最短路径专题 含问题详解

最短路径专题 含答案1. 某同学的茶杯是圆柱体，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从 处爬行到对面的中点 处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图解：如图1，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，如此 ， 分别位于如下列图的位置，连接 ，即是这条最短路线图问题：某正方形盒子，如图左边下方 处有一只蚂蚁，从 处爬行到侧棱 上的中点 点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图2. 如图，一圆柱体的底面周长为 ，高 为 ， 是上底面的直径一只昆虫从点 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 ，求昆虫爬行的最短路程3. 如图一只蚂蚁要从正方体的一个顶点 爬一个顶点 ，如果正方体棱是 ，求最短的路线长4. 如图，长方体的底面边长分别为 和 ，高为 ，假如一只蚂蚁从 点开始经过 个侧面爬行一圈到达 点，求蚂蚁爬行的最短路径长5. 如图，有一半径为 ，高为 的圆柱体，在棱 的 点上有一只蜘蛛，在棱 的 点上有一只苍蝇，蜘蛛沿圆柱爬到 点吃苍蝇，请你算出蜘蛛爬行的最短路线长 取 ；结果准确到 6. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点 处，一只蚊子在正方体的顶点 处，如下列图，假设蚊子不动，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的最短路线有几条?7. 如图，圆柱的高为 ，底面直径 ，在圆柱下底面的 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与 点相对的 点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米?8. 如图 ，是一个长方体盒子，长 ，宽 ，高 1一只蚂蚁从盒子下底面的点 沿盒子外表爬到点 ，求它所行走的最短路线的长2这个长方体盒子能容下的最长木棒的长度为多少?9. 如图， 中， 于点 ， 于点 ， 与 交于点 ，连接 1求证：；2假如 ，求 的长10. 如图，平行四边形 中，将平行四边形 沿过点 的直线 折叠，使点 落到 边上的点 处，折痕交 边于点 1求证：四边形 是菱形；2假如点 时直线 上的一个动点，请计算 的最小值11. ， 为 的外接圆， 为直径，点 在 上，过点 作 ，点 在 的延长线上，且 1求证： 与 相切；2假如 ，求线段 的长12. 抛物线 的函数解析式为 ，假如抛物线 经过点 参考公式：在平面直角坐标系中，假如 ，如此 ， 两点间的距离为 1求抛物线 的顶点坐标2实数 ，请证明 ，并说明 为何值时才会有 3假如将抛物线先向上平移 个单位，再向左平移 个单位后得到抛物线 ，设 ， 是 上的两个不同点，且满足：，请你用含 的表达式表示出 的面积 ，并求出 的最小值与 取最小值时一次函数 的函数解析式13. 如图，：四边形 中， 为 的中点，连接 ，1求证：四边形 是菱形；2假如 ，求四边形 的面积14. 如图，一个正方体木柜放在墙角处与墙面和地面均没有缝隙，有一只蚂蚁从柜角 处沿着木柜外表爬到柜角 处1请你在正方体木柜的外表展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；2当正方体木柜的棱长为 时，求蚂蚁爬过的最短路径的长15. 如图，四边形 为矩形， 为 边中点，连接 ，以 为直径的 交 于点 ，连接 1求证： 与 相切；2假如 ， 为 的中点，求 的长16. 圆锥的底面半径为 ，高 ，现在有一只蚂蚁从底边上一点 出发在侧面上爬行一周又回到 点，求蚂蚁爬行的最短距离17. ，点 是 斜边 上一动点不与 ， 重合，分别过 ， 向直线 作垂线，垂足分别为 ， 为斜边 的中点1如图 ，当点 与点 重合时， 与 的位置关系是， 与 的数量关系是；2如图 ，当点 在线段 上不与点 重合时，试判断 与 的数量关系，并给予证明；3如图 ，当点 在线段 或 的延长线上时，此时中的结论是否成立?请画出图形并给予证明18. 四边形 是平行四边形，以 为直径的 经过点 ，1如图，判断 与 的位置关系，并说明理由；2如图， 是 上一点，且点 在 的下方，假如 的半径为 ，求点 到 的距离19. 图，图为同一长方体房间的示意图，图为该长方体的外表展开图1蜘蛛在顶点 处；苍蝇在顶点 处时，试在图中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；苍蝇在顶点 处时，图中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板 爬行的最近路线 和往墙面 爬行的最近路线 ，试通过计算判断哪条路线更近；2在图中，半径为 的 与 相切，圆心 到边 的距离为 ，蜘蛛 在线段 上，苍蝇 在 的圆周上，线段 为蜘蛛爬行路线假如 与 相切，试求 的长度的围20. 