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word课程名称高等数学一教材信息名称高等数学 上册某某大学作者 李君湘 邱忠文 主编版次 2007年8月第1版注：如学员使用其他版本教材，请参考相关知识点一、客观局部：单项选择、多项选择、不定项选择、判断一、单项选择局部1函数为 。A奇函数； B周期函数； C幂函数； D偶函数考核知识点: 函数的性质，参见P4-7附1.1.1考核知识点解释与答案：函数的根本特性：有界性：设函数f(x)的定义域为D，如果有，使得对，都有，如此称f(x)在D上有界。如果对，使得 ，如此称 f (x) 在上有上界。单调性：设函数f(x)的定义域为D，如果对 ，当时，恒有，就称为单调递增函数。同理，可以定义单调递减函数。我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。奇偶性：设f(x)的定义域为D，对，如果 ( i)，如此称该函数为奇函数； (ii) ，如此称该函数为偶函数周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T0，使得对，总有如此称f(x)为D上的周期函数，T为f(x)的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期计算过程如下：答案：D 偶函数。2函数为 。A无穷小量； B无穷大量； C零函数； D常数函数考核知识点: 无穷小与无穷大，参见P25-27附1.1.2考核知识点解释与答案：当时，如果函数的绝对值大于任意预先给定的正数 M ，如此我们称函数为当时的无穷大量，记为。假如，如此称函数在该极限过程中为无穷小量简称无穷小。答案：A无穷小量。3函数处 。A可导； B连续； C可微； D连续考核知识点: 连续与可导性，参见P40-46附1.1.3考核知识点解释与答案】：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.假如函数在某点处不连续，如此它在该点处一定不可导.答案：B连续。4假如 。A-1； B0； C； D1考核知识点: 复合函数微分法，参见P61-63附1.1.4考核知识点解释与答案：下述“根本的求导公式是各种导数与微分计算的根底，要求熟练掌握。在这里作为复习我们全部给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。根本的求导公式根本初等函数求导公式复合函数的求导法如此： 假如函数在点x处可导, 而在点处可导, 如此复合函数在点x处可导, 且其导数为或 此题计算用到复合函数的求导法如此和导数的四如此运算法如此。导数的四如此运算法如此：如果函数与都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商除分母为零的点外都在点具有导数，且1 ；2 ；3 答案：C。5假如 。A-2； B-1； C1； D2考核知识点: 二阶导数计算，参见P65-68附1.1.5考核知识点解释与答案：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外直接法，还常常利用的高阶导数公式, 通过导数的四如此运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数间接法.复合函数的求导法如此 假如函数在点x处可导, 而在点处可导, 如此复合函数在点x处可导, 且其导数为或 复合函数的求导法如此可表示为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 这一法如此又称为链式法如此.复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的局部写出来，整个过程一气呵成. 答案：D2。6函数为 。A奇函数； B偶函数； C幂函数； D周期函数考核知识点: 函数的性质，参见P4-7附1.1.6考核知识点解释与答案：奇偶性：设f(x)的定义域为D，对，如果 ( i)，如此称该函数为奇函数； (ii) ，如此称该函数为偶函数周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T0，使得对，总有如此称f(x)为D上的周期函数，T为f(x)的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期答案：B偶函数。7函数为 。A零函数； B无穷大量； C无穷小量； D常数考核知识点: 无穷小与无穷大，参见P25-27附1.1.7考核知识点解释与答案：当时，如果函数的绝对值大于任意预先给定的正数 M ，如此我们称函数为当时的无穷大量，记为。假如，如此称函数在该极限过程中为无穷小量简称无穷小。答案：C无穷小量。8函数处 。A连续； B可导； C可微； D连续考核知识点: 连续与可导性，参见P40-46附1.1.8考核知识点解释与答案：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.假如函数在某点处不连续，如此它在该点处一定不可导.答案：D连续。9假如 。A-1； B0； C1； D2考核知识点: 复合函数微分法，参见P61-63附1.1.9考核知识点解释与答案：初等函数的求导法如此：函数的和、差、积、商的求导法如此 反函数的求导法如此 复合函数的求导法如此。假如函数在点x处可导, 而在点处可导, 如此复合函数在点x处可导, 且其导数为或 复合函数的求导法如此可表示为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的局部写出来. 