MPA公共管理硕士综合知识数学微积分定积分试卷1

MPA公共管理硕士综合知识数学微积分（定积分）-试卷1（总分：76.00 ,做题时间：90分钟）一、 数学部分（总题数：41,分数：76.00）1.选择题2.设f（x）是0，+s）上的连续函数，且满足f(x)=xe -x +e x10 f(x)dx则f（x）等于（）.A.xe-X+B. xeC. xeD. xe 令/-x-xx-1一 e-xexx-1+e0 1 f(x)dx=A .原方程两边在区间0，xe-xx-11-xe1上积分，得/dx= 一 2e -x +1，d(x)dx= / 00 1 e x dx=e1 xe -x dx+A / 0 1 e x一 1，所以 A= 一 2edx. 因-1 +1+AeB.C. VD.为奇函数，在对称区间上积分为零，而为偶函数,所以2 +（y 1） 2 =1及直线y=2在第一象限所围图形的面积为（）.1 54所示，面积1 f(x)dx+f(x)=1 ，则 / 0 1 f(x)dx 等于().，将表达式两边从0到1积分.B.C.D. V三曲线所围图形如图5.已知xe x /A.B.C.D.6.设f（x）的一个原函数是A.e等于（）.B. 1C. e+1VD. e-17.A. e a AB. 一 e -a A V-aC. eAD. 一 A8.曲线y=x 3在P（a , a 3）点的切线（其中a0）与曲线所围图形的面积为（）A.B. VC.D.过点P（a，3a 2 x+2a 3a 3 ）的切线方程为 y=3a 2 （x 一 a）+a 3 =3a 2 x 一 2a 322=（x 一 a）（x +ax 一 2a ） =（x 一 a）（x 一 a）（a+2a）=0.切点为（a ,a 3 ），所求面积如图1 55所示为-2a a x3 一 （3aD的面积为（）.因此，另一交点为2x9.在曲线yA.B.C. VD.2 =2px（p 0）上点，则法线与该曲线围成的区域因为点曲线y 2 =2px上,求法线与抛物线的交点:求的区域D的面积S如图10.由曲线A.1B.C.D. 2图1 5 9）为1-5-8 所示.与过原点的曲线的切线及 x轴所围图形的面积为（）.茅线方程为设切点P（x o，y o ），I；巨齐1军得x o =2 , y o =2，切线方程为y=x.所求图形面积（见c.oD.(A) , (B) , (C)都不正确V故选(D).,(B) , (C)中没有一个是12.A.B.C. VD.和直线y=x及y=2所围图形的面积 S等于().先作草图(见图1510)，并求出曲线、直线间的交点的坐标,B(2 , 2) , C(1, 1).选取积分变量为y，则有14.1= /A.0(x+|x|) (y)=y ,-|x| dxy 1 , 2, 等于().于是有B. 2C. 4D. 8V因为1= / -J 收敛，所以/+ / 0 2xe2x 2 e-x-|x|x|x|edx) =4(-2xedx+ /-|x| dx=0 ,而 /|2x|x|e-|x|-Xdx ,由于 x|x|e -|x| 是奇函数且/-8 +8 x|x|e2x 2 e -|x| dx=4 / 0 + 8 x 2 e -x dx=4( 一 e -x x -x dx)=4( 一 2e -x )|0 + 8 =8 .-|x| dx2 | 0 +215.过点(1 , 0)作曲线y=x 的两条切线，它们与曲线A.B. VC.D.y=x2所围图形的面积是().先作草图(见图1 511)，再求切点及切线方程：设切点为(x 0 , x 0 2 )，则切线斜率为方程为 Y x 0 2 =2x 0 (X x 0 ).因为切线通过点(1 , 0)，即有一 x 0 2 =2x 0 (1 一 X 0 ). 此可得x 0 =0或x 0 = 一 2，所以切点为 0(0, 0)与A(2 , 4)，两切线方程为 Y=0与Y 4=4(X，切线由一 2).这时，两切线与曲线y=x 2所围图形的面积为16.填空题正确答案为(B).17.设f(x)在0 , 1上连续，且f(x) v 1，则方程2x / 0 x f(t)dt=1 在(0 , 1)内实根的个数是1 .填空项1： (正确答案：正确答案：1)设 F(x)=2x / o x f(t)dt 1，贝U F(0)= 1 1-/。1 dt=O .由闭区间上 连续函数的性质一一介值定理可知，F(x)在(0 , 1)内至少有一个零点.又因F (x)=2 一 f(x) 0,故F(x)在(0 , 1)内为严格单调增函数，从而 F(x)=0，即2x / ox f(t)dt=1 在(0 , 1)内有且仅有一个实根.18.设/ x-1 f(t)dt=x 3 一 x 2 +x，则 f(x)在 1 处取得最小值.填空项1： (正确答案：正确答案：*)上式两端关于 x 求导，得 f(x 一 1)=3x 2 一 2x+1， 从而 f(x)=3x2 +4x+2 . 令 f(x)=6x+4=0 ，得唯一驻f(x)时，f(x)0.所以 f(x)在 0；当处取得最小值.(正确答案：正确答案:填空项1:20.填空项1:(正确答案：正确答案:21.