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word求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、根底知识整合1.函数的定义：设集合A和B是非空数集，按照某一确定的对应关系f，使得集合A中任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应。如此称f:为A到B的一个函数。2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是确定的对应关系f,集合A的取值X围。由这两个条件就决定了f(x)的取值X围y|y=f(x),xA。3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：1自变量放在一起构成的集合，成为定义域。2数学表示：注意一定是用集合表示的X围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法；一般表示X围时用集合的“描述法或“区间来表示。4.值域：是由定义域和对应关系f共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域X围内的函数值的X围。1明白值域是在定义域A内求出函数值构成的集合：y|y=f(x),xA。2明白定义中集合B是包括值域，但是值域不一定为集合B。二、求函数定义域一求函数定义域的情形和方法总结1函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。1常见情况简总：表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0非负数。表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x，必须满足指数底数大于0且不等于1.0底数1表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.注：1出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，与最后求的是所有式子解集的交集。2求定义域时，尽量不要对函数解析式进展变形，以免发生变化。(形如：)练习1、求如下函数的定义域：1、1232.抽象函数没有解析式的函数解题的方法精髓是“换元法，根据换元的思想，我们进展将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值X围。总结为：1给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值X围；2在同一个题中x不是同一个x；3只要对应关系f不变，括号的取值X围不变。4求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值X围，与括号的取值X围。例1：f(x+1)的定义域为-1,1，求f2x-1的定义域。解：f(x+1)的定义域为-1,1；与其中x的取值X围是-1,1；x+1的取值X围就是括号的取值X围f(x)的定义域为0,2；f不变，括号的取值X围不变f(2x-1)中f(2x-1)的定义域为练习2、 设函数的定义域为，如此函数的定义域为_、； _；函数的定义域为_； 3、假如函数的定义域为，如此函数的定义域是；函数的定义域为。3.复合函数定义域复合函数形如：,理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。例2：分析：由题目可以看出g(x)是由y=x+1、y=x-2和y=f(x)三个函数复合起来的新函数。此时做加运算，所以只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域，再根据求函数定义域要所有式子同时满足，即只要求出f(x+1)和f(x-2)的定义域的交集即可。解：由f(x)的定义域为-2,3，如此 f(x+1)的定义域为-3,2，f(x-2)的定义域为0,4；，解得0x2所以，g(x)的定义域为0,2.一求函数值域方法和情形总结1.直接观察法利用函数图象一般用于给出图象或是常见的函数的情形，根据图象来看出y值的取值X围。练习（1） 求值域。2.配方法适用于二次函数型或是可以化解成二次函数型的函数，此时注意对称轴的位置，在定义域X围内以a0为例，此时对称轴的地方为最大值，定义域为内端点离对称轴最远的端点处有最小值；对称轴在定义域的两边如此根据单调性来求值域。总结为三个要点：1含参数的二次型函数，首先判断是否为二次型，即讨论a；2a不为0时，讨论开口方向；3注意区间，即讨论对称轴。例1：求解：配方： f(x)的对称轴为x=2在1,5中间端点5离x=2距离较远，此时为最大值所以，f(x)的值域为2,11.练习（2） 求值域。3.分式型1别离常量法：应用于分式型的函数，并且是自变量x的次数为1，或是可以看作整体为1的函数。具体操作：先将分母搬到分子的位子上去，观察与原分子的区别，不够什么就给什么，化为。例2：解：由于分母不可能为0，如此意思就是函数值不可能取到，即：函数f(x)的值域为.练习求值域32利用来求函数值域：适用于函数表达式为分式形式，并且只出现形式，此时由于为平方形式大多时候x可以取到任意实数，显然用别离常量法是行不通，只有另想它法有界变量法。例3：求函数的值域.解：由于不等于0，可将原式化为即由于只需,如此有所以，函数值域.练习4求值域3方程根的判别式法：适用于分式形式，其中既出现变量x又出现混合，此时不能化为别离常量，也不能利用上述方法。对于其中定义域为R的情形，可以使用根的判别式法。例4：求函数的值域解：由于函数的定义域为R，即原式可化为由于x可以取到任意的实数，那么也就说总有一个x会使得上述方程有实数根，即方程有根那么判别式大于或等于0，注：这里只考虑有无根，并不考虑根为多少所以，所以，函数值域为练习：求值域54.换元法通过换元将一个复杂的问题简单化更便于求函数值域，一般函数特征是函数解析式中含有根号形式，以与可将问题转换为我们熟悉的函数形式等问题。而换元法其主要是让我们明白一种动态的方法来学习的一种思路，注重换元思维的培养，并不是专一的去解答某类问题，应该多加平时练习。注：换元的时候应与时确定换元后的元的取值X围。例5：求函数的值域解：令，带入原函数解析式中得因为，所以，函数的值域为.练习：求值域6一选择题共10小题12007河东区一模假如函数fx=的定义域为A，函数gx=的定义域为B，如此使AB=的实数a的取值X围是A1，3B1，3C2，4D2，42假如函数fx的定义域是1，1，如此函数fx+1的定义域是A1，1B0，2C2，0D0，132010某某函数的值域是A0，+B0，4C0，4D0，442009河东区二模函数的值域是A0，+BC0，2D0，5函数y=x2+4x+5，x3，3时的值域为A2，26B1，26C1，26D1，266函数y=在区间3，4上的值域是A1，2B3，4C2，3D1，67函数fx=2+3x2x3在区间2，2上的值域为A2，22B6，22C0，20D6，248函数的值域是Ay|yR且y1By|4y1Cy|y4且y1DR9函数y=x22x1x2的值域是A0，3B1，3C1，0D1，310函数的值域为A2，+BCD0，2二填空题112013某某函数y=ln1+的定义域为_122012某某函数的定义域是_用区间表示13求定义域：14函数y=x2+2x1，x3，2的值域是_15函数y=10的值域是_14 / 14
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