中学考试二次函数 动点专题含问题详解

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word模式1:平行四边形分类标准:讨论对角线例如:请在抛物线上找一点p使得四点构成平行四边形,如此可分成以下几种情况1当边是对角线时,那么有2当边是对角线时,那么有3当边是对角线时,那么有例题1:省阳谷县育才中学模拟10此题总分为14分在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)假如点M为第三象限抛物线上一动点,点M的横坐标为m,AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值; (3)假如点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.练习:图1,抛物线与x轴相交于A、B两点点A在B的左侧,与y轴相交于点C,顶点为D1直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;2连结BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段BC上的一个动点,过点P作PF/DE交抛物线于点F,设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段PF的长,并求出当m为何值时,四边形PEDF为平行四边形?设BCF的面积为S,求S与m的函数关系模式2:梯形分类标准:讨论上下底例如:请在抛物线上找一点p使得四点构成梯形,如此可分成以下几种情况1当边是底时,那么有2当边是底时,那么有3当边是底时,那么有例题2:,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A的坐标为(4,0),点C的坐标为,直线与边BC相交于点D(1)求点D的坐标;(2)抛物线经过点A、D、O,求此抛物线的表达式;(3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形?假如存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;假如不存在,请说明理由练习:二次函数的图象经过A2,0、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B1求二次函数的解析式与顶点P的坐标;2如图1,在直线 y2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?假如存在,求出点D的坐标;假如不存在,请说明理由;3如图2,点M是线段OP上的一个动点O、P两点除外,以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MN/x轴,交PB于点N 将PMN沿直线MN对折,得到P1MN在动点M的运动过程中,设P1MN与梯形OMNB的重叠局部的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式模式3:直角三角形分类标准:讨论直角的位置或者斜边的位置例如:请在抛物线上找一点p使得三点构成直角三角形,如此可分成以下几种情况1当为直角时,2当为直角时,3当为直角时,例题3:如图1,抛物线yx2bxc与x轴交于A、B两点点A在点B左侧,与y轴交于点C(0,3),对称轴是直线x1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D1求抛物线的函数表达式;2求直线BC的函数表达式;3点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P在第三象限当线段时,求tanCED的值;当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标练习:如图1,直线和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是-2,01试说明ABC是等腰三角形;2动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动设M运动t秒时,MON的面积为S 求S与t的函数关系式; 设点M在线段OB上运动时,是否存在S4的情形?假如存在,求出对应的t值;假如不存在请说明理由;在运动过程中,当MON为直角三角形时,求t的值模式4:等腰三角形分类标准:讨论顶角的位置或者底边的位置例如:请在抛物线上找一点p使得三点构成等腰三角形,如此可分成以下几种情况1当为顶角时,2当为顶角时,3当为顶角时,例题4:如图1,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA2,OC3,过原点O作AOC的平分线交AB于点D,连接DC,过点D作DEDC,交OA于点E1求过点E、D、C的抛物线的解析式;2将EDC绕点D按顺时针方向旋转后,角的一边与y轴的正半轴交于点F,另一边与线段OC交于点G如果DF与1中的抛物线交于另一点M,点M的横坐标为,那么EF2GO是否成立?假如成立,请给予证明;假如不成立,请说明理由;3对于2中的点G,在位于第一象限的该抛物线上是否存在点Q,使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形?假如存在,请求出点Q的坐标;假如不存在成立,请说明理由练习:2012江汉市中考模拟抛物线yax2bxc(a0)经过点B(12,0)和C(0,6),对称轴为x2(1)求该抛物线的解析式(2)点D在线段AB上且ADAC,假如动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一个动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?