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考点十四：反比例函数聚焦考点温习理解1、反比例函数的概念一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。3、反比例函数的性质当k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。当k1，x1x2 0Bx1 x2 0C0 x1 x2 0Dx1 x2与x1x2 的符号都不确定【答案】C【解析】试题分析：，且点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，点B（b，c1）在第二象限的一支曲线上，且.又x1，x2是关于一元二次方程ax2bxc = 0的两根，.故选C考点：1.反比例函数的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 一元二次方程根与系数的关系；4.分类思想的应用.【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=-，x1x2=【举一反三】已知A（1，）是反比例函数图象上的一点，直线AC经过点A及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C，求C的坐标及反比例函数的解析式。【答案】（1，）【解析】试题分析：根据反比例函数和正比例函数的均过A点，求出解析式，联立方程组可求交点的坐标.试题解析：解：设反比例函数的解析式为,正比例函数的解析式为，依题意得：，,故两个函数分别为：，联立方程组为，解之得：，故另一个交点坐标为（1，）.考点：正比例函数与反比例函数考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题【例4】（2017甘肃兰州第11题）如图，反比例函数与一次函数的图像交于、两点的横坐标分别为、，则关于的不等式的解集为( )A.B.C.D.或【答案】B【解析】试题解析：反比例函数与一次函数y=x+4的图象交于A点的横坐标为3，点A的纵坐标y=3+4=1，k=xy=3，关于x的不等式的解集即不等式x+4（x0）的解集，观察图象可知，当3x1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，关于x的不等式的解集为：3x1故选B考点：反比例函数与一次函数的交点问题【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象位于反比例函数图象的下方是解题关键【举一反三】1. （2017四川自贡第12题）一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1k20）的图象如图所示，若y1y2，则x的取值范围是（）A2x0或x1B2x1Cx2或x1Dx2或0x1【答案】D.考点：反比例函数与一次函数的交点问题.2. （2017内蒙古通辽第17题）如图，直线与轴分别交于，与反比例函数的图象在第二象限交于点.过点作轴的垂线交该反比例函数图象于点.若，则点的坐标为 .【答案】（3，42）【解析】试题分析：过C作CEx轴于E，求得A（3，0），B（0，），解直角三角形得到OAB=30，求得CAE=30，设D（3，），得到AD=，AC=，于是得到C（+，），列方程即可得（+）（）=k，解得k=612，因此可求D（3，42），故答案为：（3，42）考点：反比例函数与一次函数的交点问题考点典例五、反比例函数的图象和k的几何意义【例5】（2017浙江衢州市第8题）如图，在直角坐标系中，点A在函数的图象上，AB轴于点B，AB的垂直平分线与轴交于点C，与函数的图象交于点D。连结AC，CB，BD，DA，则四边形ACBD的面积等于（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C【解析】试题解析：设A（a，），可求出D（2a，），ABCD，S四边形ACBD=ABCD=2a=4，故选C考点：反比例函数系数k的几何意义.【举一反三】1. （2017黑龙江齐齐哈尔第18题）如图，菱形的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，反比例函数的图像经过点，与交于点，若的面积为20，则的值等于 【答案】-24.【解析】试题分析：作DEAO，CFAO，设CF=4x，四边形OABC为菱形，ABCO，AOBC，DEAO，SADO=SDEO，同理SBCD=SCDE，S菱形ABCO=SADO+SDEO+SBCD+SCDE，S菱形ABCO=2（SDEO+SCDE）=2SCDO=40，tanAOC=，OF=3x，OC= =5x，OA=OC=5x，S菱形ABCO=AOCF=20x2，解得：x= ，OF=3，CF=4，点C坐标为（3，4），反比例函数y= 的图象经过点C，代入点C得：k=24.考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.菱形的性质；4.解直角三角形2.