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考点二十九：尺规作图 聚焦考点温习理解1尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺2基本作图(1)作一条线段等于已知线段，以及线段的和差；(2)作一个角等于已知角，以及角的和差；(3)作角的平分线；(4)作线段的垂直平分线；(5)过一点作已知直线的垂线3利用基本作图作三角形(1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形；(3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形；(5)已知一直角边和斜边作直角三角形4与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)；(2)作三角形的内切圆；(3)作圆的内接正方形和正六边形5有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型6作图的一般步骤尺规作图的基本步骤：(1)已知：写出已知的线段和角，画出图形；(2)求作：求作什么图形，它符合什么条件，一一具体化；(3)作法：应用“五种基本作图”，叙述时不需重述基本作图的过程，但图中必须保留基本作图的痕迹；(4)证明：为了验证所作图形的正确性，把图作出后，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件；(5)讨论：研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形；在哪些情况下，问题有一个解、多个解或者没有解；(6)结论：对所作图形下结论名师点睛典例分类考点典例一、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图【例1】（2017四川自贡第22题）两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在DCE的内部，请画出该山庄的位置P（不要求写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析【解析】试题分析：根据角平分线的性质可知：到CD和CE的距离相等的点在DCE的角平分线上，所以第一步作：ECD的平分线CF；根据中垂线的性质可得：到A、B的距离相等的点在AB的垂直平分线上，所以第二步作线段AB的垂直平分线MN，其交点就是P点.试题解析：作法：作ECD的平分线CF，作线段AB的中垂线MN，MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置考点：作图设计【点睛】本题借助实际场景，考查了几何基本作图的能力，考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用【举一反三】（2017黑龙江绥化第22题）如图，为某公园的三个景点，景点和景点之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭，使景点、景点到凉亭的距离之和等于景点到景点的距离请用直尺和圆规在所给的图中作出点(不写作法和证明，只保留作图痕迹)【答案】作图见解析.【解析】考点：作图应用与设计作图考点典例二、画已知直线的平行线，垂线【例2】（北京市燕山区2017届九年级一模）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程. 请回答：该作图依据是_【答案】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行， 两点确定一条直线【解析】四边相等的四边形是菱形，菱形对边平行， 两点确定一条直线。【点睛】尺规作图经过已知直线外一点作这条直线的平行线，实际上就是基本作图：作一个角等于已知角【例3】（北京市海淀区2017-2018学年九年级上学期期中）下面是“作已知三角形的高”的尺规作图过程.已知： .求作： 边上的高作法：如图，(1)分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于， 两点；(2)作直线，交于点；(3)以为圆心， 为半径O,与CB的延长线交于点D，连接AD，线段AD即为所作的高.请回答；该尺规作图的依据是_【答案】到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角；两点确定一条直线.【解析】由（1）（2）（3）可得OA=OC=OD，所以A、D、C在以O为圆心，AC为直径的圆上，根据直径所对的圆周角是直角，得ADC=90，即AD为BC边上的高.故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；直径所对的圆周角是直角；两点确定一条直线.【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图时在五种基本作图的基础上你进行作图，一般是几何了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.【举一反三】（2017浙江衢州第7题）下列四种基本尺规作图分别表示：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（）ABCD【答案】C.考点：基本作图.考点典例三、画三角形【例4】（2017江苏无锡第24题）如图，已知等边ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）作ABC的外心O；（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】试题分析：（1）根据垂直平分线的作法作出AB，AC的垂直平分线交于点O即为所求；（2）过D点作DIBC交AC于I，分别以D，I为圆心，DI长为半径作圆弧交AB于E，交AC于H，过E点作EFAC交BC于F，过H点作HGAB交BC于G，六边形DEFGHI即为所求正六边形试题解析：（1）如图所示：点O即为所求（2）如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形考点：1.作图复杂作图；2.等边三角形的性质；3.三角形的外接圆与外心【点睛】(1)作三角形包括：已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；已知三角形的三边，求作三角形；(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点；而求作直角三角形时，一般先作出直角，然后根据条件作出所求的图形【举一反三】已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作ABC，使BC=a，AB=c，ABC=（不写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析.