浙江省2018年中考数学总复习 第五章 基本图形(二)第23讲 直线与圆的位置关系讲解篇

第23讲直线与圆的位置关系1直线和圆的位置关系：考试内容考试要求直线和圆的位置图形(设r是O的半径，d是圆心O到直线l的距离)公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称a相交2dr无无2.圆的切线考试内容考试要求切线的判定(1)与圆有_公共点的直线是圆的切线(定义法).bc(2)到圆心的距离等于_的直线是圆的切线.(3)过半径外端点且 半径的直线是圆的切线切线的性质(1)切线与圆只有_公共点.(2)切线到圆心的距离等于圆的_.(3)切线垂直于经过切点的 切线长过圆外一点作圆的切线，这点和 之间的线段长叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点可以引圆的_条切线，它们的切线长_，这一点和圆心的连线_两条切线的夹角.3.三角形与圆考试内容考试要求确定圆的条件不在 直线的三个点确定一个圆b三角形的外心经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆， 的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做这个圆的内接三角形；外心到三角形 的距离相等ab三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫三角形的 ，内切圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫圆的外切三角形，内心到三角形 的距离相等拓展直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a，b是RtABC的两条直角边，c为斜边，则：直角三角形的外接圆半径R；直角三角形的内切圆半径r.考试内容考试要求基本思想分类讨论思想：圆是一种极为重要的几何图形，由于图形位置、形状及大小的不确定，经常出现多结论情况，解题时漏解出错时有发生，解决这类问题，一定要仔细分析，缜密思考，分类讨论，逐一解答(1)由于点在圆周上的位置的不确定而分类讨论；(2)由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论；(3)由于弦的位置不确定而分类讨论；(4)由于直线与圆的位置关系的不确定而分类讨论c基本方法判断一直线是否为圆的切线的方法：连半径，证垂直；作垂线，证半径1 (2016衢州)如图，AB是O的直径，C是O上的点，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，若A30，则sinE的值为()A. B. C. D.2(2015湖州)如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD2，tanOAB，则AB的长是()A4 B2 C8 D43 (2015嘉兴)如图，ABC中，AB5，BC3，AC4，以点C为圆心的圆与AB相切，则C的半径为()A2.3 B2.4 C2.5 D2.64 (2017杭州)如图，AT切O于点A，AB是O的直径若ABT40，则ATB_.【问题】(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的P的圆心P的坐标为(3，0)，将P沿x轴正方向平移，使P与y轴相切，则平移的距离为_(2)通过(1)的解答，你能联想直线与圆相切的哪些知识【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理直线与圆的位置关系，以及切线的判定和性质类型一直线与圆位置关系的判断(2017无锡模拟)如图，平面直角坐标系中，已知P(6，8)，M为OP中点，以P为圆心，6为半径作P，则下列判断正确的有_点O在P外；点M在P上；x轴与P相离；y轴与P相切【解后感悟】直线和圆的位置关系：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则直线l和O相交dr；直线l和O相切dr；直线l和O相离dr.1 (1)(2015张家界)如图，O30，C为OB上一点，且OC6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是()A相离 B相交 C相切 D以上三种情况均有可能(2)(2017镇江模拟)已知O的半径r3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：若d5，则m0；若d5，则m1；若1d5，则m3；若d1，则m2；若d1，则m4.其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D5类型二圆的切线性质的运用(2015铜仁)如图，已知三角形ABC的边AB是O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CEAB，交AB的延长线于点E.(1)求证：CB平分ACE；(2)若BE3，CE4，求O的半径【解后感悟】本题运用了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，连结切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法，正确的作出辅助线是解题关键2(1)(2015泸州)如图，PA、PB分别与O相切于A、B两点，若C65，则P的度数为()A65 B130 C50 D100(2)(2016随州)如图1，PT与O1相切于点T，PAB与O1相交于A、B两点，可证明PTAPBT，从而有PT2PAPB.请应用以上结论解决下列问题：如图2，PAB、PCD分别与O2相交于A、B、C、D四点，已知PA2，PB7，PC3，则CD.类型三圆的切线判定的运用(1)(2017沈阳模拟)如图，AB是O的直径，BC交O于点D，DEAC于点E，要使DE是O的切线，需添加的条件是_(不添加其他字母和线条)(2) (2017杭州市西湖区模拟)如图，ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC于E，交BC于D，DFAC于F.