答案：C0 。10假如 。A-2； B-1； C1； D2考核知识点: 二阶导数计算，参见P65-68附1.1.10考核知识点解释与答案：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外直接法，还常常利用的高阶导数公式, 通过导数的四如此运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数间接法.答案：A-2。11函数为 。A奇函数； B偶函数； C指数函数； D周期函数考核知识点: 函数的性质，参见P4-7附1.1.11考核知识点解释与答案：函数的奇偶性：设f(x)的定义域为D，对，如果 ( i)，如此称该函数为奇函数； (ii) ，如此称该函数为偶函数函数的周期性：设函数f(x)的定义域为D，如果存在T0，使得对，总有如此称f(x)为D上的周期函数，T为f(x)的一个周期通常周期函数有无穷多个周期习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期答案：A奇函数。12函数为 。A零函数； B无穷大量； C无穷小量； D常数考核知识点: 无穷小与无穷大，参见P25-27附1.1.12考核知识点解释与答案：当时，如果函数的绝对值大于任意预先给定的正数 M ，如此我们称函数为当时的无穷大量，记为。假如，如此称函数在该极限过程中为无穷小量简称无穷小。答案：C无穷小量。13函数在x=0处 。A连续； B可导； C可微； D连续考核知识点: 连续与可导性，参见P40-46附1.1.13考核知识点解释与答案：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.假如函数在某点处不连续，如此它在该点处一定不可导.答案：D连续。14假如 。A2； B-2； C4； D-4考核知识点: 复合函数微分法，参见P61-63附1.1.14考核知识点解释与答案：根本初等函数的导数公式为常数； 但不为零； ； ； 假如函数在点x处可导, 而在点处可导, 如此复合函数在点x处可导, 且其导数为或 复合函数的求导法如此可表示为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.答案：C4。15假如 。A-2； B-1； C1； D2考核知识点: 二阶导数计算，参见P65-68附1.1.15考核知识点解释与答案：求高阶导数的方法：求函数的高阶导数时，除直接按定义逐阶求出指定的高阶导数外直接法，还常常利用的高阶导数公式, 通过导数的四如此运算, 变量代换等方法, 间接求出指定的高阶导数间接法.导数的四如此运算法如此：如果函数与都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商除分母为零的点外都在点具有导数，且1 ；2 ；3答案：A-2。二、主观局部：一、填空局部1. 函数的定义域是_.考核知识点: 函数的概念，参见P1-6附2.1.1考核知识点解释与答案【解答过程】：函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念：设是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规如此，使得对，都有唯一的实数与之对应，就称确定了一个一元函数，通常记为，称为自变量，为函数因变量，为定义域，函数值的集合称为值域函数表示的通常方式为公式法，自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法计算过程如下：答案：。2._.考核知识点: 洛必达法如此求极限，参见P90-95附2.1.2考核知识点解释与答案【解答过程】：如果函数和满足以下三个条件:(1),;(2)和在点的某去心邻域内可导,且;(3)存在(或无穷大).如此极限存在(或无穷大),且改为后法如此仍成立.。答案：。3. 设函数_.考核知识点: 复合函数微分法，参见P61-63附2.1.3考核知识点解释与答案：假如函数在点x处可导, 而在点处可导, 如此复合函数在点x处可导, 且其导数为或 复合函数的求导法如此可表示为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.导数的四如此运算法如此：如果函数与都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商除分母为零的点外都在点具有导数，且 1 ；2 ；3答案：。4. 设_.考核知识点: 微分计算，参见P74-79附2.1.4考核知识点解释与答案：微分的定义：设函数在某区间内有定义, 与在这区间内, 如果函数的增量可表示为其中A是与无关的常数, 如此称函数在点可微, 并且称为函数在点处相应于自变量改变量的微分, 记作, 即函数可微的条件： 函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是：即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商.微分公式根本初等函数微分公式上述“根本的微分公式是各种微分计算的根底，要求熟练掌握。在这里为了方便我们给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。答案：。5. 函数的极值点为_.考核知识点: 函数极值的计算，参见P96-101附2.1.5考核知识点解释与答案【解答过程】：确定极值点和极值的步骤: (1)求出函数的定义域和导数; (2)求出的全部驻点和不可导点; (3)利用第一充分条件,根据的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况,以便确定该点是否是极大值点或极小值点,如函数存在二阶导数,也可根据第二充分条件判定;(4) 求出函数的极值.