初中数学论文：一个新三角形面积公式的拓展与应用

一个新三角形面积公式的拓展与应用 2009年的中考数学题中，出现了一类新的题型，它以抛物线为试题背景，采用点在抛物线上运动为方式，求坐标系下斜三角形面积的最大值。这类试题所涉及的知识面广，综合强，能力要求高，并且与高中的数学知识密切相关。这样的试题突出考查了初中数学的核心内容和学生数学阅读理解能力、综合运用已学知识解决问题的能力。能有效地考查出学生扎实的基础和良好的数学学习能力。现以2009年的中考题举例说明如下：引例：（2009年益阳市中考题改编）阅读材料： 如图1，过ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 证明： （其中、是直线AD与外侧两直线之间的距离）研究拓展：我们如果把ABC放到直角坐标系中来研究（如图2），设，则铅垂高：，水平宽： 问题解决： 如图3，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及；(3)是否存在一点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1) (2)CD4-22(平方单位)(3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，则铅垂高由SPAB=SCAB得：化简得：，解得，将代入中，解得P点坐标为应用举例例1： (2009年四川省内江市)如图4所示，已知点A（1，0），B（3，0），C（0，t），且t0，tanBAC=3，抛物线经过A、B、C三点，点P（2，m）是抛物线与直线的一个交点。（1）求抛物线的解析式；（2）对于动点Q（1，n），求PQ+QB的最小值；（3）若动点M在直线上方的抛物线上运动，求AMP的边AP上的高h的最大值。解：（1） ，。直线AP。（2）顶点坐标，对称轴直线，连接AP交对称轴于Q，。（3）要求APM边AP上高最大，而AP是定值，所以只要求APM最大即可，铅垂高水平宽， 当时, APM的面积最大时, APM边AP上高也最大。铅垂高 MEH是等腰直角三角形，。AMP的边AP上的高h的最大值是。例2：（2009年深圳市）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120，得到线段OB.（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB的最大面积；若没有，请说明理由.解：（1）B（1，）（2）设抛物线的解析式为y=ax(x+a)，代入点B（1, ），得，因此（3）如图，抛物线的对称轴是直线x=1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，BOC的周长最小.直线AB为，点C的坐标为（1，）.（4）如图，过P作y轴的平行线交AB于D， 当x=时，PAB的面积的最大值为，此时.例3、（2009年江西省）如图7，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.（1）直接写出、三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？设的面积为，求与的函数关系式.解：（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）2分抛物线的对称轴是：x=13分（2）直线BC的函数关系式为：E（1，2）P（m，m+3）当时，线段DE=4-2=2，线段当时，四边形为平行四边形由解得：（不合题意，舍去）因此，当时，四边形为平行四边形 （03）例4、（2009年济南）已知：如图8，抛物线的对称轴为直线，与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小请求出点P的坐标（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）过点D作交轴于点连接、设的长为，的面积为求与之间的函数关系式试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由解：（1）（2）对称轴直线，（3），铅垂高直线AC， 直线DE，），水平宽当时，存在最大值，最大值为。例5、（2009年莆田市）已知，如图9抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值： (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）（2）过点D作DMy轴分别交线段AC和x轴于点M、N。直线AC的解析式为， +当时，有最大值四边形ABCD面积有最大值。（3）解（略）例6、.(2008 四川 广安)如图10，已知抛物线经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物线的解析式（2）设此抛物线与直线相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于轴的直线与抛物线交于点M，与直线交于点N，交轴于点P，求线段MN的长（用含的代数式表示）（3）在条件（2）的情况下，连接OM、BM，是否存在的值，使BOM的面积S最大？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由（1）（2）（3）与的交点B的坐标为. = 当时，BOM的面积S最大，最大值是。运用上述新的三角形面积公式(其中为水平宽，为铅垂高)，进行解决有关抛物线背景下斜三角形的面积问题，它有独到之处，只要找到斜三角形中的水平宽和铅垂高，运用公式列出等量关系，使问题得到解决。