如下列图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 与点 之间相距 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是多少?21. 如图，平行四边形 中， 是 的中点， 是边 上的动点， 的延长线与 的延长线交于点 1求证：四边形 是平行四边形；2当 时，四边形 是矩形；当 时，四边形 是菱形22. 藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的1如果树的周长为 ，绕一圈升高 ，如此它爬行路程是多少?2如果树的周长为 ，绕一圈爬行 ，如此爬行一圈升高多少 ?如果爬行 圈到达树顶，如此树干多高?23. 实践操作在矩形 中，现将纸片折叠，点 的对应点记为点 ，折痕为 点 ， 是折痕与矩形的边的交点，再将纸片复原1初步思考假如点 落在矩形 的边 上如图当点 与点 重合时，当点 与点 重合时，；当点 在 上，点 在 上时如图，求证：四边形 为菱形，并直接写出当 时菱形 的边长2深入探究假如点 落在矩形 的部如图，且点 ， 分别在 ， 边上，请直接写出 的最小值3拓展延伸假如点 与点 重合，点 在 上，射线 与射线 交于点 如图在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段 与线段 的长度相等?假如存在，请直接写出线段 的长度；假如不存在，请说明理由24. 如图，抛物线 与 轴相交于点 和点 点 在点 的左侧，与 轴交于点 ，且 ，点 是抛物线的顶点，直线 和 交于点 1求点 的坐标；2连接 ，求 的余切值；3设点 在线段 的延长线上，如果 和 相似，求点 的坐标25. 如图，抛物线经过原点 ，顶点为 ，且与直线 交于 ， 两点1求抛物线的解析式与点 的坐标；2求证： 是直角三角形；3假如点 为 轴上的一个动点，过点 作 轴与抛物线交于点 ，如此是否存在以 ， 为顶点的三角形与 相似?假如存在，请求出点 的坐标；假如不存在，请说明理由26. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上，连接 ，如此 ，试说明理由小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想方法将这些分散的线段相对集中他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段 ， 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法他的方法是将 绕着点 逆时针旋转 得到 ，再利用全等的知识解决了这个问题如图2参考小明同学思考问题的方法，解决如下问题：1如图3，四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上，假如 ， 都不是直角，如此当 与 满足 关系时，仍有 ；2如图4，在 中，点 ， 均在边 上，且 ，假如 ，求 的长27. 如图，在 中，在矩形 中，点 与点 重合， 与 重合，矩形 沿着 方向平移，且平移速度为每秒 个单位，当点 与点 重合时停止运动1 的长度是；2运动 秒， 与 重合；3设矩形 与 重叠局部的面积为 ，运动时间为 ，求出 与 之间的函数关系式，并直接写出 的取值围28. 如图1，对称轴为直线 的抛物线经过 、 两点，抛物线与 轴的另一交点为 .1求抛物线的解析式；2假如点 为第一象限抛物线上的一点，设四边形 的面积为 ，求 的最大值；3如图2，假如 是线段 上一动点，在 轴是否存在这样的点 ，使 为等腰三角形且 为直角三角形?假如存在，求出点 的坐标；假如不存在，请说明理由29. 如图，矩形 中，将矩形沿对角线 剪开，请解决以下问题：1将 绕点 顺时针旋转 得到 ，请在备用图中画出旋转后的 ，连接 ，并求线段 的长度；2在1的情况下，将 沿 向左平移的长度为 ，设平移后的图形与 重叠局部的面积为 ，求 与 的函数关系式，并直接写出 的取值围30. 如图甲，在 中，如果点 由点 出发沿 方向向点 匀速运动，同时点 由点 出发沿 方向向点 匀速运动，它们的速度均为 连接 ，设运动时间为 ，解答如下问题：1设 的面积为 ，当 为何值时， 取得最大值? 的最大值是多少?2如图乙，连接 ，将 沿 翻折，得到四边形 ，当四边形 为菱形时，求 的值；3当 为何值时， 是等腰三角形?31. 如图，抛物线与 轴交于 ， 两点，且 ，与 轴交于点 ，其中 ， 是方程 的两个根1求这条抛物线的解析式；2点 是线段 上的动点，过点 作 ，交 于点 ，连接 ，当 的面积最大时，求点 的坐标；3探究：假如点 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点 ，使 成为等腰三角形?假如存在，请直接写出所有符合条件的点 的坐标；假如不存在，请说明理由32. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴相交于点 ，点 与点 关于点 对称1填空：点 的坐标是；2过点 的直线 其中 与 轴相交于点 ，过点 作直线 平行于 轴， 是直线 上一点，且 ，求线段 的长用含 的式子表示，并判断点 是否在抛物线上，说明理由；3在2的条件下，假如点 关于直线 的对称点 恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点 的坐标33. ：如图，在 中，点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 ；点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为 ；连接 假如设运动的时间为 ，解答如下问题：1当 为何值时， ?2设 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式；3是否存在某一时刻，使线段 恰好把 的周长和面积同时平分?假如存在，求出此时的值；假如不存在，说明理由；4如图，连接 ，并把 沿 翻折，得到四边形 ，那么是否存在某一时刻，使四边形 为菱形?假如存在，求出此时菱形的边长；假如不存在，说明理由34. 如图，四边形 ， 均为正方形，1如图1，连接 ，试判断 和 的数量关系和位置关系并证明；2将正方形 绕点 顺时针旋转 角 ，如图2，连接 ， 相交于点 ，连接 ，当角 发生变化时， 的度数是否发生变化?假如不变化，求出 的度数；假如发生变化，请说明理由3在2的条件下，过点 作 交 的延长线于点 ，请直接写出线段 与 的数量关系：35. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ， 分别在 轴和 轴的正半轴上，顶点 的坐标为 ，翻折矩形 ，使点 与点 重合，得到折痕 设点 的对应点为 ，折痕 所在直线与 轴相交于点 ，经过点 ， 的抛物线为 1求点 的坐标用含 的式子表示；2假如点 的坐标为 ，求该抛物线的解析式3在2的条件下，设线段 的中点为 ，在线段 上方的抛物线上是否存在点 ，使 ?假如存在，直接写出 的坐标，假如不存在，说明理由36. 如图，在 中，点 ， 分别在 ， 上，且 ，1如图 1，当 时，图 1 中是否存在与 相等的线段?假如存在，请找出并加以证明假如不存在说明理由2如图 2，当 其中 时，假如 ，求 的长用含 ， 的式子表示37. 如图，顶点为 的抛物线经过点 ，且与 轴交于 ， 两点点 在点 的右侧1求抛物线的解析式；2假如抛物线上存在点 ，使得 ，求出点 的坐标；3点 在抛物线上，点 在 轴上，且 ，是否存在点 ，使得 与 相似?假如存在，直接写出点 的坐标；假如不存在，说明理由38. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1， 中，点 在 边上，垂足为 ，求证：小明经探究发现，过点 作 ，垂足为 ，得到 ，从而可证 如图 2，使问题得到解决1根据阅读材料回答： 与 全等的条件是填 、 、 、 “或 中的一个参考小明思考问题的方法，解答如下问题：2如图3， 中， 为 的中点， 为 的中点，点 在 的延长线上，且 ，假如 ，求 的长；3如图 4， 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 其中 ，求 的值用含 的式子表示39. 如图，二次函数 ， 为常数的图象经过点 ，点 ，顶点为点 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，交该二次函数图象于点 ，连接 1求该二次函数的解析式与点 的坐标；2假如将该二次函数图象向下平移 个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在 的部不包括 的边界，求 的取值围；3点 是直线 上的动点，假如点 ，点 ，点 所构成的三角形与 相似，请直接写出所有点 的坐标直接写出结果，不必写解答过程40. 在平面直角坐标系中， 为原点，四边形 是矩形，点 ， 的坐标分别为 ，点 是边 上的动点与端点 ， 不重合，过点 作直线 交边 于点 1如图1，求点 和点 的坐标用含 的式子表示；2如图2，假如矩形 关于直线 的对称图形为矩形 ，试探究矩形 与矩形 的重叠局部的面积是否发生变化?假如不变，求出重叠局部的面积；假如改变，请说明理由；3矩形 绕着它的对称中心旋转，如果重叠局部的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值41. 如图 1，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ，在菱形 的外部以 为边作等边三角形 点 是对角线 上一动点点 不与点 重合，将线段 绕点 顺时针方向旋转 得到线段 ，连接 1求 的长；2如图2，当点 在线段 上，且点 ， 三点在同一条直线上时，求证：；3连接 ，假如 的面积为 ，请直接写出 的周长温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答42. 如图，矩形纸片 中，折叠纸片使点 落在 上，落点为 点 从点 开始沿 移动，折痕所在直线 的位置也随之改变，当直线 经过点 时，点 停止移动，连接 设直线 与 相交于点 ，与 所在直线相交于点 ，点 的移动距离为 ，点 与点 的距离为 1求证：；2求 与 的函数关系式，并直接写出 的取值围43. 如图1， 中，线段 在射线 上，且 ，线段 沿射线 运动，开始时，点 与点 重合，点 到达点 时运动停止，过点 作 ，与射线 相交于点 ，过点 作 的垂线，与射线 相交于点 设 ，四边形 与 重叠局部的面积为 ， 关于 的函数图象如图 2 所示其中 ， 时，函数的解析式不同1填空： 的长是；2求 关于 的函数关系式，并写出 的取值围44. 