计算过程如下：,令f(x)=0,求得驻点 又,所以因此在处取得极小值,极小值为.因为,所以用定理3无法判别.而在处的左右邻域内,所以在处没有极值;同理,在处也没有极值.答案：。6. 函数的定义域是_.考核知识点: 函数的概念，参见P1-6附2.1.6考核知识点解释与答案：函数是最重要的数学概念之一。下面给出函数的概念：设是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规如此，使得对，都有唯一的实数与之对应，就称确定了一个一元函数，通常记为，称为自变量，为函数因变量，为定义域，函数值的集合称为值域答案：。7. _.考核知识点: 求极限，参见上册P33-37附2.1.7考核知识点解释与答案：两个重要极限如下:。运用第二个重要极限计算该题。答案：。8. 设函数_.考核知识点: 复合函数微分法，参见P61-63附2.1.8考核知识点解释与答案：复合函数的求导法如此 假如函数在点x处可导, 而在点处可导, 如此复合函数在点x处可导, 且其导数为或 复合函数的求导法如此可表示为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 根本初等函数的导数公式为常数； 但不为零； ； ； 答案：。9. 设_.考核知识点: 微分计算，参见P74-79附2.1.9考核知识点解释与答案：函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是：即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.答案：。10. 曲线的斜渐近线为_.考核知识点: 求渐近线，参见P109-111附2.1.10考核知识点解释与答案：的斜渐近线的计算：如果，如此斜渐近线就是直线。答案：。11. 函数的定义域是_。考核知识点: 函数的概念，参见P1-6附2.1.11考核知识点解释与答案【解答过程】：设是一个非空的实数集合，如果存在某种对应规如此，使得对，都有唯一的实数与之对应，就称确定了一个一元函数，通常记为，称为自变量，为函数因变量，为定义域，函数值的集合称为值域函数表示的通常方式为公式法，自变量与因变量的关系用数学式子表示出来的方法称为公式法计算过程如下：且，答案：。12._.考核知识点: 洛必达法如此求极限，参见P90-95附2.1.12考核知识点解释与答案：如果函数和满足以下三个条件:(1),;(2)和在点的某去心邻域内可导,且;(3)存在(或无穷大).如此极限存在(或无穷大),且改为后法如此仍成立.答案：。13. 设_.考核知识点: 微分计算，参见P74-79附2.1.13考核知识点解释与答案：函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导，且当在点可微时，其微分一定是：即函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商.答案：。14. 设_.考核知识点: 极值确实定，参见下册P98-101附2.1.14考核知识点解释与答案：确定极值点: (1)求出函数的定义域和导数;(2)求出的驻点和不可导点;(3)令。如函数存在二阶导数,可根据第二充分条件判定。答案：。15. 曲线的拐点坐标为_.考核知识点: 求拐点，参见P108-109附2.1.15考核知识点解释与答案【解答过程】：如果的二阶导数在的左右两侧变号，如此就是拐点。计算过程如下：答案：。二、计算题1.求 的导数.考核知识点: 导数计算，参见P56-63附2.2.1考核知识点解释与答案【解答过程】：复合函数的求导法如此:假如函数在点x处可导, 而在点处可导, 如此复合函数在点x处可导, 且其导数为或 复合函数的求导法如此可表示为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 复合函数求导既是重点又是难点. 在求复合函数的导数时, 首先要分清函数的复合层次，然后从外向里, 逐层推进求导， 不要遗漏, 也不要重复. 在求导的过程中，始终要明确所求的导数是哪个函数对哪个变量(不管是自变量还是中间变量)的导数. 在开始时可以先设中间变量, 一步一步去做. 熟练之后，中间变量可以省略不写，只把中间变量看在眼里，记在心上，直接把表示中间变量的局部写出来，整个过程一气呵成. 初等函数的求导法如此：函数的和、差、积、商的求导法如此。根本的求导公式根本初等函数求导公式上述“根本的求导公式是各种导数与微分计算的根底，要求熟练掌握。在这里为了方便我们再次给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。参考答案：2. 求由方程确定的隐函数的导数。考核知识点: 隐函数求导，参见P69-71附2.2.2考核知识点解释与答案【解答过程】：隐函数的导数：假设由方程所确定的函数为，如此把它代回方程中，得到恒等式利用复合函数求导法如此，在上式两边同时对自变量求导，再解出所求导数，这就是隐函数求导法.导数的四如此运算法如此：如果函数与都在点具有导数，那么它们的和、差、积、商除分母为零的点外都在点具有导数，且1 ；2 ；3 参考答案：对原方程,两边关于x求导,其中y=y(x),有。3.求 的导数.考核知识点: 导数计算，参见P56-63附2.2.3考核知识点解释与答案【解答过程】：对数求导法：形如的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法如此不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法.