必修2平行垂直地判定和性质

word平行、垂直的判定和性质平行1直线与平面平行的判定(1)直线与平面平行的定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，我们就说这条直线与这个平面平行(2)直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面的一条直线平行，如此该直线与此平面平行符号表示为：注意：这个定理是证明直线与平面平行最常用的一个定理，也就是说欲证明一条直线与一个平面平行，一是说明这条直线不在这个平面，二是要证明平面有一条直线与直线平行2两个平面平行的判定(1)两个平面平行的定义：两个平面没有公共点，如此两个平面平行(2)平面与平面的平行的判定定理：一个平面的两条相交直线与另一个平面平行，如此这两个平面平行符号表示为：注意：这个定理的另外一种表达方式为“如果一个平面有两条相交直线和另一个平面的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行(3)平行于同一平面的两个平面互相平行即3直线与平面平行的性质(1) 直线与平面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，如此过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号表示为：注意：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面的无数条直线平行，但不能误解为“如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线就和平面的任意一条直线平行(2)直线与平面平行的性质：过平面一点的直线与该平面平行的一条直线平行，如此这条直线在这个平面符号表示为：假如，点，且，如此4平面与平面平行的性质(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面的任意直线均平行与另一个平面此结论可以作为定理用，可用来判定线面平行(2)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等垂直1直线与平面垂直的判定(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂直，其中直线叫作平面的垂线，平面叫作直线的垂面注意：定义中的“任意一条直线和“所有直线是同义语，不能改成“无穷多条直线如果或，那么直线l不可能与平面的任意一条直线都垂直由此可知，当时，直线l和一定相交，它们唯一的交点叫做垂足(2)直线和平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直与这个平面(3)关于垂直的存在唯一性命题1：过一点有且只有一条直线和平面垂直命题2：过一点有且只有一个平面和直线垂直2平面与平面垂直的判定(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，如此称这两个平面互相垂直(2)两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直符号表示为：3直线与平面垂直的性质如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行符号表示： 作用：可作线线平行的判定定理4平面与平面垂直的性质(1)两个平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面符号表示为：(2)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面(3)三个两两垂直的平面的交线两两垂直(4)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面空间几何定理公理总结：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4 同平行于一条直线的两条直线互相平行。定理:假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向一样，如此这两个角相等.推论:假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行，如此这两组直线所成的锐角(或直角)相等.1.线面平行的判定定理：线线平行线面平行如果不在一个平面的一条直线和平面的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：2线面平行的性质定理：线面平行线线平行如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：3.两个平面平行的判定定理：线面平行面面平行如果一个平面有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式：(4).推论：如果一个平面有两条相交直线分别平行于另一个平面的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。模式：(5).两个平面平行的性质面面平行线面平行、线线平行1如果两个平面平行，那么其中一个平面的直线平行于另一个平面；2如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。4垂直关系(1)直线与平面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。推理模式：(2)直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。推理模式：(3)两平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。推理模式：(4)两平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直假如两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。推理模式：典型例题剖析例1如下说确的是A假如直线a平行于面的无数条直线，如此 B假如直线a在平面外，如此C假如直线a/b，直线，如此 D假如直线a/b，直线，如此直线a平行于平面的无数条直线例2M、N、P为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，如此如下命题中，不正确的答案是AB CD例3E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G求证：EH/FG.