如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 点，且 1求抛物线的解析式与顶点 的坐标；2判断 的形状，证明你的结论；3点 是 轴上的一个动点，当 的值最小时，求 的值45. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做友好三角形性质：如果两个三角形是友好三角形，那么这两个三角形的面积相等理解：如图 1，在 中， 是 边上的中线，那么 和 是“友好三角形，并且 1应用：如图2，在矩形 中，点 在 上，点 在 上， 与 交于点 i求证： 和 是“友好三角形；ii连接 ，假如 和 是“友好三角形，求四边形 的面积2探究：在 中，点 在线段 上，连接 ， 和 是“友好三角形，将 沿 所在直线翻折，得到 ，假如 与 重合局部的面积等于 面积的 ，请直接写出 的面积46. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 的顶点 是坐标原点，点 在第一象限，点 在第四象限，点 的坐标为 ，点 是线段 上的一个动点点 不与点 、 重合，过点 与 轴平行的直线 交边 或边 于点 ，交边 或边 于点 ，设点 横坐标为 ，线段 的长度为 时，直线 恰好经过点 1求点 和点 的坐标；2当 时，求 关于 的函数关系式；3当 时，请直接写出 的值；4直线 上有一点 ，当 ，且 的周长为 时，请直接写出满足条件的点 的坐标47. 如图，抛物线 与 轴的一个交点为 ，与 轴的交点为 ，其顶点为 ，对称轴为 1求抛物线的解析式；2点 为 轴上的一个动点，当 为等腰三角形时，求点 的坐标；3将 沿 轴向右平移 个单位长度 得到另一个三角形，将所得的三角形与 重叠局部的面积记为 ，用 的代数式表示 48. 在四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，将 绕点 按逆时针方向旋转得到 ，旋转角为 ，连接 ， 与 交于点 1如图1，假如四边形 是正方形 求证： 请直接写出 与 的位置关系2如图 2，假如四边形 是菱形，设 判断 与 的位置关系，说明理由，并求出 的值3如图 3，假如四边形 是平行四边形，连接 ，设 请直接写出 的值和 的值49. 如图，四边形 为一个矩形纸片，动点 自 点出发沿 方向运动至 点后停止 以直线 为轴翻折，点 落到点 的位置设 ， 与原纸片重叠局部的面积为 1当 为何值时，直线 过点 ?2当 为何值时，直线 过 的中点 ?3求出 与 的函数表达式50. 如图，以点 为圆心的圆，交 轴于 ， 两点 在 的左侧，交 轴于 ， 两点 在 的下方，将 绕点 旋转 ，得到 1求 ， 两点的坐标；2请在图中画出线段 ，并判断四边形 的形状不必证明，求出点 的坐标；3动直线 从与 重合的位置开始绕点 顺时针旋转，到与 重合时停止，设直线 与 交点为 ，点 为 的中点，过点 作 于 ，连接 ，请问在旋转过程中 的大小是否变化?假如不变，求出 的度数；假如变化，请说明理由51. 定义：当点 在射线 上时，把 的值叫做点 在射线 上的射影值；当点 不在射线 上时，把射线 上与点 最近点的射影值，叫做点 在射线 上的射影值例如：如图 ， 三个顶点均在格点上， 是 边上的高，如此点 和点 在射线 上的射影值均为 1在 中，点 在射线 上的射影值小于 时，如此 是锐角三角形；点 在射线 上的射影值等于 时，如此 是直角三角形；点 在射线 上的射影值大于 时，如此 是钝角三角形；其中真命题有 A B C D2：点 是射线 上一点，以 为圆心， 长为半径画圆，点 是 上任意一点如图 ，假如点 在射线 上的射影值为 ，求证：直线 是 的切线如图 ， 为线段 的中点，设点 在射线 上的射影值为 ，点 在射线 上的射影值为 ，直接写出 与 之间的函数关系式52. 如图，一条直线过点 ，且与抛物线 交于 ， 两点，其中点 的横坐标是 1求这条直线的函数关系式与点 的坐标；2在 轴上是否存在点 ，使得 是直角三角形?假如存在，求出点 的坐标；假如不存在，请说明理由；3过线段 上一点 ，作 轴，交抛物线于点 ，点 在第一象限，点 ，当点 的横坐标为何值时， 的长度最大?最大值是多少?53. ：如图， 是半圆 的直径，弦 ，动点 ， 分别在线段 ， 上，且 ， 的延长线与射线 相交于点 、与弦 相交于点 点 与点 ， 不重合，设 ， 的面积为 1求证：；2求 关于 的函数关系式，并写出它的自变量 的取值围；3当 是直角三角形时，求线段 的长54. 如图，抛物线 与 轴分别相交于点 ，与 轴交于点 ，顶点为点 1求抛物线的解析式；2动点 ， 从点 同时出发，都以每秒 个单位长度的速度分别在线段 ， 上向点 ， 方向运动，过点 作 轴的垂线交 于点 ，交抛物线于点 i当四边形 为矩形时，求点 的坐标；ii是否存在这样的点 ，使 为直角三角形?假如存在，求出点 的坐标；假如不存在，请说明理由55. 如图，在 中，动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，同时动点 从点 出发，在 边上以每秒 的速度向点 匀速运动，设运动时间为 秒，连接 1假如 ，求 的值；2假如 与 相似，求 的值；3当 为何值时，四边形 的面积最小?