根本初等函数的导数公式为常数； 但不为零； ； ； 参考答案：4.求由方程确定的隐函数的导数。考核知识点: 隐函数求导，参见P69-71附2.2.4考核知识点解释与答案【解答过程】：隐函数的导数：假设由方程所确定的函数为，如此把它代回方程中，得到恒等式利用复合函数求导法如此，在上式两边同时对自变量求导，再解出所求导数，这就是隐函数求导法.对数求导法：形如的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法如此不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法.参考答案：原方程化为,两边对x求导,其中y=y(x),有5.求的导数。考核知识点: 复合函数的求导，参见P56-63附2.2.5考核知识点解释与答案【解答过程】：复合函数的求导法如此： 假如函数在点x处可导, 而在点处可导, 如此复合函数在点x处可导, 且其导数为或 复合函数的求导法如此可表示为：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 参考答案：6. 求由方程确定的隐函数的导数。考核知识点: 隐函数求导，参见P69-71附2.2.6考核知识点解释与答案【解答过程】：隐函数的导数：假设由方程所确定的函数为，如此把它代回方程中，得到恒等式利用复合函数求导法如此，在上式两边同时对自变量求导，再解出所求导数，这就是隐函数求导法.参考答案：7. 求的极值。考核知识点: 求极值，参见P96-101附2.2.7考核知识点解释与答案【解答过程】：确定极值点和极值的步骤: (1)求出函数的定义域和导数; (2)求出的全部驻点和不可导点; (3)利用第一充分条件,根据的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况,以便确定该点是否是极大值点或极小值点,如函数存在二阶导数,也可根据第二充分条件判定;(4) 求出函数的极值.参考答案：由 得到 为驻点； 又 ，所以 所以在处取得极大值，且极大值为。又在处不可导，在的充分小邻域内,当时，；当时，由极值的第一充分条件知在处取得极小值，且极小值为f2=0，所以fx在x=1处取得极大值3，在x=2处取得极小值0。不存在极大值极小值8.设函数，其中a0，求f(x)的单调区间。考核知识点: 函数单调性判定，参见P96-98附2.2.8考核知识点解释与答案【解答过程】：函数单调性判定定理设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，如此（1） 如果在内，如此在上单调增加.（2） 如果在内，如此在上单调减少. 假如将定理的条件换成开区间或无穷区间,判定定理的结论仍然成立.假如函数在区间I上可导，且使的点x仅有有限个，如此在区间I上为严格递增减函数的充要条件为：对一切有利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点与不可导点，将定义域划分成假如干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨论，使得思路更清晰一些.参考答案： 当a1时，有，此时f/(x)0，函数f(x)在区间上是单调递减函数。 当0a1时，解不等式f/(x)0得，f(x)在区间上是单调递增函数。.9. 求函数的最大值和最小值。考核知识点: 求函数的最大最小值，参见P102-105附2.2.9考核知识点解释与答案【解答过程】：求函数的最大最小值的步骤：1求函数的所有驻点，不可导点；2比拟和驻点的函数值以与不可导点的函数值，取其中的最大值和最小值即可.参考答案：的连续点，指出连续点的类型；并给出函数的连续区间.考核知识点: 函数的连续性，参见P40-43附2.2.10考核知识点解释与答案【解答过程】：如果, 如此y=f(x)在xo处是连续函数。由定义可得出函数连续的三个必要条件连续的三要素：(1) y=f(x)在xo有意义(2)当xxo时，极限存在(3)极限等于f(xo)函数的连续点：三要素中至少一个不成立的点，称为函数的连续点。连续点的类型：左右极限都存在的点，称为第一类连续点；不是第一类连续点的称为第二类连续点。参考答案：为函数的第二类连续点。是否为的等价无穷小？为什么？考核知识点: 无穷小的比拟，参见P37-39，附2.2.11考核知识点解释与答案【解答过程】：如果，如此称与是等价的无穷小量。参考答案：由于因而是的等价无穷小。12 求极限 是正整数。考核知识点: 洛必达法如此求极限，参见P90-95附2.2.12考核知识点解释与答案【解答过程】：如果函数和满足以下三个条件:(1),;(2)和在点的某去心邻域内可导,且;(3)存在(或无穷大).如此极限存在(或无穷大),且改为后法如此仍成立.如果函数和满足以下三个条件:(1),;(2)和在点的某去心邻域内可导,且;(3)存在(或无穷大).如此极限存在(或无穷大),且这种求型未定式的极限的方法同上面求型未定式极限一样都称为洛必达法如此. 参考答案：上式为型未定式, 使用洛必达法如此得.13 求方程在点处的切线方程.考核知识点: 导数的几何意义，参见P69-71附2.2.13考核知识点解释与答案【解答过程】：以曲线上一点为切点的切线方程是隐函数的导数：假设由方程所确定的函数为，如此把它代回方程中，得到恒等式利用复合函数求导法如此，在上式两边同时对自变量求导，再解出所求导数，这就是隐函数求导法.参考答案：由导数的几何意义知道，所求切线的斜率为椭圆方程的两边分别对求导，有从而 当时，代入上式于是所求的切线方程为即 27 / 27
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