浙江省宁波市高三五校适应性考试数学试卷(理)含答案

2016年宁波市五校联考数学试卷数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分满分150分， 考试时间120分钟参考公式：球的表面积公式:S = 4R2， 球的体积公式：V=R3 ， 其中R表示球的半径；柱体的体积公式: V=Sh 其中S表示柱体的底面积， h表示柱体的高；锥体的体积公式：V=Sh ，其中S表示锥体的底面积， h表示棱锥的高；台体的体积公式:其中S1，S2分别表示棱台的上、下底面积，h表示棱台的高一、选择题：(本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个是正确的，请选择其中你认为最正确的一个)正视图侧视图221俯视图书图11（第1题图）1某几何体的三视图如图所示，则在该几何体中，直角三角形的个数为( )A1 B2 C3 D4 2已知函数，则( ) A，是的一个周期； B，是的一个周期；C，是的一个周期；D，的最小正周期不存在3已知为单位向量，则在的投影为( )ABC D4 已知函数，数列的通项公式是，,那么“函数 在上单调递增”是“数列是递增数列的( )A充分不必要条件； B必要不充分条件；C充要条件； D既不充分也不必要条件5设整数满足约束条件，则取值范围是（）A B C D6 设，则( )A在这四个数中至少存在两个数，满足；B 在这四个数中至少存在两个数，满足；C在四个数中至多存在两个数，满足；D在这四个数中至多存在两个数，满足7过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线相交于、两点，则直线的斜率是（ ）A B C D8如图，在各棱长均为2的正三棱锥中，平面与棱、分别相交于点、，则四边形的周长的最小值是( ) A1 B 2 C3 D4二、填空题：(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)9设全集，则 ， 。10已知数列中，则数列的第2项是 所有项和 11已知双曲线的中心在原点，对称轴在坐标轴上，离心率为，且经过点，则该双曲线的标准方程是 ；渐近线方程是 12函数在内的一条对称轴方程是 ， 在内单调递增区间是 13已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 14已知点是正方体表面上一动点，且满足 ，设 与平面所成的角为，则的最大值是 15正三棱锥的每一条棱长均为，若，且满足，则动点的轨迹所围成的区域的体积是 三、解答题：（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本题满分14分）在中，为边上一点，已知，(1) 若，求角的大小；(2)若的面积为，求边的长17（本题满分15分）在等腰梯形中，是的中点，将绕旋转，得到梯形(1)求证平面；(2)求二面角的余弦值18（本题满分15分） 已知函数， (1)若，试确定在上单调性；并给出证明(2)当时，问是否存在一个常数，使得对于任意给定的正数，总存在实数G，使得当时，有19（本题满分15分） 已知分别是椭圆：的上下焦点，其中为抛物线:的焦点，点是与在第二象限的交点，且(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆相切的直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在一点满足，求实数的范围20（本题满分15分） 已知数列满足且，(1)求数列的通项公式；(2)求证：当时，2016年宁波市五校联考数学试卷数学（理科）试题参考答案侧视图（第1题图）正视图221俯视图书图书室图书室图11一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，满分40分，每小题只有一个是正确的，请选择其中你认为最正确的一个)1某几何体的三视图如图所示，则在该几何体中，直角三角形的个数为( D )A1 B2 C3 D4 2已知函数，则( B ) A，是的一个周期； B，是的一个周期；C ，是的一个周期；D ，的最小正周期不存在3已知为单位向量，则在的投影为( C )ABCD4 已知函数，数列的通项公式是，那么“函数 在上单调递增”是“数列是递增数列的( A )A充分不必要条件； B必要不充分条件；C充要条件； D既不充分也不必要条件5设整数满足约束条件，则取值范围是（C）A B C D解：，可行域内的整数点如图所示，目标函数在点处取到最小值，在点处取到最大值，所以选C6 设，则( B )A在这四个数中至少存在两个数，满足；B 在这四个数中至少存在两个数，满足；C在这四个数中至多存在两个数，满足；D在这四个数中至多存在两个数，满足解:把区间三等分，每个区间的长度为，于是由知至少有两个数在同一区间内，即存在在同区间内这两个数的差的绝对值小于，即，所以选B7如图，过抛物线上一点作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线相交于、两点，则直线的斜率是（ B ）A B C D解：选B，设，代入得：于是得，同理8如图，在棱长为2的正四面体中，平面与棱、分别相交于点、，则四边形的周长的最小值是( ) A1 B 2 C3 D4解：选D， 如图所示，周长最小，等于4 二、填空题：(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)9设全集，则 10已知数列中，则数列的第2项是 所有项和 3，13 解:，共有3项，所有项和为1311已知双曲线的中心在原点，对称轴在坐标轴上，离心率为，且经过点，则该双曲线的标准方程是 ；渐近线方程是 12函数在内的一条对称轴方程是 ， 在内单调递增区间是 一条对称轴方程可以是或中的一条，递增区间13已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 14已知点是正方体表面上一动点，且满足，设与平面所成的角为，则的最大值是 解: ，如图，建立坐标系，设正方体的棱长为，则的轨迹是以点为圆心，以为半径的球面与正方体的交线，即如图所示的圆弧，要使与平面所成的最大，只要圆弧上，且在上，的最小值为从而的最大值为，的最大值为15正三棱锥的各棱长均为，若，且满足，则动点的轨迹所围成的区域的体积是 解：动点的轨迹所围成的区域是介于平面与平面之间的部分，三、解答题：（本大题共5小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本题满分14分）在中，为边上一点，已知，(1) 若，求角的大小；(2) 若的面积为，求边的长解:( 1）在中，由正弦定理得则，则，所以或，5分又，所以或7分(2) 由已知得，即得，9分又由余弦定理得得，12分又，所以14分17（本题满分15分）在等腰梯形中，是的中点，将绕旋转，得到梯形(1)求证平面；(2)求二面角的余弦值（1）证明平面同理平面又平面平面平面平面6分（2）在等腰梯形中，是的中点，得又平面平面且，平面于是，8分如图建立空间直角坐标系，设，则，于是，；设平面的法向量为，则即取，所以，10分因为平面，平面平面，又易知四边形是菱形，所以，平面平面，平面，设，则交点为的中点，所以平面的法向量为，12分所以，由图知二面角为钝角，所以二面角的余弦为15分18(本题满分15分）已知函数， (1)若，试确定在上单调性；并给出证明(2)当时，问是否存在一个常数，使得对于任意给定的正数，总存在实数G，使得当时，有解：任取2分因为，所以函数在上单调递增7分(2)存在常数，9分12分解得所以取，当时，总有15分19(本题满分15分)已知分别是椭圆：的上下焦点，其中为抛物线:的焦点，点是与在第二象限的交点，且(1)求椭圆的标准方程；（2）与圆相切的直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在一点P满足，求实数的范围 解:由:知焦点坐标为，2分设，因为在抛物线上，所以又，即，得，4分又因为点在椭圆上，所以得所以椭圆的方程为：7分（2）直线与圆相切，所以当时，则，则因为 所以当时，切线的斜率不存在，不合题意，舍去当且时，得9分把代入椭圆方程得:易知，圆在椭圆内，所以直线与椭圆相交，令则，于是：因为，即的坐标为12分又因为在椭圆上，所以得，把代入得13分因为，所以，于是或，综上所述15分20(本题满分15分)已知数列满足且(1)求数列的通项公式；（2）求证：当时，解：由得，即，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，于是得5分(2)当时7分15分15