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1第四节第四节 几类特殊函数的积分几类特殊函数的积分 有理函数：有理函数：两个多项式的商所表示的函数两个多项式的商所表示的函数. .01110111)()(bxbxbxbaxaxaxaxqxpmmmmnnnn 一、有理函数的积分一、有理函数的积分多项式函数多项式函数).0,()(0 nknkkkaRanxaxp为非负整数为非负整数.:不不可可约约因因式式的的乘乘积积为为一一些些一一次次因因式式和和二二次次域域内内可可分分解解任任何何多多项项式式函函数数在在实实数数因因式式分分解解定定理理2由多项式的除法由多项式的除法: :任何假分式可以分解为一个多项式任何假分式可以分解为一个多项式 和一个真分式之和和一个真分式之和. .真分式的分解方法：真分式的分解方法：式式的的项项分分解解式式中中必必含含有有如如下下形形则则，因因式式若若真真分分式式的的分分母母中中含含有有kax)()1( .)()(121axaaxaaxakkk .,21都都是是常常数数其其中中kaaa 假设分子与分母之间没有公因式假设分子与分母之间没有公因式.,)2(,)1(则则称称有有理理函函数数为为假假分分式式若若；则则称称有有理理函函数数为为真真分分式式若若mnmn 3式式的的项项分分解解式式中中必必含含有有如如下下形形则则其其中中因因式式若若真真分分式式的的分分母母中中含含有有, 04,)()2(22 qpqpxxkqpxxnxmqpxxnxmqpxxnxmkkkk 21222211)()(.), 2 , 1(,均均为为常常数数其其中中kinmii 结论结论: :有理函数的积分有理函数的积分均可积出均可积出,且其且其原函数都是原函数都是 初等函数初等函数. .4.)1)(21(1)2(;)1(1)1(122dxxxIdxxxI 求求下下列列不不定定积积分分例例5)1()1(12 xcxbxxa. 12; 1110 cxbxax；分分别别令令知知由由解解1)1()1(1)1(22 xcxbxaxx.11)1(11)1(122 xxxxx所所以以6dxxxxI 11)1(112故故dxxdxxdxx 11)1(112.1ln11lnCxxx )1(1)1(1)1()1()1(1222 xxxxxxxxx或或7.arctan51)1ln(5121ln521511)1(5121)21(52111221451)1)(21(151,52,541 ,0 ,21.1)21)()1(,121)1)(21(1)2(2222222222CxxxxdxxxdxxdIxxxxxxcbaxxcbxxaxcbxxaxx 故故分分别别令令则则令令8注释注释: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但未必但未必简单简单, 因此积分时首先要注意被积函数的特因此积分时首先要注意被积函数的特点点以寻求以寻求简便简便的方法的方法.;455522)1(22423 dxxxxxxI求求下下列列不不定定积积分分例例.)22()2(222 dxxxxI9.arctan2arctan2145ln21)4)(1(4145)45(2145524552)1(2422222424242243CxxxxxdxxxxxxxxdxdxxxxdxxxxI 解解10.221)1arctan()22()22(1)1()22()22()22()2(22222222CxxxxxxxdxdxdxxxxxxI 11222212,11cos,12sintdtdxttxttx .1211,12)cos,(sin2222dttttttRdxxxR （万能公式）（万能公式）.arctan22tantxxt ，则则令令二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数一般记为四则运算构成的函数一般记为)cos,(sinxxR12.cossin1sin3 dxxxxI求求积积分分例例 .12,11cos,12sin,2tan12222dttdxttxttxxt 则则令令方方法法dttttI )1)(1(22故故dtttttt )1)(1(11222213dtttdtdttdttdttt 11)1(11211111112222Cttt 1ln)1ln(21arctan2.2tan1ln|2sec|ln2Cxxx 14 .)coslntansecln(21)cossinsec(21)cossin1)(cossin1()cossin1(sin2CxxxxdxdxxxxdxdxxxxxxxxI 方法方法注释注释: : 万能公式未必是最佳方法万能公式未必是最佳方法. . 对三角有理式对三角有理式的积分应先考虑其它方法的积分应先考虑其它方法, , 不得已才用万能公式不得已才用万能公式. .15.cos3sin1)3(; )0(cossin)2(;sin3sin1)1(42222 dxxxIabxbxadxIdxxxI求求下下列列不不定定积积分分例例16 dxxxxxdxxxI222cossin4cossincos2sin21)1(解解 dxxdxxxsin141cossin412.2tanln41cos41Cxx .)tanarctan(1)(tan)(tan1)2(222CxbaababxxdaI 17.cos3ln)2tan21arctan(21.cos3lncos3)cos3(cos3sin.)2tan21arctan(212arctan212cos31)3(22tanCxxICxxxddxxxCxttdtxdxxt 故故由由18.sincossincos35 xdxxxxI求求积积分分例例xxsincos3 令令解解)sin(cos)sin(cos xxBxxAxBAxBAsin)(cos)( 2113BABABA19.sincoslnsincos)sin(cos2CxxxxxxxddxI 故故说明说明: : 此技巧适用于形为此技巧适用于形为 的积分的积分 dxxdxcxbxasincossincos)sincos()sincos(sincos xdxcBxdxcAxbxa令令20若被积函数为简单根式的有理式若被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代可通过根式代换化为有理函数的积分换化为有理函数的积分. 例如例如 ),(),(),(mnnnbaxbaxxRdcxbaxxRbaxxR三、简单无理函数的积分三、简单无理函数的积分 .),(的的最最小小公公倍倍数数为为nmpbaxtdcxbaxtbaxtpnn21求求下下列列积积分分例例 6.)1()1()3(342 xxdxI;)1(1)1(3 dxxxI;11)2( dxxxxI22.)arctan(6)arctan(6)111(6111616)1(6,6)1(662222223556CxxCttdttdtttdtttdttttIdttdxtx 则则令令解解23.arctan66)()(116)(6)()(111)(6)1(1666266626263Cxxxdxxdxdxxdxxx 24.)1(2,11,12222 ttdtdxtxtxxdtttttI 222)1(2)1(故故 dttt1222dtt 11122Cttt 11ln2.1122ln12Cxxxxx txx 1) 2(令令25).1(11)1()1()3(23342 xxxxx因因为为11,11333 ttxxxt则则令令232)1(6 tdttdxCttdttttdtttI 2323)1(4)1(62233232所以所以.11233Cxx 26.)1()11()1()1(234342 xxxxx或或由由.)1(2,112dxxdtxxt 则则可可令令 234)1()11(xxxdxI故故dtt 3421.112323331CxxCt 27 练练 习习 题题 求下列不定积分求下列不定积分;12)1(2435 dxxxxxI ;1)4(;sin1sin)3(22dxedxxxIx.1213)5( dxxxxI;)0()cossin(1)2(2 badxxbxaI28.arctan1)1ln(2121)1111(1)1(2222224335CxxxxdxxxxxxdxxxxxxI 解解.)tan(1)tan()tan(1cos)tan()2(222CbxaabxabxadaxbxadxI 29.)tan2arctan(21sin11.)tan2arctan(21tan21)(tansin2cossin11)3(22222CxxdxxdxICxxxdxxdxdxx 所所以以因因为为30 dxxxI)1213()5()13(1331 xdx)12(1221 xdx.)12(31)13(922323Cxx .arctan221112.12),1ln(,1)4(2222CttdtttIttdtdxtxetx 故故则则令令
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