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平面向量1.向量的有关概念(1)平行向量：方向相同或 的非零向量；平行向量又叫 向量.规定: 与任一向量.(2)相等向量：长度 且方向 的向量.(3)相反向量：长度 且方向 的向量.2 .向量的线性运算3 .共线向量定理向量a(aw0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数入，使_b=d.结论：1 .零向量与任何向量共线.2 .与向量a(aw。)共线的单位向量彳|3 .若存在非零实数 n使得丽=AmXB= BC或正反则A, B, C三点共线.4 .首尾相连的一组向量的和为0.一Iff5 .若P为AB的中点，则O22( OAF OB .6 .若a、b不共线，且 a= b则壮尸0.1 .下列结论正确的打“，”，错误的打“x”.向量就是有向线段；()(2)零向量没有方向；()若 |a| =| b| ,则 a=b或 a= b；()若 a / b, b / c,则 a / c;()(5)若向量AB归向量Cd是共线向量，则点 A, B, C, D必在同一条直线上.()2 . (2018江南十校联考)化简AB+芥 AC- ()A. ADB. 0C. BCD. DA3.如图所示，在正六边形 ABCDEF, 弧 CDEF=)A. 0B. BEC.ADD. CF4.（2017太原模拟）向量e1,e2, a, b在正方形网格中的位置.如图所示，向量 ab等于（111 匚1011i 1_A.一 4ei 一 2e?B. 2ei 一 4e2C.ei 3e2 D. 3ei e25.（2015新课标2）设向量ab不平行，向量 a+b与a+2b平行，则实数 壮（2）（2017成都模拟）设a, b都是非零向量，下列四个条件中，使同|b|成立的充分条件是（）B. a= - bA. | a| = | b| 且 a / bC. a / bD. a=2b（2017南昌模拟）下列关于向量的叙述不正确的是（）A.向量AB的相反向量是BAB.模长为1的向量是单位向量，其方向是任意的C.若A, B, C, D四点在同一条直线上，且 AB= CD则AB=CDD.若向量a与b满足关系a+b=0,则a与b共线例2 （1）（2015 全国卷I ）设D为 ABO在平面内一点，BC= 3CD则（）31、4-A. AD= - -AB+ -AC33_ 1 鼻 4-B. AD=-AB-AC33C.AP mA4（2）（2018 山东曲阜期中）如图，在 ABC中2 一 -AC则实数m的值为（）91A，9B.C. 1D.（3）（理）（2017河南洛阳统考）如图，在正方形ABC并，M N分别是BC CD的中点,若AC= ;AMh BN，则正科的值为（）8A，5C. 1B.8D.AC= b, BC= 4BD CA= 3CE 则DEE=(31A. 4b-3a31C 4” 3bB 三a3b12a 4D. -5b-3a12（2）（2017 山东师大附中二模）在ABC中，AB= 2BC= 3, /ABC= 60 , AD为 BC边的高，O为AD的中点，若Ab=丽石C则计尸（A.C.平行四边形 ABCD, M为BC的中点，若AB= QB则 心产(1)设 e1 与 e2是两上不共线向量，Ab= 3e1+2e, CB= ke1 + e2, CD 3e1-2ke2,若 A, BD三点共线，则k的值为（）A.4B- -9C.D.不存在（2）已知向量a, b不共线，且c=后+b, d= a+（2卜1）b,若c与d共线反向，则实1）（2018江西临川一中月考）如图，已知AB= a数入的值为()1A. 1B. - 2C. 1 或 D. - 1 或22一 一一 1一 一例 4 在 ABC中，若 AD= 2DB C-C/V ?CB 则入=()3B.A.D.二、向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a=(X1,y。，b=(x2,y2),贝Ua+b=_,a- b=_,?a=|a| =_.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.设 A(X1, y1), B(X2, yj 则 AB= _, | 前=_4.向量共线的坐标表示若 a=(X1, y1), b = (X2, y2),则 a/b?.1 .下列命题中正确命题的个数为()在abc , Ab CA可以作为基底；若a, b不共线，且 入a+ pb =灰a+你b,则 为=?2, p1=陛；若 A(3,5)、B(1,9),则 AB= ( 4,4);X1 y1右a=(X1, y1) , b=(X2, y?),则a/b的充要条件可表不成 一=一.X2 y2A.1B.2C.3D.42 . (2015 新课标卷)已知点 A(0,1) , B(3,2),向量 AC= (4, 3),则向量 BC=()A.(7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)3 .设向量 a= (2tan a, tan 3 ,向量 b= (4 , 3),且 a+ b = 0,则 tan( a+ 等于()A.B.C.D.4.（文）（20i6 全国卷n ）已知向量a=（m,4）,b= (3 , 2),且 a / b,则 m=A.(理)(20i8 吉林省统考)向量 a=( i,i) , b=(x, -2)，若(a+2b) / b,则 x=()C.5.