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第44课分类讨论型问题 基础知识 自主学习 1. 分类讨论是重要的数学思想，又是一种重要的解题策略，很多数学问题很难从整体上去解决，若将其划分为所包含的各个局部问题，就可以逐个予以解决，分类讨论在解题策略上就是分而治之各个击破 2. 一般分类讨论的几种情况： (1)由分类定义的概念必须引起的讨论； (2)计算化简法则或定理、原理的限制，必须引起的讨论； (3)相对位置不确定，必须讨论； (4)含有多种不定因素，且直接影响完整结论的取得而必须分类 讨论 3. 分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类时要做到不遗漏、不重复，善于观察，善于根据事物的特性与规律，把握分类标准，正确分类要点梳理要点梳理 难点正本疑点清源 1分类讨论型问题对解题的要求 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种可能情况，需要对各种情 况加以分类求解，然后综合归纳得出问题的正确答案，这就是分类讨 论 分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种 重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方 法，有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索 性，能训练人的思维条理性和概括性 2需要运用分类讨论思想解决的数学问题，就其引起分类的原 因，可归结为以下几个方面： (1)涉及的数学概念是分类定义的； (2)运用的数学定理、公式或运算性质、法则有范围或者是条件限 制，或者是分类给出的； (3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能； (4)数学问题中含有参数，这些参数的取值不同会导致不同的结果基础自测 1已知|x|5，y3，则xy的值等于() A8B2C2D8或2 答案D 解析因为|x|5，所以x5或5，因此xy532或xy538. 2已知点P(2,0)，若x轴上点Q到点P的距离为2，则点Q坐标为() A(0,0) B(4,0) C(0,0)或(4,0) D以上都不对 答案C 解析当点Q在点P的左边时，得Q(0,0)；当点Q在点P的右边时，得Q(4,0) 3如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值() A只有1个 B可以有2个 C有2个以上，但有限 D有无数个 答案B 4(2010德州)已知三角形的三边长分别为3、4、5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是() A0, 1, 2, 3 B0, 1, 2, 4 C0, 1, 2, 3, 4 D0, 1, 2, 4, 5 题型分类 深度剖析 题型一三角形问题的分类讨论 【例 1】直角三角形的两条边长分别是6和8，那么这个三角形的内切圆半径等于_ 探究提高解答的关键是要注意题设中的“两条边长”，可以是“一条直角边，另一条也是直角边”或者是“一条直角边，另一条是斜边” 知能迁移1已知一个等腰三角形的边长是x26x80的根，则这个三角形的周长等于_ 答案6或10或12 解析x26x80的两根为x12，x24，三角形的周长等于2226或44412或44210. 题型二圆相关的分类讨论 【例 2】(2008南京)如图，已知 O的半径为6 cm，射线PM经过点O，OP10 cm，射线PN与 O相切于点Q.A、B两点同时从点P出发，点A以5 cm/s的速度沿射线PM方向运动，点B以4 cm/s的速度沿射线PN方向运动设运动时间为t (s) (1)求PQ的长； (2)当t为何值时，直线AB与 O相切？图1图2 探究提高本题(2)中直线AB与 O相切有两种情况，一种在 O的左边与AB相切，一种在 O的右边与AB相切. 知能迁移2已知：点O到ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OBOC. (1)如图1，若点O在BC上，求证：ABAC； (2)如图2，若点O在ABC的内部，求证：ABAC； (3)若点O在ABC的外部，ABAC成立吗？请画图表示图图1 1图图2 2 解(1)过点O分别作OEAB，OFAC，E、F分别是垂足，由题意知： OEOF，OBOC， RtOEB RtOFC， BC， ABAC. (2)过点O分别作OEAB，OFAC，E、F分别是垂足，由题意知， OEOF，OBOC， RtOEB RtOFC， OBEOCF. OBOC， OBCOCB， ABCACB， ABAC. (3)不一定成立(注：当A的平分线所在的直线与边BC的垂直平分线重合 时，有ABAC，否则ABAC)题型三相似三角形中的分类讨论 解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！ 探究提高本题有一定的难度，分类的情况比较复杂，解题时要多读试题，首先确定分类的方向，理解解题思路，做到胸有成竹，而不要急于下笔 知能迁移3(2010莆田)如图1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EMBD垂足为M，ENCD，垂足为N. (1)当ADCD时，求证：DEAC； (2)探究：AD为何值时，BME与CNE相似？ (3)探究：AD为值时，四边形MEND与BDE的面积相等？ 解(1)证明：ADCD， DACDCA， BDC2DAC. 又DE是BDC的平分线， BDC2BDE， DACBDE， DEAC.题型四函数问题的分类讨论 探究提高本题中，动点E随时间t的变化而位于不同的位置，重叠部分的面积S在t的取值范围内，存在着不同的对应关系，因而有不同的函数关系式答题规范 14分类讨论不重复、不遗漏 考题再现求出所有满足|ab|ab|1的整数对(a，b) 学生作答 解：根据绝对值的非负性和a、b均为整数， 讨论|ab|0且|ab|1的情况， 得到满足条件的整数对(a，b)共有(0,1)，(0，1)，(1,0)，(1,0)四对 老师忠告 1. 分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法之一，在研究此类问题的解法时，需认真审题，全面考虑，对可能存在的各种情况进行讨论，做到不重、不漏、条理清晰 2. 分类讨论的一般步骤：确定分类对象；进行合理分类；逐类进行讨论；归纳作出结论. 思想方法 感悟提高 方法与技巧 1. 分类讨论的一般步骤： (1)确定讨论的对象和讨论的范围； (2)确定分类的标准并进行合理分类； (3)逐级讨论并总结概括得出结论分类讨论解题的关键是如 何正确进行分类 2. 分类讨论的原则： (1)分类的每一部分是相互独立的； (2)一次分类按一个标准(不重复，不遗漏)； (3)分类讨论应逐级进行 失误与防范 1应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一、不重复、不遗漏，并力求最简运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答 2分类讨论应当遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清层次，不越级讨论，其中最重要的一条是“不漏不重” 3分类讨论的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)；再对各个分类逐步进行讨论，分层进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论完成考点跟踪训练44
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