由直线x=0，x=2，y=0与抛物线y=一填空项1:x 2 +1所围成的平面图形的面积 S= 1 . (正确答案：正确答案：2)S= / 0 2 | 一 x 2 +1|dx = / 0(一 x 2 +1)dx+ / 1 2 (x2 1)dx =22.填空项1:(正确答案：正确答案:23.设 f(x)=填空项1:f(x)=2x3，所以则/ 1 3 f(x一 2)dx= 1 .(正确答案：正确答案:*令 x 一 2=t，贝U / 1 3 f(x-2)dx=24.由曲线y=xe x与直线y=ex所围成图形的面积 S= 1 .填空项1: (正确答案：正确答案：/ -1 1 f(t)dt= / 1 0 (1+t2 )dt+ / 0dt=*由 xe % =ex 可知，x(e x e)=0，贝U x=0 或 x=1 .故 S= / 025.已知xe x为f(x)的一个原函数，则/0 1 xf(x)dx= 1.填空项1: (正确答案：正确答案：e)=e x +xe x，所以 / 0 1 xf (x)dx=xf(x)|1=e .3 |x 一 1|dx= 1 .(ex 一 xe)dx=f(x)=(xe2 .=(x e )|26.定积分/填空项1:1f(x)dx =xf(x)xe x |0 1(正确答案：正确答案:*所以有/ 0 3 |x由于27.设f(x)在0，2上连续，且填空项1:3 (x 一 1)dx11|dx= / 0 1 (1 一 x)dx+ / 1f(0)=1 ，f(2)=3 ，f (2)=5，则 /0 xf(2x)dx= 1(正确答案：正确答案：2)28.计算题29.设函数f(x)在0 , 11上有连续的导数，f(x)无零点，且f(0)=1 , f(1)=2 , 0 求求F (x)，其中函数f(x)连续.30.设 F(x)=)正确答案：(正确答案：按定积分的换元积分法，作换元u=f(x)，则有正确答案：(正确答案：因为变限定积分中的被积函数中还含有变量x,必须通过换元，来去掉被积函数中的变量x，即作换元u=x+t 2，则31.设函数 f(x)在(-g， +s)上连续，且满足/0 1 f(x t)dt=f(x)+试求f(x).正确答案：(正确答案：由x / 0 1 f(x t)dt32.设函数 f(x)满足：f(0)=2 ，f( 一 2)=0，f(x)在 x=寸上式两边求导，有)0 x f(u)du 可得一 1，x=5有极值，f(x)是二次多项式，求f(x).正确答案：(正确答案：由f(x)是二次多项式及f(x)有极值点x=一 1, x=5，可知有f (x)=K(x+1)(x5)，其中K为非零常数.对上式两边积分，可得f(x) 一 f(0)=K / 0 x (t+1)(t-5)dt =K / 0 x (t 2 4t33.求由方程所确定的隐函数y=y(x)的极值.一 5)dt由f( 一 2)=0，可得K=3，结果有f(x)=x3 一 6x 2 一 15x+2.)在等式两边求导，可得正确答案：(正确答案：值为 y(1)=o .)34.求由抛物线y 2 =x与直线y=x 2所围图形的面积S.可知隐函数y有唯一极小值点x=1，且知极小正确答案：(正确答案：先作草图(见图1 56)，再求抛物线与直线的交点 A与B的坐标：A(1，一 1)，B(4，2).选取y为积分变量，则有 x= (y)=y 2 ，x= (y)=y+2，)35.当a(0 a 1，B 0，试求无穷积分冲函数在a +1处的值.正确答案：(正确答案:其中利用了 r函数的递推公式r ( a +2)=( a +1) r ( a +1).)38.讨论函数f(x)的单调性，其中f(x)在1，心)上可积，且满足正确答案：(正确答案：先求f(X)的表达式，即要求/)1 + f(x)dx=A 之值.39.设 f(x)=求/ o 2 f(x 一 1)dx .正确答案：(正确答案：令x 一 1=t ,_则/ 0 2 f(x 一 1)dx= / -1 1 f(t)dt ，由于在一 1，1上f(x)表达 式不同，根据定积分的区间性质应分一 1 ,0和0,1上的两个积分计算，所以/ 02f(x-1)dx=/ -1 1 f(t)dt=40.计算的距离.0t丿-1 eo 1 =1-e -1 +In2 .)一 x|dx ; (4) / 0 50 f(x)dx, 其中f(x)是x到离x最近的整数正确答案：(正确答案：(1)/ 0 2 |1 一 x|dx(开方取绝对值)=/ 0 1 (1-x)dx+/ 1 2 (x-1)dx=1玄是因为第一个积分为偶函数在对称区间上积分，第二个为奇函数在对称区间上积分为零，第三个积分利用定积分的几何意义,|伸口|是圆心在原点，半径为2的上半圆，它在-2 , 2上积分应是上半圆面积故第一个积分为J(3)当 a v 0 时,当a 11 1/ o x|a-x|dx= / o x(x a)dx=时， / 0 1 x|a 一 x|dx= 一/当0 a 1 时， / 0 1 x|a 一 x|dx= / 0 a x(a 一 x)dx+0所以41.讨论广义积分/的敛散性.1 x(x a)dx=/ a 1 x(x 一 a)dx=由题意知,可得正确答案：(正确答案：依题意，得10 f(x)dx=A