已知向量 a= (2,i) , b= (i , 2),若 ma+ nb= (9, -8)( m n C R),则m- n的值为2D.7i （i）（20i4 福建）在下列向量组中，可以把向量 a=（3,2）表示出来的是A.ei=(0,0) ， e2=(i,2)B.ei=(-i,2) , e2=(5, -2)C.ei=(3,5) , e2=(6,i0)D.e=(2, 3), e2=(2,3)（2）如图，已知平面内有三个向量 OA 加 Oc其中OAtOb勺夹角为120,OAfCOj 夹角为 30,且|OA = |Ob=1, |Oc =A庆R）,则计科的值为（1）如果ei, e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（）B.e 2e2 与 e+ 2e2C. ei + e2 与 ei - 金D.ei 2e2与一ei + 2e2例2 （i）（20i7广西耒宾实验中学诊断）设向量a= (i,2) ， b=( -3,5) , c=(4, x),若a+ b =心（入C R）,则计x的值为（）A.ii万B.ii万C.292D.292(2)向量a, b, c在正方形网格中的位置如图所示，若c= a+ pb（ Z,代R）,则4=(3)(理)(2017 东北三省四市二模 )已知向量 OA= (3,1) , Ob= ( -1,3) , O(C= myOA nOB(m0, n0),若 n=1,则|Oc的最小值为()A.B.,10 TC.5D.10(1)已知 a= (1 , - 1) , b= (1,0) , c= (1 , 2),若 a 与 nb c平行，则 mi=()A. - 1B. 1C. 2(2)已知 a= (43sin x, sin x),D. 3b=(cos x, sin x) , xe (0 , 2),若 a/ b,贝U x=1 .向量的夹角范围是.2 .向量数量积几何意义：a b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积.3.平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a=(x1, y1), b=(x2, 窃，。为向量a, b的夹角.数量积：a b= | a| b|cos 0= _.模： ai = qa_a =.设A(x1, y1) , B(x2, y。，则A, B两点间的距离|AB=|丽=夹角：cos 0= _= _.已知两非零向量 a与b, a,b? ab=0? _;1. 下列结论正确的打“，”，错误的打“x”.(1)两个向量的数量积是一个向量.(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量.()(3)若ab0,则a和b的夹角为锐角；若 ab0,则a和b的夹角为钝角.(X)(4)若 ab=0,则 a=0 或 b=0.()(5)( ab) c = a (bc).()(6)若 a b= a c(aw0),贝U b= c.()2. 向量 a=(2, 1), b=( 1,2),则(2a+b) a=()B. 5A. 6C. 1D. 63. (2017全国卷I )已知向量a, b的夹角为60, | a| = 2, | b| =1,贝U|a+2b| =4. (2017全国卷I )已知向量a=( 1,2) , b=(m,1).若向量a+b与a垂直，则 m=5. (2016课标全国出)已知向量B好(2, -2) , BC= (gL 2),则/ ABC=()A. 30B. 45C. 60D, 120例 2 (1)(2018四川绵阳一诊)已知向量 a=(x1,2) , b=(x, 1),若 a/b,贝U | a+b|=()A.2B. 2C. 2 2D. 3 2(2)若平面向量a、b的夹角为60,且a=(1 ,出)，| b| =3,则|2a b|的值为()A. 13B.37C.13D. 1(3)(2018 云南昆明一中模拟)已知向量 a=(2,1) ,ab=10,|a + b| =5/2,则| b| =.(1)(2018 山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满足|b|=2| a| =2, a与b的夹角为120,则 |a2b| = |导学号 58532679 |( B )A.13B.,21C. 13D. 21(2)(2017 吉林市调研)向量 a=(cos10 , sin10 ), b= (cos70 , sin70 ),则 |a2b|例3 (1)已知向量a=(2,1) , b = (1,3),则向量2ab与a的夹角为()A. 135B. 60C. 45D. 30(2)设平面向量a, b满足| a| =1, |b| =2, | a2b| =55.则向量a, b的夹角的余弦值为()B.D.A.C.上题中a在a+b方向上的投影为例 4(1)已知向量 a=(6, 2), b=(1 , m),且 a,b,则 |a 2b| =（2）（2017重庆）已知非零向量a, b满足|b|=4|a|,且a（2a+b）,则a与b的夹角为（）B.A.怖3C.D.5兀6向量a, b均为非零向量，（a2b） La, （b-2a） b,则a, b的夹角为（）B.A.D.5兀-6（1）（文）（2018河南八市测评）设向量a= （cos0, 2) , b= ( - 1, sin ，若 a，b,贝U tan 0(理)(2018 河南八市测评)设向量 a = (cos 0, 2), b=( 1, sin若 ab,则 sin2 0(2)(2016 全国卷n )已知向量 a=(1 , m) , b= (3 , - 2),且(a+b) b,则 m ()A. - 8B. - 6C. 6D. 8例5(1)已知向量a=(43sin 0, 1), b=(1, cos。)，则a b的最大值为 .(2)(2017广西桂林、崇左联合调研 )在矩形ABCM, AB= 2, AD= 1, E为线段BC的点，则XEDE勺最小值为()15A. 2B417CD. 44
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