【解析】试题分析：先作MBN=，再在MBN的两边上分别截取BC=a，AB=c，连接AC即可试题解析：考点：作图基本作图考点典例四、通过画图确定圆心【例5】（2017浙江嘉兴同学19题）如图，已知，（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，的切点，（保留痕迹，不必写作法）；（2）连接，求的度数【答案】（1）作图见解析；（2）70【解析】试题分析：（1）直接利用基本作图即可得出结论；（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论试题解析：（1）如图1，O即为所求（2）如图2，连接OD，OE，ODAB，OEBC，ODB=OEB=90，B=40，DOE=140，EFD=70考点：1.作图复杂作图；2.三角形的内切圆与内心【点睛】本题考查了复杂的尺规作图，角平分线，线段中垂线及圆，解题的关键是找准圆周心作出圆【举一反三】(浙江省杭州市余杭区2017届九年级上学期期中) 如图，（1）作ABC的外接O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求O的半径【答案】（1）（1）作图见解析；（2）【解析】试题分析：（1）作线段AB于BC的垂直平分线相交于点O，则点O即为圆心，OA为半径，作ABC的外接圆即可；（2）先根据勾股定理求出CD的长，设OC=OA=r，则OD=CD-r，在RtAOD中，利用勾股定理求出r的值即可试题解析：（1）如图，O即为所求；（2）AB=6cm，AC=BC=5cm，AD=AB=3cm，CD=4cm设OC=OA=r，则OD=4-r，在RtAOD中，AD2+OD2=OA2，即32+（4-r）2=r2，解得r=课时作业能力提升1（2017广西四市）如图，ABC中，ABAC，CAD为ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ）ADAE=B BEAC=C CAEBC DDAE=EAC【答案】D【解析】试题分析：根据图中尺规作图的痕迹，可得DAE=B，故A选项正确，AEBC，故C选项正确，EAC=C，故B选项正确，ABAC，CB，CAEDAE，故D选项错误，故选D考点：作图复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质2（2016-2017学年江苏盐城东台市第二教育联盟初二上10月考）用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是（ ）.A已知两条直角边 B已知两个锐角C已知一直角边和直角边所对的一锐角 D已知斜边和一直角边【答案】B考点：作图复杂作图3（河南省驻马店市确山县2017-2018学年八年级上学期期中）如图，已知钝角ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧，交弧于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.下列叙述正确的是（ ）A. AC平分BAD B. BH垂直平分线段AD C. D. AB=AD【答案】B【解析】解：、错误CA不一定平分BAD、正确如图连接CD、BDCA=CD，BA=BD，点C、点B在线段AD的垂直平分线上，直线BC是线段AD的垂直平分线，故A正确、错误应该是SABC=BCAH、错误根据条件AB不一定等于AD故选B点睛：本题考查作图基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法4（福建省晋江市2017年初中学业质量检查）已知点，点都在直线的上方，试用尺规作图在直线上求作一点，使得 的值最小，则下列作法正确的是( ).A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，由作图可知，B，B关于直线对称，所以BP= BP,此时AP +PB=AP+PB值最小.5（2017湖北随州）如图，用尺规作图作AOC=AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F，那么第二步的作图痕迹的作法是（）A. 以点F为圆心，OE长为半径画弧B. 以点F为圆心，EF长为半径画弧C. 以点E为圆心，OE长为半径画弧D. 以点E为圆心，EF长为半径画弧【答案】D【解析】解：用尺规作图作AOC=AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧故选D6（浙江省温州市鹿城区第二十三中学2017学年H上八年级期中）如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为,所以.由这种作图方法得到的和全等的依据是（ ）A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS【答案】A【解析】根据作图方法可知：D O =DO， O C=OC，DC=DC，根据SSS即可得，故选A.7（2017届浙江省杭州市淳安县中考模拟）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎期中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分。例如可将圆6等分，如图只需在O上任取点A，从点A开始，以O的半径为半径，在O上依次截取点B,C,D,E,F.从而点A,B,C,D,E,F把O六等分。下列可以只用圆规等分的是（ ）两等分 三等分 四等分 五等分A. B. C. D. 【答案】D【解析】经过圆心的直径可将圆周两等分；画一条直径，以直径的一个端点为圆心，以圆的半径为半径画弧，与原有圆有两个交点，这两个交点与直径另一个端点就是圆的三等分点；画两条互相垂直的直径就可以将圆四等分；五等分圆如下图所示：8（山东省日照市莒县2016-2017学年期末）下列尺规作图，能判断AD是ABC边上的高是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B考点：作图基本作图9（浙江省丽水市青田县八校联盟2017届九年级上学期第二次教学效果调研）已知线段AB,下列尺规作图中,PQ与AB的交点O不一定是AB的中点的是( )A. A B. B C. C D. D【答案】C10（2017湖北宜昌卷）如图，在中，尺规作图如下：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线，交于点,连接，则下列结论正确的是（ ）A平分 B垂直平分 C. 垂直平分 D平分【答案】C【解析】试题分析：根据线段垂直平分线的作法可得，GH垂直平分线段EF故选：C考点：1、作图基本作图；2、线段垂直平分线的性质11（浙江省杭州市青春中学2016-2017学年八年级上学期期中）如图，用尺规作图作“一个角等于已知角”的原理是：因为DOCDOC，所以DOCDOC。由这种作图方法得到的DOC和DOC全等的依据是_（写出全等判定方法的简写）【答案】SSS【解析】由题意得， 得DOCDOC.12（2017年初中毕业升学考试河北卷）如图，依据尺规作图的痕迹，计算=_【答案】56【解析】试题分析：如图，根据作图痕迹可知，GH垂直平分AC，AG平分CAD.