并求出最小值56. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形如图1，图2，图3中， 是 的中线， 于点 ，像 这样的三角形均为“中垂三角形设 ，1【特例探究】如图 ，当 ， 时，；如图 ，当 ， 时，；2【归纳证明】请你观察1中的计算结果，猜测 、 、 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 证明你的结论3【拓展证明】如图 4， 平行四边形 中， 、 分别是 、 的三等分点，且 ，连接 、 、 ，且 于 ， 与 相交点 ，求 的长57. 在某次海上军事学习期间，我军为确保 海域的安全，特派遣三艘军舰分别在 ， 处监控 海域，在雷达显示图上，军舰 在军舰 的正向 海里处，军舰 在军舰 的正北方向 海里处，三艘军舰上装载有一样的探测雷达，雷达的有效探测围是半径为 的圆形区域只考虑在海平面上的探测1假如三艘军舰要对 海域进展无盲点监控，如此雷达的有效探测半径 至少为多少海里?2现有一艘敌舰 从东部接近 海域，在某一时刻军舰 测得 位于北偏东 方向上，同时军舰 测得 位于南偏东 方向上，求此时敌舰 离 海域的最短距离为多少海里?3假如敌舰 沿最短距离的路线以 海里 小时的速度靠近 海域，我军军舰 沿北偏东 的方向行进拦截，问 军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰 ?58. 如图，在坐标系 中， ，过 点分别作 ， 垂直于 轴、 轴，垂足分别为 ， 两点动点 从 点出发，沿 轴以每秒 个单位长度的速度向右运动，运动时间为 秒1当 为何值时，；2当 为何值时，；3以点 为圆心， 的长为半径的 随点 的运动而变化，当 与 的边或边所在的直线相切时，求 的值59. 如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，抛物线的对称轴交 轴于点 ， ，1求抛物线的表达式；2在抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是以 为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出 点的坐标；如果不存在，请说明理由；3点 是线段 上的一个动点，过点 作 轴的垂线与抛物线相交于点 ，当点 运动到什么位置时，四边形 的面积最大?求出四边形 的最大面积与此时 点的坐标60. 如图1，在 中，扇形纸片 的顶点 与边 的中点重合， 交 于点 ， 经过点 ，且 1证明 是等腰三角形，并求出 的长；2将扇形纸片 绕点 逆时针旋转， 与边 分别交于点 ，如图2，当 的长是多少时， 与 相似?61. 如图，在每个小正方形的边长为 的网格中， 为小正方形边的中点， 为格点， 为 ， 的延长线的交点1 的长等于；2假如点 在线段 上，点 在线段 上，且满足 ，请在如下列图的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 ，并简要说明点 ， 的位置是如何找到的不要求证明62. 如图，二次函数 的图象与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 1求该函数的表达式；2点 为该函数在第一象限的图象上一点，过点 作 ，垂足为点 ，连接 求线段 的最大值；假如以点 ， 为顶点的三角形与 相似，求点 的坐标63. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴相交于 ， 两点点 的坐标是 ，连接 ，1求过 ， 三点的抛物线的解析式，并判断 的形状；2动点 从点 出发，沿 以每秒 个单位长度的速度向点 运动；同时，动点 从点 出发，沿 以每秒 个单位长度的速度向点 运动规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为 秒，当 为何值时，?3在抛物线的对称轴上，是否存在点 ，使以 ， 为顶点的三角形是等腰三角形?假如存在，求出点 的坐标；假如不存在，请说明理由64. 将矩形纸片 放在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 在 轴上，点 在 轴上，点 的坐标是 ，点 是边 上的一个动点，将 沿 折叠，使点 落在点 处1如图 ，当点 恰好落在 上时，求点 的坐标2如图 ，当点 是 中点时，直线 交 于 点a求证：；b求点 的坐标65. 在平面直角坐标系 中，给出如下定义：对于 与 外一点 ， 是 上两点，当 最大时，称 为点 关于 的“视角1如图， 的半径为 ，点 ，画出点 关于 的“视角；假如点 在直线 上，求点 关于 的最大“视角的度数；在第一象限有一点 ，点 关于 的“视角为 ，求点 的坐标；假如点 在直线 上，且点 关于 的“视角大于 ，求点 的横坐标 的取值围2 的圆心在 轴上，半径为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，假如线段 上所有的点关于 的“视角都小于 ，直接写出点 的横坐标 的取值围66. 抛物线的解析式为 ， 是抛物线上的一个动点， 是抛物线对称轴上的一点1求抛物线的顶点与与 轴交点的坐标；2 是过点 且平行于 轴的直线， 与抛物线的对称轴的交点为 ，垂足为点 ，连接 ，当 是等边三角形时，求 点的坐标；求证：67. 