J-(2A + l)xC；4+CjA+- + Cii，D-8 分= 2x(”“x(2jt + i)x(c；+c；： + +U)-(U+G+c) = 2x(l)M*x(2Jt4.1)xCi.答：的数学期望砖为為占.乙10分岛三数学答案第10页（共10页）
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