四边形ABCD是矩形，ADBC，CAD=ABC=68。AG平分CAD，CAG=CAD=34。GH垂直平分AC，AHG=90，AGH=90-34=56。=AGH，=56。考点：尺规作图，矩形的性质，角平分的定义，直角三角形的性质.13（2017年北京怀柔初三数学二模）下面是一道确定点P位置的尺规作图题的作图过程.如图，直线L1与L2相交于点O，A,B是L2上两点，点P是直线L1上的点，且APB=30，请在图中作出符合条件的点P.作法：如图，（1）以AB为边在L2上方作等边ABC；（2）以C 为圆心，AB长为半径作C交直线L1于P1，P2两点.则P1、P2就是所作出的符合条件的点P.请回答:该作图的依据是_.【答案】一条弧所对圆周角的度数是圆心角度数的一半.【解析】ABC是等边三角形，C=60，AP1B=30，AP2B=30依据是：一条弧所对圆周角的度数是圆心角度数的一半.14.（2017甘肃庆阳第21题）如图，已知ABC，请用圆规和直尺作出ABC的一条中位线EF（不写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析【解析】试题分析：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F线段EF即为所求试题解析：如图，ABC的一条中位线EF如图所示，方法：作线段AB的垂直平分线得到AB的中点E，作AC的垂直平分线得到线段AC的中点F线段EF即为所求考点：作图复杂作图；三角形中位线定理15.（2017广西贵港第20题）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：已知线段和，点 在上（如图所示）.（1）在边上作点，使 ；（2）作的平分线；（3）过点作的垂线.【答案】作图见解析.【解析】试题分析：（1）在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置；（2）根据角平分线的作法即可作出AOB的平分线；（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线；试题解析：（1）点P为所求作；（2）OC为所求作；（3）MD为所求作；考点：作图复杂作图16.（2017湖北孝感第20题）如图，已知矩形 .（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：以点为圆心，以的长为半径画弧交边于点，连接；作的平分线交 于点；连接;（2）在（1）作出的图形中，若，则的值为 .【答案】（1）画图见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）根据题目要求作图即可；（2）由（1）知AE=AD=10、DAF=EAF，可证DAFEAF得D=AEF=90，即可得FEC=BAE，从而由tanFEC=tanBAE=可得答案试题解析：（1）如图所示；考点：1.作图基本作图；2.全等三角形的判定与性质；3.解直角三角形.17.（2017贵州六盘水第25题）如图，是的直径，点在上，为的中点，是直径上一动点.(1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).(2)求的最小值.【答案】（1）详见解析；(2)2.试题分析：(1)画出A点关于MN的称点,连接B,就可以得到P点; (2)利用得AON=60，又为弧AN的中点,BON=30，所以ON=90，再求最小值试题解析：(1)如图，点P即为所求作的点.(2)由（1）可知，的最小值为的长，连接,OB、OAA点关于MN的称点，AMN=30， 又为的中点 又MN=4 在Rt中， 即的最小值为2.考点：圆，最短路线问题18.（2017江苏盐城第24题）如图，ABC是一块直角三角板，且C=90，A=30，现将圆心为点O的圆形纸片放置在三角板内部（1）如图，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC=9，圆形纸片的半径为2，求圆心O运动的路径长【答案】（1）作图见解析；（2）15+【解析】试题分析：（1）作ACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O，作射线CO即可；（2）添加如图所示辅助线，圆心O的运动路径长为COO1O2，先求出ABC的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO1、四边形O1O2HG、四边形OO2IF均为矩形、四边形OECF为正方形，得出OO1O2=60=ABC、O1OO2=90，从而知OO1O2CBA，利用相似三角形的性质即可得出答案试题解析：（1）如图所示，射线OC即为所求；（2）如图，圆心O的运动路径长为COO1O2，过点O1作O1DBC、O1FAC、O1GAB，垂足分别为点D、F、G，过点O作OEBC，垂足为点E，连接O2B，过点O2作O2HAB，O2IAC，垂足分别为点H、I，在RtABC中，ACB=90、A=30，AC=，AB=2BC=18，ABC=60，CABC=9+9+18=27+9，O1DBC、O1GAB，D、G为切点，BD=BG，在RtO1BD和RtO1BG中，O1BDO1BG（HL），O1BG=O1BD=30，在RtO1BD中，O1DB=90，O1BD=30，BD=，OO1=9-2-2=7-2，O1D=OE=2，O1DBC，OEBC，O1DOE，且O1D=OE，四边形OEDO1为平行四边形，OED=90，四边形OEDO1为矩形，同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，又OE=OF，四边形OECF为正方形，O1GH=CDO1=90，ABC=60，GO1D=120，又FO1D=O2O1G=90，OO1O2=360-90-90=60=ABC，同理，O1OO2=90，OO1O2CBA，即，COO1O2=15+，即圆心O运动的路径长为15+考点：切线的性质；作图复杂作图19.（2017甘肃兰州第22题）在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线和外一点求作：直线的垂线，使它经过点.做法：如图：(1)在直线上任取两点、；(2)分别以点、为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；(3)作直线.参考以上材料作图的方法，解决以下问题：(1)以上材料作图的依据是.(3)已知：直线和外一点，求作：，使它与直线相切。(尺规作图，不写做法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；（2）作图见解析.【解析】试题分析：（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案 试题解析：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，（2）如图考点：作图复杂作图；切线的判定24
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