如图，在矩形 中，点 是射线 上的一个动点，把 沿 折叠，点 的对应点为 1假如点 刚好落在线段 的垂直平分线上时，求线段 的长；2假如点 刚好落在线段 的垂直平分线上时，求线段 的长；3当射线 交线段 于点 时，请直接写出 的最大值68. 背景某班在一次数学实践活动中，对矩形纸片进展折叠实践操作，并将其产生的数学问题进展相关探究操作如图，在矩形 中，点 是 边上一点，现将 沿 对折，得 ，显然点 位置随 点位置变化而发生改变问题试求如下几种情况下：点 到直线 的距离1；2 与 重合；3 是 的中点69. 如图，抛物线 经过原点 ，且与直线 交于 ， 两点1求抛物线的顶点 的坐标与点 ， 的坐标；2求证：；3在直线 上方的抛物线上是否存在点 ，使 的面积最大?假如存在，请求出点 的坐标；假如不存在，请说明理由；4假如点 为 轴上的一个动点，过点 作 轴与抛物线交于点 ，如此是否存在以 ， 为顶点的三角形与 相似?假如存在，请求出点 的坐标；假如不存在，请说明理由70. 如图，抛物线 经过一点 ，其对称轴为直线 ， 为 轴上一点，直线 与抛物线交于另一点 1求抛物线的函数表达式；2试在线段 下方的抛物线上求一点 ，使得 的面积最大，并求出最大面积；3在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 是直角三角形?如果存在，求出点 的坐标；如果不存在，请说明理由71. 如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点 ，点 是 上的一个动点，连接 ，交 于点 1如图，当 时，求 的值；2如图当 平分 时，求证：；3如图，当点 是 的中点时，过点 作 于点 ，求证：72. 如图，抛物线 与 轴交于 和 两点，与 轴交于点 ，对称轴与 轴交于点 ，点 为顶点，连接 ，1求证 是直角三角形；2点 为线段 上一点，假如 ，求点 的坐标；3点 为抛物线上一点，作 ，交直线 于点 ，假如 ，请直接写出所有符合条件的点 的坐标73. 如图，在四边形 中，点 为边 上一点，动点 从 点出发，以 的速度沿 运动至 点停止，设运动时间为 秒1求证四边形 是平行四边形；2当 为等腰三角形时，求 的值；3当 时，把 沿直线 翻折，得到 ，求 与平行四边形 重叠局部的面积74. 如图， 中，过点 作射线 ，点 是线段 上一动点不与 ， 重合，连接 ，过点 作 ，交射线 于点 1如图，当 时，如此线段 与线段 的数量关系为；2如图，当 时，猜测线段 与线段 的数量关系，并说明理由；3当 时，直接写出线段 与线段 的数量关系用含 的三角函数表示75. 给出如下定义：假如一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，如此称该四边形为勾股四边形1以下四边形中，是勾股四边形的为填写序号即可矩形；有一个角为直角的任意凸四边形；有一个角为 的菱形2如图，将 绕顶点 按顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，求证： 是等边三角形；求证：四边形 是勾股四边形76. 直线 ，抛物线 1当 ， 时，抛物线 的顶点在直线 上，求 的值；2假如把直线 向上平移 个单位长度得到直线 ，如此无论非零实数 取何值，直线 与抛物线 都只有一个交点1求此抛物线的解析式；2假如 是此抛物线上任一点，过点 作 轴且与直线 交于点 ， 为原点求证：77. 如图，直线 与抛物线 相交于 和 ，点 是线段 上异于 ， 的动点，过点 作 轴于点 ，交抛物线于点 1求抛物线的解析式；2是否存在这样的 点，使线段 的长有最大值，假如存在，求出这个最大值；假如不存在，请说明理由；3求 为直角三角形时点 的坐标78. 如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过 、 两点，与 轴交于另一个点 ，对称轴与直线 交于点 ，抛物线顶点为 1求抛物线的解析式；2在第三象限， 为抛物线上一点，以 、 、 为顶点的三角形面积为 ，求点 的坐标；3点 从点 出发，沿对称轴向下以每秒 个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为 秒，当 为何值时，以 、 、 为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的 值79. 如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，点 坐标为 ，连接 ，1请直接写出二次函数 的表达式；2判断 的形状，并说明理由；3假如点 在 轴上运动，当以点 ， 为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点 的坐标；4假如点 在线段 上运动不与点 ， 重合，过点 作 ，交 于点 ，当 面积最大时，求此时点 的坐标80. ： 在平面直角坐标系中的位置如图 所示， 点坐标为 ， 点坐标为 ，点 为 的中点，点 为线段 上一动点，连接 ，经过 ， 三点的抛物线的解析式为 1求抛物线的解析式；2如图 ，将 以 为轴翻折，点 的对应点为点 ，当点 恰好落在抛物线的对称轴上时，求 点坐标；3如图 ，当点 在线段 上运动时，抛物线 的对称轴上是否存在点 ，使得以 ， 为顶点的四边形为平行四边形?