例4如下列图，P为所在平面外一点，分别是的重心求证：平面/平面ABC例5平面/平面，直线AB与CD交于S，且AS=8，BS=9，CD=34，求CS的长例6P是外的一点，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PB=2，PC=3，如此的面积为AB CD例7如下列图，在正方体中，E是的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：平面例8. 1.直线和平面，如此如下命题正确的答案是 ( )2与正方体各面都相切的球，它的外表积与正方体的外表积之比为 A B C D3.设表示平面，表示直线，给定如下四个命题：；;.其中正确命题的个数有( ) 例9.如下列图, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, 底面ABCD, E为PC的中点, PAADAB1. 1证明: ;2证明: ;3求三棱锥BPDC的体积V. 例10.：正方体，E为棱的中点() 求证：；() 求证：平面；求三棱锥的体积B1A1C1BCAMN例11.三棱柱中，侧棱与底面垂直， 分别是，的中点求证：平面； 求证：平面；求三棱锥的体积在线测试1.如下命题正确的答案是 2.如下命题错误的答案是 A.平面和平面相交，它们只有有限个公共点B.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面C.经过两条相交直线，有且只有一个平面D.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合3如下命题中正确的个数是 (1)假如直线上有无数个点不在平面，如此/(2)假如直线与平面平行，如此与平面任一条直线都平行(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)假如/，如此与平面的任一条直线都没有公共点A0 B1 C2 D34设是两条直线，是两个平面，如此能得到的一个条件是( )A BC D5是两条不同直线，是三个不同平面，如下命题中正确的答案是 A BC D6两条直线，两个平面，给出下面四个命题：其中正确命题的序号是 A B C D7.如下命题中正确的答案是( )如果a,b是两条直线，且ab，那么a平行于经过b的任何平面 如果直线a和平面满足a，那么a与的任何直线平行 如果直线a,b和平面满足a，b那么ab 如果直线a,b和平面满足ab，a，b，那么bA. B. C. D.8. 直线a，b异面直线， a和平面平行，如此b和平面的位置关系是 AbBbCb与相交D以上都有可能与垂直，又垂直于平面，如此与的位置关系是 A. B. C. D.或10如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是一个正方形，PD垂直于ABCD，如此这个四棱锥的五个面中，互相垂直的平面共有 A.3对B.4对 C.5对D.6对11.垂直于同一条直线的两条直线一定 ；12直线是异面直线，直线分别与都相交，如此直线的位置关系A.可能是平行直线 B.一定是异面直线 C.可能是相交直线 D.平行、相交、异面直线都有可能13两条直线，两个平面，给出下面四个命题：其中正确命题的序号是 A B C D14. ，是两条不同直线， ，是两个不同平面，如此如下命题正确的答案是 A.假如，垂直于同一平面，如此与平行 B.假如，平行于同一平面，如此与平行 C.假如，不平行，如此在不存在与平行的直线 D.假如，不平行，如此与不可能垂直于同一平面15. 用、表示三条不同的直线，表示平面，给出如下命题：假如，如此；假如，如此；假如，如此；假如，如此.正确的答案是 A. B. C. D.16直线、与平面、，如下命题正确的答案是 A且，如此 B且，如此C且，如此 D且，如此 17是直线，是平面，如下命题中：假如垂直于两条直线，如此；假如平行于，如此可有无数条直线与平行；假如mn，nl如此ml； 假如，如此；正确的命题个数为 A1 B 2 C3 D418m、n是两条不同的直线,、是两个不同的平面,给出如下命题：假如,如此；假如,且,如此；假如,如此； 假如,且,如此其中正确命题的序号是( )A B C D19.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，如此能得出的是 A， B，C， D，20.如图，六棱锥的底面是正六边形，如此如下结论正确的答案是 A. B. C. 直线 D. 直线所成的角为4521.【2015高考】设，是两个不同的平面，是两条不同的直线，且， A假如，如此 B假如，如此C假如，如此 D假如，如此22l，m，n是三条不同的直线，是不同的平面，如此如下条件中能推出的是( )Al，m，且lmBl，m，n，且lm，lnCm，n，m/n，且lmDl，l/m，且m23下面四个命题: 分别在两个平面的两直线平行;假如两个平面平行,如此其中一个平面的任何一条直线必平行于另一个平面;如果一个平面的两条直线平行于另一个平面,如此这两个平面平行;如果一个平面的任何一条直线都平行于另一个平面,如此这两个平面平行.其中正确的命题是()A. B. C. D.24直线，直线，给出如下命题：；m；其中正确命题的序号是 A B C D25.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，如此如下结论中错误的答案是 AB平面C三棱锥的体积为定值 D的面积与的面积相等26.如下四个命题中，正确命题的个数是( )个 假如平面平面，直线平面，如此； 假如平面平面，且平面平面，如此；平面平面，且，点，假如直线，如此；直线为异面直线，且平面，平面，假如，如此. A B C D 27. 如图, 在直三棱柱中，,，点是的中点，1求证：；2求证：；28.如下列图,在直四棱柱中, ,点是棱上一点.1求证：面；2求证：；29如图，P是所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面PAC平面ABC30.如图：在四棱锥中，底面ABCD是菱形，平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且（I） 证明：平面AMN；（II） 求三棱锥N的体积；（III） 在线段PD上是否存在一点E，使得平面 ACE；假如存在，求出PE的长，假如不存在，说明理由。