假如存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;假如存在,请说明理由ABCOPQDyx(3)在(2)的结论下,直线x1上是否存在点M,使MPQ为等腰三角形?假如存在,请求出所有点M的坐标;假如不存在,请说明理由模式5:相似三角形突破口:寻找比例关系以与特殊角例题5:据荆州资料第58页第2题改编在梯形ABCD中,ADBC,BAAC,B = 450,AD = 2,BC = 6,以BC所在直线为x轴,建立如下列图的平面直角坐标系,点A在y轴上。(1) 求过A、D、C三点的抛物线的解析式。(2) 求ADC的外接圆的圆心M的坐标,并求M的半径。(3) E为抛物线对称轴上一点,F为y轴上一点,求当EDECFDFC最小时,EF的长。(4) 设Q为射线CB上任意一点,点P为对称轴左侧抛物线上任意一点,问是否存在这样的点P、Q,使得以P、Q、C为顶点的与ADC相似?假如存在,直接写出点P、Q的坐标,假如不存在,如此说明理由。模拟题汇编之动点折叠问题1.2012模拟此题12分二次函数与轴交于A1,0、B1,0两点.1求这个二次函数的关系式;2假如有一半径为r的P,且圆心P在抛物线上运动,当P与两坐标轴都相切时,求半径r的值.3半径为1的P在抛物线上,当点P的纵坐标在什么围取值时,P与y轴相离、相交? 2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为3,0,与y轴交于C0,-3点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.1分别求出图中直线和抛物线的函数表达式;2连结PO、PC,并把POC沿C O翻折,得到四边形POPC,那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?假如存在,请求出此时点P的坐标;假如不存在,请说明理由.解:将B、C两点的坐标代y=kx+b, 0=3k-3, k=1,y=x-31分将B、C两点的坐标代入得:,解得:所以二次函数的表达式为: .3分2存在点P,使四边形POPC为菱形.设P点坐标为x,PP交CO于E.假如四边形POPC是菱形,如此有PCPO.5分连结PP如此PECO于E,OE=EC=.=.6分解得=,=不合题意,舍去P点的坐标为,.9分3.2012模拟抛物线交y轴于点A,交x轴于点B,C点B在点C的右侧.过点A作垂直于y轴的直线l. 在位于直线l下方的抛物线上任取一点P,过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q.连接AP.1写出A,B,C三点的坐标;2假如点P位于抛物线的对称轴的右侧:如果以A,P,Q三点构成的三角形与AOC相似,求出点P的坐标;假如将APQ沿AP对折,点Q的对应点为点M.是否存在点P,使得点M落在x轴上.假如存在,求出点P的坐标;假如不存在,请说明理由.ABMPCDN4.2012模拟在直角梯形ABCD中,B90,AD1,AB3,BC4,M、N分别是底边BC和腰CD上的两个动点,当点M在BC上运动时,始终保持AMMN、NPBC(1)证明:P为等腰直角三角形;(2)设NPx,当ABMMPN时,求x的值;(3)设四边形ABPN的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并指出x取何值时,四边形ABPN的面积最大,最大面积是多少解:1过D作DQBC于Q,如此四边形ABQD为平行四边形DQ=AB=3,BQ=AD=1QC=DQDQC 中C=QDC=45RtNPC为等腰Rt(4分)2MP=AB=3, BM=NPNPC为等腰RtPC=NP= xBM=BCMPPC=1x1- x= x x=当时,x =(8分)(3) =(AB+NP) BP=(3+ x)(4x)=+ x+6=( x-)+6.125(11分)当x取时,四边形ABPN面积最大,最大面积为. (14分)5.2012宝应模拟在直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为2,2,点C是线段OA上的一个动点不运动至O,A两点,过点C作CDx轴,垂足为D,以CD为边在右侧作正方形CDEF. 连接AF并延长交x轴的正半轴于点B,连接OF,设ODt. 求tanFOB的值;用含t的代数式表示OAB的面积S;是否存在点C, 使以B,E,F为顶点的三角形与OFE相似,假如存在,请求出所有满足要求的B点的坐标;假如不存在,请说明理由(1)作AHx轴于H,交CF于PA(2,2) AH=OH=2 AOB=45CD=OD=DE=EF=3分(2)CFOB ACFAOB 即6分(3)要使BEF与OFE相似,FEO=FEB=90只要或即:或 当时,(舍去)或B(6,0) 8分 当时,() 当B在E的右侧时,(舍去)或B(3,0)10分() 当B在E的左侧时,如图,,(舍去)或B(1,0)12分6.2012预测本小题总分为12分如图,抛物线的顶点坐标是,且经过点.(1)求该抛物线的解析式;(2)设该抛物线与轴相交于点,与轴相交于、两点点在点的左边,试求点、的坐标;(3)设点是轴上的任意一点,分别连结、试判断:与的大小关系,并说明理由.DAOxyCB(第24题图)CxyABDEOP解:14分设抛物线的解析式为1分抛物线经过,解得:2分或 1分 24分令得,1分 令得,解得、2分、1分34分结论:1分理由是:当点重合时,有1分当,直线经过点、,直线的解析式为3分设直线与轴相交于点,令,得,如此关于轴对称,连结,如此,在中,有1分综上所得1分7.