假如存在，请直接写出点 的坐标；假如不存在，请说明理由81. 1如图，在 中，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，求 的大小；2如图，在 中，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，以 为圆心， 长为半径作圆猜测：直线 与 的位置关系，并证明你的结论；连接 ，求线段 的长度；3如图，在 中，将 绕点 逆时针旋转 角度 得到 ，连接 和 ，以 为圆心， 长为半径作圆问：角 与角 满足什么条件时，直线 与 相切，请说明理由，并求此条件下线段 的长度结果用角 或角 的三角函数与字母 ， 所组成的式子表示82. 如图 1，二次函数 的图象与一次函数 的图象交于 ， 两点，点 的坐标为 ，点 在第一象限，点 是二次函数图象的顶点，点 是一次函数 的图象与 轴的交点，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，且 1求直线 和直线 的解析式；2点 是线段 上一点，点 是线段 上一点， 轴，射线 与抛物线交于点 ，过点 作 轴于点 ， 于点 当 与 的乘积最大时，在线段 上找一点 不与点 ，点 重合，使 的值最小，求点 的坐标和 的最小值；3如图 2，直线 上有一点 ，将二次函数 沿直线 平移，平移的距离是 ，平移后抛物线上点 ，点 的对应点分别为点 ，点 ；当 是直角三角形时，求 的值83. 如下列图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过 、 、 三点，其顶点为 ，连接 ，点 是线段 上一个动点不与 、 重合，过点 作 轴的垂线，垂足点为 ，连接 1求抛物线的函数解析式，并写出顶点 的坐标；2如果 点的坐标为 ， 的面积为 ，求 与 之间的函数关系式，直接写出自变量 的取值围，并求出 的最大值；3在2的条件下，当 取到最大值时，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 ，把 沿直线 折叠，点 的对应点为点 ，求出 的坐标，并判断 是否在该抛物线上84. 定义：如图，点 、 把线段 分割成 、 和 ，假如以 、 、 为边的三角形是一个直角三角形，如此称点 、 是线段 的勾股分割点1点 、 是线段 的勾股分割点，假如 ，求 的长2如图，在菱形 中，点 、 分别在 、 上， 、 分别交 于点 、 求证： 、 是线段 的勾股分割点3如图，点 、 是线段 的勾股分割点， 、 分别是以 、 为斜边的等腰直角三角形，且点 与点 在 的同侧，假如 ，连接 ，如此 85. 抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 1求抛物线的解析式；2点 从点 出发，乙每秒 个单位长度的速度向点 运动，同时点 也从点 出发，以每秒 个单位长度的速度向点 运动，设点 的运动时间 秒 过点 作 轴的平行线，与 相交于点 ，当 为何值时， 的值最小，求出这个最小值并写出此时点 、 的坐标；在满足的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使 为直角三角形?假如存在，请直接写出点F的坐标；假如不存在，请说明理由86. 1探究发现：下面是一道例题与其解答过程，请补充完整：如图 1 在等边 部，有一点 ，假如 求证：证明：将 绕 点逆时针旋转 ，得到 ，连接 ，如此 为等边三角形所以 ，；因为 ，所以 所以 ，即 .2类比延伸：如图 2 在等腰三角形 中，部有一点 ，假如 ，试判断线段 、 、 之间的数量关系，并证明3联想拓展：如图 3在 中，点 在直线 上方，且 ，满足 ，请直接写出 的值87. ，如图1，在矩形 中，垂足是 点 是点 关于 的对称点，连接 、 1求 和 的长；2假如将 沿着射线 方向平移，设平移的距离为 平移距离指点 沿 方向所经过的线段长度，当点 分别平移到线段 、 上时，直接写出相应的 的值；3如图2将 绕点 顺时针旋转一个角 ，记旋转中的 为 ，在旋转过程中，设 所在的直线与直线 交于点 ，与直线 交于点 是否存在这样的 、 两点，使 为等腰三角形?假如存在，求出此时 的长；假如不存在，请说明理由88. 如图1，矩形 中，点 为 上一定点，点 为 延长线上一点，且 点 从 点出发，沿 边向点 以 的速度运动连接 ，设点 运动的时间为 ， 的面积为 当 时， 的面积 关于时间 的函数图象如图2所示连接 ，交 于点 1 的取值围为，；2如图3，将 沿线段 进展翻折，与 的延长线交于点 ，连接 当 为何值时，四边形 为菱形?并求出此时点 的运动时间 ；3如图4，当点 出发 后， 边上另一点 从 点出发，沿 边向点 以 的速度运动如果 ， 两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动连接 ，假如 ，请问 能否构成直角三角形?假如能，请求出点 的运动时间 ；假如不能，请说明理由89. 