科学计算PPT课件

定义定义3.2.1 设设 ，为一复数，如下形式的矩阵为一复数，如下形式的矩阵nCvu,HuvIvuE),(称为称为初等矩阵初等矩阵( (elementary matrix).).3.2 初等矩阵初等矩阵1. 初等矩阵的定义和性质初等矩阵的定义和性质第1页/共82页使得和可适当选取对任意非零向量vuCban,)4(bavuE),( 定理定理3.2.1 初等矩阵初等矩阵E(u,v,)具有如下性质：具有如下性质：;1),(det()2(uvvuEH矩阵也是初等矩阵可逆，并且其逆，则如果),(1)3(vuEuvH),(),(1vuEvuE.1uvH其中);1() 1(),(det() 1 (1uvvuEIHn第2页/共82页矩阵的初等变换矩阵的初等变换 下列三种变换称为矩阵的初等变换：（1） 交换矩阵的两行（列）；（2） 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 k ；（3） 矩阵某一行（列）的 倍加到另一行（列）。k 线性代数中的初等矩阵线性代数中的初等矩阵 对单位矩阵施行一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵。第3页/共82页rowjthrowithjiP1101111011),(（1 1）交换单位矩阵的第）交换单位矩阵的第i, j行（列）行（列）( , )P i j称为初等交换矩阵。称为初等交换矩阵。第4页/共82页11( ( )11P i kithrowk （2 2）用）用k k乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第i i行（列）行（列）第5页/共82页11( , ( )11ithrowkP i j kjthrow （3 3） 将单位矩阵的第将单位矩阵的第j j行（第行（第i i列）的列）的k k倍加到第倍加到第i i行（第行（第j j列）列）第6页/共82页初等矩阵的性质初等矩阵的性质：),(),(1jiPjiP11( ( )( (),P i kP i k1( , ( )( , ().P i j kP i jk 初等矩阵都是可逆的，并且初等矩阵都是可逆的，并且第7页/共82页初等矩阵的作用初等矩阵的作用：( , ):P i j A( ( ):P i kA( , ( ):P i j kA交换矩阵交换矩阵A A的第的第i, ji, j行；行；交换矩阵交换矩阵A A的第的第i, ji, j列；列；( , ):AP i j( ( ):AP i k用用k k乘矩阵乘矩阵A A的第的第i i行；行；用用k k乘矩阵乘矩阵A A的第的第i i列；列；( , ( ):AP i j k将矩阵将矩阵A A的第的第j j行的行的k k倍加到第倍加到第i i行；行；将矩阵将矩阵A A的第的第i i列的列的k k倍加到第倍加到第j j列。列。第8页/共82页特殊的初等矩阵特殊的初等矩阵 例例3.2.13.2.1 初等矩阵 P(i, j) = E(ei-ej, ei-ej , 1)。例例3.2.2 3.2.2 初等矩阵 P(i(k) = E(ei, ei , 1-k)。例例3.2.3 3.2.3 初等矩阵 P(i, j(k) = E(ei, ej , -k)。第9页/共82页2.2.初等下三角矩阵初等下三角矩阵，则令1,), 0 , 0(, 1iTniiiievlllu) 1 ,()(iiiiielElLL称为初等下三角矩阵初等下三角矩阵(elementary triangular matrix) ), 即1010101)(, 1iniiTiiiiillelIlLL第10页/共82页(3) 当i j 时，有10100101)()(, 1, 1njjjniiiTjjTiijjiillllelelIlLlL;1)det() 1 (iL初等下三角矩阵具有如下性质：初等下三角矩阵具有如下性质：;)() 1,()2(1iiiiilLelEL第11页/共82页 用初等下三角矩阵用初等下三角矩阵 Li 左乘一个矩阵左乘一个矩阵 A，等于，等于从从A的第的第 k 行减去第行减去第 i 行乘以行乘以 。 对于对于 ，如果，如果 ，取，取), 1(niklki)(ijaA0ijanikaalijkjki, 1,.),( ,), 1(Li这就是消去法的一步元素全为零的则jnjiA第12页/共82页3. HouseholderHouseholder矩阵矩阵HwwIwwEwH2)2 ,()(称为Householder矩阵矩阵或初等初等Hermite矩阵矩阵(elementary Hermitian matrix)。 取u = v = w, =2，并且w是单位向量，即|w| =1，初等矩阵第13页/共82页并且若上述条件成立，则使H(w)a = b 成立的单位向量w可取为,)(babaewi其中为任一实数。