31.如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，且，点是的中点 1求证：；2平面第19题图32. 一个多面体的直观图斜二侧画法与三视图如下列图，分别为，的中点求证：平面；求证：平面；求三棱锥的体积 ABCDEFG33.如图，矩形中，为上的点，且。求证：；求证；求三棱锥的体积。34. 如下列图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2a，E为AB上一点，将B点沿线段EC折起至点P，连接PA、PC、PD，取PD的中点F，假如有AF平面PEC.1试确定E点位置；2假如异面直线PE、CD所成的角为60，并且PA的长度大于a，求证：平面PEC平面AECD.35. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，分别为，的中点I求证：平面；II求证：平面平面；III求三棱锥的体积36. 如图，在直三棱柱中，设的中点为，.求证：1； 2.ABCDEA1B1C137. 如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，I证明：平面平面；II假如， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.38. 如图2，四边形为矩形，平面，作如图3折叠，折痕.其中点、分别在线段、上，沿折叠后点在线段上的点记为，并且.1证明：平面；2求三棱锥的体积. 根底训练A组一、选择题1如下四个结论：两条直线都和同一个平面平行，如此这两条直线平行。两条直线没有公共点，如此这两条直线平行。两条直线都和第三条直线垂直，如此这两条直线平行。一条直线和一个平面无数条直线没有公共点，如此这条直线和这个平面平行。其中正确的个数为 A B C D2下面列举的图形一定是平面图形的是 A有一个角是直角的四边形 B有两个角是直角的四边形 C有三个角是直角的四边形 D有四个角是直角的四边形3垂直于同一条直线的两条直线一定 A平行 B相交 C异面 D以上都有可能4如右图所示，正三棱锥顶点在底面的射影是底面正三角形的中心中，分别是 的中点，为上任意一点，如此直线与所成的角的大小是A B C D随点的变化而变化。5互不重合的三个平面最多可以把空间分成 个局部 ABCD6把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为 A B C D二、填空题1 是两条异面直线，那么与的位置关系_。2 直线与平面所成角为，如此与所成角的取值围是 _ 3棱长为的正四面体有一点，由点向各面引垂线，垂线段长度分别为，如此的值为。4直二面角的棱上有一点，在平面各有一条射线，与成，如此。5如下命题中：1、平行于同一直线的两个平面平行；2、平行于同一平面的两个平面平行；3、垂直于同一直线的两直线平行；4、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有_。三、解答题1为空间四边形的边上的点，且求证：. 综合训练B组一、选择题1各顶点都在一个球面上的正四棱柱其底面是正方形，且侧棱垂直于底面高为，体积为，如此这个球的外表积是 2在四面体中，分别是的中点，假如，如此与所成的角的度数为3三个平面把空间分成局部时，它们的交线有条条条条或条4在长方体，底面是边长为的正方形，高为，如此点到截面的距离为( ) A BC D5直三棱柱中，各侧棱和底面的边长均为，点是上任意一点，连接，如此三棱锥的体积为 A B C D6如下说法不正确的答案是 A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B同一平面的两条垂线一定共面；C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面；D过一条直线有且只有一个平面与平面垂直.二、填空题1正方体各面所在的平面将空间分成_局部。翰林汇2空间四边形中，分别是的中点，如此与的位置关系是_；四边形是_形；当_时，四边形是菱形；当_时，四边形是矩形；当_时，四边形是正方形3四棱锥中，底面是边长为的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，如此二面角的平面角为_。翰林汇4三棱锥如此二面角的大小为_翰林汇5为边长为的正三角形所在平面外一点且，如此到的距离为_。翰林汇三、解答题1直线，且直线与都相交，求证：直线共面。2求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；3如图：是平行四边形平面外一点，分别是上的点，且=， 求证：平面提高训练C组一、选择题1设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出如下四个命题：假如，如此假如，如此假如，如此假如，如此 其中正确命题的序号是 ( )A和B和C和D和2假如长方体的三个面的对角线长分别是，如此长方体体对角线长为 A BC D3在三棱锥中,底面,如此点到平面的距离是( )A B C D4在正方体中，假如是的中点，如此直线垂直于 A B C D5三棱锥的高为，假如三个侧面两两垂直，如此为的 A心 B外心 C垂心 D重心6在四面体中，棱的长为，其余各棱长都为，如此二面角的余弦值为 A B C D7四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，如此异面直线与所成的角等于 A B C D二、填空题1点到平面的距离分别为和，如此线段的中点到平面的距离为_2从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_。3一条直线和一个平面所成的角为，如此此直线和平面不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是_4正四棱锥顶点在底面的射影是底面正方形的中心的体积为，底面对角线的长为，如此侧面与底面所成的二面角等于_。5在正三棱锥顶点在底面的射影是底面正三角形的中心中，,过作与分别交于和的截面，如此截面的周长的最小值是_三、解答题1正方体中，是的中点求证：平面平面2求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。中，是边长为的正三角形，平面平面，、分别为的中点。证明：；求二面角-的大小；求点到平面的距离。19 / 19