给出以下五个结论：BDDC；CFEF；A2FDC；DF是O的切线其中正确结论的序号是_【解后感悟】(1)解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论；(2)解答此题的关键是两个基本图形的公共部分(即点D，E和直径AB)的运用；在涉及切线问题时，常连结过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径3(2017黄石模拟)已知：如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作DEAC于点E.(1)请说明DE是O的切线；(2)若B30，AB8，求DE的长类型四三角形的内切圆问题(1)如图，圆D是ABC的内切圆，A40，则BDC的度数是_(2)在ABC中，已知C90，BC3，AC4，则它的内切圆半径是_【解后感悟】求证三角形内切圆问题时，常用到面积法：SABC(abc)r，其中r为ABC的内切圆半径，a，b，c为ABC的三条边的长度；已知直角三角形的三边长为a，b，c(其中c为斜边)，则其内切圆半径r；解三角形与圆相切问题时，常利用切线长定理及勾股定理等列方程(组)来求半径的长4(1)如图，在RtABC中，C90，B60，内切圆O与边AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，则DEF为()A55 B60 C75 D80(2)(2015滨州)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆半径的长为()A. B22 C2 D.2(3)(2015遵义)将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转30，得正方形AB1C1D1，B1C1交CD于点E，AB，则四边形AB1ED的内切圆半径为()A. B. C. D.类型五圆的综合性问题如图，已知AB是O的直径，BCAB，连结OC，弦ADOC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是O的切线；(2)若DE2BC，求ADOC的值【解后感悟】此题运用切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质解题注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用5 (1)(2017永新模拟)如图，以点P(2，0)为圆心，为半径作圆，点M(a，b)是P上的一点，则的最大值是_(2) (2017衢州)如图，在直角坐标系中，A的圆心A的坐标为(1，0)，半径为1，点P为直线yx3上的动点，过点P作A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_【探索研究题】(2015河池)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”如图，直线l：ykx4与x轴、y轴分别交于A、B，OAB30，点P在x轴上，P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得P成为整圆的点P的个数是()A6 B8 C10 D12【方法与对策】通过问题中信息，理解整圆的概念，构建半径与点P横坐标之间的关系，建模为二元一次方程整数解的问题这类定义型阅读理解题是中考热点题型【直线与圆的位置关系的陷阱】已知O的半径为2，直线l上有一点P满足PO2，则直线l与O的位置关系是()A相切 B相离 C相离或相切 D相切或相交参考答案第23讲直线与圆的位置关系【考点概要】2唯一半径垂直于一个半径半径切点两相等平分3.同一外接圆外心三个顶点 内切圆内心三边【考题体验】1A2.C3.B4.50【知识引擎】【解析】(1)当P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.平移的距离为1或5. (2)直线与圆的位置关系；切线的判定和性质【例题精析】例1例2 (1)证明：如图1，连结OB，AB是O的切线，OBAB，CEAB，OBCE，13，OBOC，12，23，CB平分ACE；(2)如图2，连结BD，CEAB，E90，BC5，CD是O的直径，DBC90，EDBC，DBCBEC，BC2CDCE，CD，OCCD，O的半径. 例3(1)D为BC中点(答案不唯一)； (2)例4(1)110； (2)1例5(1)证明：连结DO.ADOC，DAOCOB，ADOCOD.又OAOD，DAOADO，CODCOB.在COD和COB中，CODCOB(SAS)，CDOCBO90.又点D在O上，CD是O的切线(2)CODCOB.CDCB.DE2BC，ED2CD.ADOC，EDAECO.【变式拓展】1 (1)C(2)C2.(1)C(2)3.(1)连结OD，则ODOB，BODB.ABAC，BC.ODBC.ODAC.ODEDEC90.DE是O的切线(2)连结AD，AB是O的直径，ADB90.BDABcosB84.又ABAC，CDBD4，CB30.DECD2.4. (1)C(2)B(3)B 5(1)(2)2【热点题型】【分析与解】直线l：ykx4与x轴、y轴分别交于A、B，B(0，4)，OB4，在RtAOB中，OAB30，OAOB412，P与l相切，设切点为M，连结PM，则PMAB，PMPA，设P(x，0)，PA12x，P的半径PMPA6x，x为整数，PM为整数，x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，使得P成为整圆的点P个数是6.故选A.【错误警示】当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d2r，O与直线l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d2r，O与直线l相交，故直线l与O的位置关系是相切或相交故选D.11