如图,二次函数yx2bxc的图象经过A(2,1),B(0,7)两点(1)求该抛物线的解析式与对称轴;(2)当x为何值时,y0?(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l,与抛物线交于C、D两点(点C在对称轴的左侧),过点C、D作x轴的垂线,垂足分别为F、E.当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标解:解:(1)把A(2,1),B(0,7)两点的坐标代入yx2bxc,得,解得.所以,该抛物线的解析式为yx22x7,又因为yx22x7(x1)28,所以对称轴为直线x1.(2)当函数值y0时,x22x70的解为x12 ,结合图象,容易知道12 x0.(3)当矩形CDEF为正方形时,设C点的坐标为(m,n),如此nm22m7,即CFm22m7.因为C、D两点的纵坐标相等,所以C、D两点关于对称轴x1对称,设点D的横坐标为p,如此1mp1,所以p2m,所以CD(2m)m22m.因为CDCF,所以22mm22m7,整理,得m24m50,解得m1或5.因为点C在对称轴的左侧,所以m只能取1.当m1时,nm22m7(1)22(1)74.于是,点C的坐标为(1,4)8.如图,在ABC中,ABBCCA4cm,ADBC于D,点P、Q分别从B、C两点同时出发,其中点P沿BC向终点C运动,速度为1cm/s;点Q沿CA、AB向终点B运动,速度为2cm/s,设它们运动的时间为x(s)。 求x为何值时,PQAC; 设PQD的面积为y(cm2),当0x2时,求y与x的函数关系式; 当0x2时,求证:AD平分PQD的面积; 探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系,请写出相应位置关系的x的取值围(不要求写出过程)。解:当Q在AB上时,显然PQ不垂直于AC。当Q在AC上时,由题意得:BPx,CQ2x,PC4x,ABBCCA4,C600,假如PQAC,如此有QPC300,PC2CQ4x22x,x,当x(Q在AC上)时,PQAC; 当0x2时,P在BD上,Q在AC上,过点Q作QHBC于H,C600,QC2x,QHQCsin600xABAC,ADBC,BDCDBC2DP2x,yPDQH(2x)x 当0x2时,在RtQHC中,QC2x,C600,HCx,BPHCBDCD,DPDH,ADBC,QHBC,ADQH,OPOQSPDOSDQO,AD平分PQD的面积; 显然,不存在x的值,使得以PQ为直径的圆与AC相离当x或时,以PQ为直径的圆与AC相切。当0x或x或x4时,以PQ为直径的圆与AC相交。9.抛物线与轴交于A、B两点,且点A在轴的负半轴上,点B在轴的正半轴上1数k的取值围;2设OA、OB的长分别为a、b,且ab15,求抛物线的解析式;3在2的条件下,以AB为直径的D与轴的正半轴交于P点,过P点作D的切线交轴于E点,求点E的坐标。解:1设点A,0,B,0且满足0由题意可知,即215,设,即,如此,即,即,即,解得,舍去抛物线的解析式为3由2可知,当时,可得,即A1,0,B5,0AB6,如此点D的坐标为2,0当PE是D的切线时,PEPD由RtDPORtDEP可得即,故点E的坐标为,010.如图,抛物线yax2ca0经过梯形ABCD的四个顶点,梯形的底AD在x轴上,其中A2,0,B1, 3 1求抛物线的解析式;2点M为y轴上任意一点,当点M到A、B两点的距离之和为最小时,求此时点M的坐标;3在第2问的结论下,抛物线上的点P使SPAD4SABM成立,求点P的坐标 xyCB_D_AO解:1、因为点A、B均在抛物线上,故点A、B的坐标适合抛物线方程 解之得:;故为所求 4分 2如图2,连接BD,交y轴于点M,如此点M就是所求作的点设BD的解析式为,如此有, ,故BD的解析式为;令如此,故8分 (3)、如图3,连接AM,BC交y轴于点N,由2知,OM=OA=OD=2,图3易知BN=MN=1,易求;设,依题意有:,即:解之得:,故 符合条件的P点有三个: 12分 11.如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A的坐标是4,0,点B的坐标是0,bb0P是直线AB上的一个动点,作PCx轴,垂足为C记点P关于y轴的对称点为P点P不在y轴上,连接PP,PA,PC设点P的横坐标为a1当b=3时,求直线AB的解析式;假如点P的坐标是1,m,求m的值;2假如点P在第一象限,记直线AB与PC的交点为D当PD:DC=1:3时,求a的值;3是否同时存在a,b,使PCA为等腰直角三角形?假如存在,请求出所有满足要求的a,b的值;假如不存在,请说明理由解:1设直线AB的解析式为y=kx+3,把x=4,y=0代入得:4k+3=0,k=,直线的解析式是:y=x+3, 3分 由得点P的坐标是1,m,m=1+3=; 4分 2PPAC,PPDACD,=,即=,a=; 6分 3以下分三种情况讨论当点P在第一象限时,1假如APC=90,PA=PC如图1过点P作PHx轴于点HPP=CH=AH=PH=AC2a=a+4a=PH=PC=AC,ACPAOB 24题图1=,即=,b=2 8分 2假如PAC=90,PA=CA 如图2如此PP=AC2a=a+4a=4PA=PC=AC,ACPAOB=1,即=1b=4 10分3假如PCA=90,如此点P,P都在第一象限,这与条件矛盾PCA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形当点P在第二象限时,PCA为钝角如图3,此时PCA不可能是等腰直角三角形;当P在第三象限时,PCA为钝角如图4,此时PCA不可能是等腰直角三角形所有满足条件的a,b的值为或 12分 12.17 / 17
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