（四川省达州地区2017年中考数学模拟）如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE有下列四个结论：CEF与DEF的面积相等；AOBFOE；DCECDF； AC=BD其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题解析：一次函数y=x+3的图象与轴，y轴交于A，B两点，A（-3，0），B（0，3）与反比例函数y=的图象相交于C，D两点，解得或，C（-4，-1），D（1，4）DFx轴，CEy轴，E（0，-1），F（1，0），CE=DF=4，CF=DE=在DCE与CDF中， DCECDF（SSS），故正确；设直线EF的解析式为y=mx+n（m0），E（0，-1），F（1，0），解得 ，直线EF的解析式为y=x-1直线AB的解析式为：y=x+3，ABEF，FEO=ABO，EFO=BAO，AOBFOE，故正确；EFAB，CEF与DEF同底等高，CEF与DEF的面积相等，故正确；A（-3，0），B（0，3），C（-4，-1），D（1，4），AC=，BD=，AC=BD，即正确故选D课时作业能力提升一、选择题1. （山东省滨州博兴县2017届九年级学业水平模拟）函数是反比例函数，则m的值为（）A. 0 B. -1 C. 0或-1 D. 0或1【答案】A【解析】由是反比例函数，得m2+m-1=-1且m+1=0， 解得m=0， 故选：A2. （2017郴州第6题） 已知反比例函数的图象过点，则的值为（ ）A B C D 【答案】C.【解析】试题分析：直接把点（1，2）代入反比例函数可得k=-2,故选C.考点：反比例函数图象上点的坐标特点.3. （山东省德州市2017年中考数学第三次模拟）已知反比例函数的图象在一、三象限，则直线y=kx+k的图象经过（ ）.A. 一、二、三象限 B. 二、三、四象限C. 一、三、四象限 D. 一、二、四象限【答案】A【解析】反比例函数y= 的图象在第一、三象限，k0，一次函数y=kx+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的交点在x轴的上方，即它的图象经过第一、二、三象限故选A4. （2017江苏徐州第7题）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，则不等式的解集为 （ ）A B或 C. D或【答案】B考点：反比例函数与一次函数的交点问题5（山东省德州市2017年中考数学第二次模拟）在函数的图像上有三点、，若 则下列正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：本题利用反比例函数的增减性即可作答.解：，反比例函数的图象位于二、四象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小.，又第二象限内图象上的点的纵坐标大于第四象限上的点的纵坐标，.故选B.考点：反比例函数的性质6. （河南省2017年中考数学押题）如图，直线lx轴于点P，且与反比例函数y1=（x0）及y2=（x0）的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知OAB的面积为2，则k1k2的值为（）A. 2 B. 3 C. 4 D. 4【答案】C考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征7. （辽宁省丹东市第六中学2017届九年级第二次模拟）已知函数y=的图像经过点（1，-1），则函数y=kx-2的图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】将（1，-1），代人y=，得k=-1，所以一次函数的解析式为y=-x-2.根据k=-10，且过点（0，-2），可判断图像经过二、三、四象限.故选A.8.在平面直角坐标系中，直线y =x2与反比例函数的图象有唯一公共点. 若直线与反比例函数的图象有2个公共点，则b的取值范围是（ ）(A) b2. (B) 2b2. (C) b2或b2.(D) b2.【答案】C【解析】试题分析：根据题意可知这个一次函数y =x2和反比例函数的交点为（1，1），直线y =x2与y轴的交点为（0,2），根据对称性可知直线y =x2向下平移，得到y=-x+b，会与双曲线的另一支也有一个交点（-1，-1），且这时的直线y=-x+b与y轴的交点为（0，-2），即直线为y=-x-2，因此这两条直线与双曲线有两个交点时，直线y =x2向上移，b的取值范围为值为b2，或直线y=-x-2向下移，b的取值范围为b2，即b2或b2.故选C考点：一次函数的平移，反比例函数与一次函数的交点二、填空题9 （2016-2017学年苏州市工业园区东沙湖学校八年级第二学期数学期中模拟）如图,已知双曲线y= (k0)经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若OBC的面积为6，则k=_.【答案】4【解析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点,ODE的面积和OAC的面积相等。OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6.设D点的横坐标为x,纵坐标就为，D为OB的中点。EA=x ，AB=，四边形DEAB的面积可表示为： ，k=4.故答案为：4.考点：反比例函数.10. （辽宁省盘锦市2017年中考三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点，当y1y2时，1x3，则一次函数的解析式为_.【答案】y=x2【解析】根据题意得出A、B两点的坐标，分别代入反比例函数y=即可求得坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式.解：根据题意：A、B两点的横坐标分别为-1，3，把x=-1代入y=得，y=-3，A（-1，-3），把x=3代入y=得，y=1，B（3，1），一次函数y1=kx+b的图象经过A、B两点，解得.一次函数的解析式为y=x-2.故答案为：y=x-2.考点：反比例函数与一次函数的性质. 