对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形1：如图1，四边形 是“等对角四边形，如此 度， 度2在探究“等对角四边形性质时：小红画了一个“等对角四边形 如图 2，其中 ，此时她发现 成立请你证明此结论；3：在“等对角 四边形 中，求对角线 的长90. ， 为 的切线，切点分别为 ，延长 交 于点 ，交 的延长线于点 连接 ， 与 交于点 1如图 1，求证：；2如图 2，点 是弧 的中点，连接 交 于 ，求证：；3如图 3，在2的条件下，连接 并延长交 于点 ，连接 交 于点 ，假如 ，求线段 的长91. 如图，在平面直角坐标系 中，直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，经过点 的抛物线 交直线 于另一点 ，且点 到 轴的距离为 参考公式：二次函数 ，当 时， 1求抛物线解析式；2点 是直线 上方的抛物线上一动点不与点 ， 重合，过点 作 于 ，过点 作 轴交 于 ，设 的周长为 ，点 的横坐标为 ，求 与 的函数关系式，并直接写出自变量 的取值围；3在2的条件下，当 最大时，连接 ，将 沿射线 方向平移，点 ， 的对应点分别为 ，当 的顶点 在抛物线上时，求 点的横坐标，并判断此时点 是否在直线 上92. 开口向上的抛物线 与 轴相交于点 ，与 轴相交于点 ，这条抛物线的顶点为 ，对称轴 与 轴相交于点 1如图1，连接 ，假如 ，求点 的坐标；2如图2，点 是直线 上一点，过 作直线 的垂线，与抛物线相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，设 ，求 与 的函数关系式；3如图3，在2条件下，以 ， 为两边作矩形 ，连接 ，与抛物线相交于点 ，与 相交于点 ，连接 并延长与 相交于点 ，求证：93. 如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，直线 与 轴交于点 ，过点 的抛物线 与直线 交于另一点 ，且点 的横坐标为 1求 ， 的值；2点 是线段 上一动点点 不与点 ， 重合，过点 作 交第一象限的抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 设 的长为 ， 的长为 ，求 与 之间的函数关系式不要求写出自变量 的取值围；3在2的条件下，当 时，连接 ，点 在线段 上，过点 作 交 于点 ，连接 ，当 时，求点 的坐标94. 如图 1，平面直角坐标系中，直线 与抛物线 相交于 ， 两点，其中点 在 轴上，点 在 轴上1求抛物线的解析式；2在抛物线上存在一点 ，使 是以 为直角边的直角三角形，求点 的坐标；3如图 2，点 为线段 上一点，以 为腰作等腰 ，使它与 在直线 的同侧， 沿着 方向以每秒一个单位的速度运动，当点 与 重合时停止运动设运动时间为 秒， 与 重叠局部的面积为 直接写出 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值围95. 如图，抛物线 经过 的三个顶点， 轴，点 在 轴上，点 在 轴上，且 1求抛物线的对称轴；2写出 ， 三点的坐标并求抛物线的解析式；3探究：假如点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点，是否存在 是等腰三角形?假如存在，求出所有符合条件的点 坐标；不存在，请说明理由96. 定义：如图 1，平面上两条直线 ， 相交于点 ，对于平面任意一点 ，点 到直线 ， 的距离分别为 ，如此称有序实数对 是点 的“距离坐标根据上述定义，“距离坐标为 点有 个，即点 1“距离坐标为 点有 个；2如图 2，假如点 在过点 且与直线 垂直的直线 上时，点 的“距离坐标为 ，且 请画出图形，并直接写出 ， 的关系式；3如图 3，点 的“距离坐标为 ，且 ，求 的长97. 在 中， 为斜边 上的中线，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，其中点 的对应点为点 ，点 的对应点为点 与 相交于点 1如图 1，直接写出 与 的数量关系：；2如图 2， 分别为 ， 的中点求证：；3连接 ，如图 3，直接写出在此旋转过程中，线段 ， 与 之间的数量关系：98. 给出如下规定：两个图形 和 ，点 为 上任一点，点 为 上任一点，如果线段 的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形 和 之间的距离在平面直角坐标系 中， 为坐标原点1点 的坐标为 ，如此点 和射线 之间的距离为，点 和射线 之间的距离为；2如果直线 和双曲线 之间的距离为 ，那么 ；可在图 1 中进展研究3点 的坐标为 ，将射线 绕原点 逆时针旋转 ，得到射线 ，在坐标平面所有和射线 ， 之间的距离相等的点所组成的图形记为图形 i请在图 2 中画出图形 ，并描述图形 的组成局部；假如涉与平面中某个区域时可以用阴影表示ii将射线 ， 组成的图形记为图形 ，抛物线 与图形 的公共局部记为图形 ，请直接写出图形 和图形 之间的距离99. 如图，将矩形 置于平面直角坐标系 中，1抛物线 经过点 ，求该抛物线的解析式；2将矩形 绕原点顺时针旋转一个角度 ，在旋转过程中，当矩形的顶点落在1中的抛物线的对称轴上时，求此时这个顶点的坐标；3如图 2，将矩形 绕原点顺时针旋转一个角度 ，将得到矩形 ，设 的中点为点 ，连接 ，当 时，线段 的长度最大，最大值为100