11. （2017贵州黔东南州第15题）如图，已知点A，B分别在反比例函数y1=-和y2=的图象上，若点A是线段OB的中点，则k的值为 【答案】-8【解析】试题解析：设A（a，b），则B（2a，2b），点A在反比例函数y1=的图象上，ab=2；B点在反比例函数y2=的图象上，k=2a2b=4ab=8考点：反比例函数图象上点的坐标特征12. （2017江苏盐城第16题）如图，曲线l是由函数y=在第一象限内的图象绕坐标原点O逆时针旋转45得到的，过点A（-4，4），B（2，2）的直线与曲线l相交于点M、N，则OMN的面积为 【答案】8.【解析】试题解析：A（-4，4），B（2，2），OAOB，建立如图新的坐标系（OB为x轴，OA为y轴在新的坐标系中，A（0，8），B（4，0），直线AB解析式为y=-2x+8，由，解得或，M（1.6），N（3，2），SOMN=SOBM-SOBN=46-42=8考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数系数k的几何意义13. （2017山东烟台第17题）如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，若，则的值为 .【答案】3【解析】试题解析：设点P（m，m+2），OP=，解得m1=1，m2=3（不合题意舍去），点P（1，3），3=，解得k=3考点：反比例函数与一次函数的交点问题14. （2017年四川省达州市中考数学模拟）如图，A、B是双曲线y=上的两点，过A点作ACx轴，交OB于D点，垂足为C若D为OB的中点，ADO的面积为3，则k的值为_【答案】8【解析】过点B作BEx轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是OBE的中位线，即CD=BE，设A（x，），则B（2x，），故CD=，AD=，再由ADO的面积为1求出k的值即可得出结论考点：反比例函数综合题.三、解答题15. （2017湖南株洲第24题）如图所示，RtPAB的直角顶点P（3，4）在函数y=（x0）的图象上，顶点A、B在函数y=（x0，0tk）的图象上，PAx轴，连接OP，OA，记OPA的面积为SOPA，PAB的面积为SPAB，设w=SOPASPAB求k的值以及w关于t的表达式； 若用wmax和wmin分别表示函数w的最大值和最小值，令T=wmax+a2a，其中a为实数，求Tmin【答案】求k的值以及w关于t的表达式； Tmin=【解析】试题分析：（1）由点P的坐标表示出点A、点B的坐标，从而得SPAB=PAPB=（4）（3），再根据反比例系数k的几何意义知SOPA=SOPCSOAC=6t，由w=SOPASPAB可得答案；（2）将（1）中所得解析式配方求得wmax=，代入T=wmax+a2a配方即可得出答案试题解析：（1）点P（3，4），在y=中，当x=3时，y=，即点A（3，），当y=4时，x=，即点B（，4），则SPAB=PAPB=（4）（3），如图，延长PA交x轴于点C，则PCx轴，又SOPA=SOPCSOAC=34t=6t，w=6t（4）（3）=t2+t；（2）w=t2+t=（t6）2+，wmax=，则T=wmax+a2a=a2a+=（a）2+，当a=时，Tmin=考点：反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征.16. （2017浙江宁波第22题）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于、两点.点在轴负半轴上，的面积为12.(1)求的值；(2)根据图象，当时，写出的取值范围.【答案】（1）-12；（2）x-2或0x2.【解析】试题分析：（1）过点A作ADOC，根据ACO的面积为12,可求k的值；（2）联立方程组，求解得到交点坐标，从而可求出x的取值范围.试题分析：（1）如图，过点A作ADOC于点D，又AC =AOCD=DOSADO=SACO=6k=-12（2）由（1）得：y=联立，得 解得：， 故，当时，的取值范围是x-2或0x2.考点：反比例函数与一次函数的交点问题.17. （山东省德州市六校2018届九年级上学期第一次联考）一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A（2，1），B（1，n）两点.（1）求反比例函数的解析式；（2）求一次例函数的解析式；（3）求AOB的面积.【答案】(1) y；（2）yx1；(3) .【解析】试题分析：（1）将A（2，1）代入反比例函数解析式，求出m；（2）将x=1代入反比例函数解析式，求出n的值，已知两个点的坐标，要求一次函数解析式，将一次函数解析式设为一般形式，将两个点的坐标代入解析式求出未知参数即可；（3）设直线yx1与坐标轴分别交于C、D，将SAOB分割成SBOD、SCOD、SAOC三部分，分别求出三部分的面积再求和即可.试题解析：(1)A（2,1）， m2，反比例函数的解析式为y.考点：反比例函数与一次函数的交点问题18. （2017广西百色第21题）已知反比例函数的图象经过点，点与点关于原点对称，轴于点，轴于点（1） 求这个反比例函数的解析式；（2） 求的面积.【答案】（1）反比例函数的解析式为y= ；（2）SACD=6【解析】试题分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据三角形的面积公式，可得答案试题解析：（1）将B点坐标代入函数解析式，得 =2，解得k=6，反比例函数的解析式为y= ；（2）由B（3，2），点B与点C关于原点O对称，得C（3，2）由BAx轴于点A，CDx轴于点D，得A（3，0），D（3，0）SACD=ADCD= 3（3）|2|=6考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.反比例函数图象上点的坐标特征；3.坐标与图形变化旋转26
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