定理定理3.2.2 Householder矩阵H(w)具有如下性质：;1)(det() 1 (wH;)()()()2(1wHwHwHH的充分必要条件是使得则存在单位向量且设bawHwbaCban)(,)3(,abbabbaaHHHH第14页/共82页111arg1111(,)0, ,0,0 ()/, ( ).TniaaaaaaeawaeaeH w ae对令 则第15页/共82页111( , )111ithrowcsG i jscjthrow 4. Givens 矩阵矩阵( , )G i j称为称为Givens矩阵矩阵, 其中其中 22, | |1.c sCcs且第16页/共82页212212( ,)0, |,| ( , ), (, ),|,0.|TnijjiiiijijnikkiijjixxxxxxxxcsxxxxxyG i j xyyxyxki jyxxyx2222 对若|0,令 |则其中|第17页/共82页定义定义3.3.1 设设V是数域是数域P上的线性空间，上的线性空间，|是以是以V中中的向量的向量为自变量的非负实值函数，如果它满足以为自变量的非负实值函数，如果它满足以下三个条件下三个条件：；时时，当当时时非非负负性性：当当00; 0,0)1( ；有有齐齐次次性性：对对任任意意 kkVPk ,)2(,)3( 有有三三角角不不等等式式：对对任任意意V则称则称|为向量为向量的的范数范数(norm)，并称定义了范数的，并称定义了范数的线性空间为线性空间为赋范线性空间赋范线性空间(normed linear space)。3.3 向量与矩阵范数向量与矩阵范数 1. 向量范数向量范数第18页/共82页 对赋范线性空间对赋范线性空间V中任意向量中任意向量，与与 |有有 在赋范线性空间在赋范线性空间V中，由范数可定义两点间的距离。中，由范数可定义两点间的距离。 ),(),(,ddV为为之之间间的的距距离离与与定定义义对对任任意意第19页/共82页例例. 上上的的向向量量范范数数。都都是是令令对对中中在在线线性性空空间间nppnipipininiiniinTnnCpxxxxpxxxxxxxxCxxxC)1(,1, ;max;,),(,2111121122111 第20页/共82页可以证明：可以证明：.lim,1),(1 xxCxpCxxxppnpnTn并且并且上的向量范数上的向量范数是是及及对任意向量对任意向量第21页/共82页例例. 在线性空间在线性空间Ca, b中，对任意中，对任意,)(baCxf 1222 , max( ) , ( )bxa baff xff xdx令2,ff则则 都是都是 f(x) 的范数。的范数。第22页/共82页定义定义3.3.2Vddbab ,21.是是等等价价的的与与则则称称ba 12,abVd d设是线性空间 上定义的两种向量范数 如果存在两个与无关的正常数使得向量范数的等价具有自反性、对称性和传递性向量范数的等价具有自反性、对称性和传递性。第23页/共82页可以证明：可以证明：定理定理3.3.1 有限维线性空间有限维线性空间V V 上任意两个向量范数都是等价的上任意两个向量范数都是等价的。例如，对任意的向量例如，对任意的向量 ，容易证明：，容易证明：nxC1xxn x212xxn x2xxn x第24页/共82页定义定义3.3.3记为记为的极限的极限称为称为并且向量并且向量的的是是量序列量序列则称向则称向都有极限都有极限一个分量一个分量的每的每时时如果当如果当其中其中中的向量序列中的向量序列是是设设,),(, ), 2 , 1(,.),(,)(1)()()()()(1)()(kTnkikikTknkknkxxxxxnixxxkxxxCx 收 敛xxkk )(lim不收敛的向量序列称为发散的。不收敛的向量序列称为发散的。第25页/共82页向量序列的收敛性具有如下性质向量序列的收敛性具有如下性质。则则若若常数常数是复是复中两个向量序列中两个向量序列是是设设,lim,lim.,)()()()(yyxxCAbaCyxkkkknmnkk ;)(lim)1()()(byaxbyaxkkk .lim)2()(AxAxkk . 0, )()(收敛于收敛于数列数列范数范数必要条件是对任一向量必要条件是对任一向量的充分的充分向量向量收敛于收敛于中向量序列中向量序列xxxxCkkn 定理定理3.3.2第26页/共82页定义定义3.3.4 设设|A|是以是以Cmn中的矩阵中的矩阵A为自变量的为自变量的非负实值函数，如果它满足以下三个条件非负实值函数，如果它满足以下三个条件：; 0,0; 0,0:)1( AAAA时时当当时时当当非负性非负性;,:)2(AkkACACknm 有有对任意对任意齐次性齐次性.,:)3(的范数的范数矩阵矩阵为为则称则称有有对任意对任意三角不等式三角不等式AnmABABACBAnm BABACBAnm |,有有对任意对任意2. 2. 矩阵范数矩阵范数（Matrix Norms)Matrix Norms)第27页/共82页例例. 导出的矩阵范数。导出的矩阵范数。上的内积上的内积它是由它是由范数范数的的矩阵矩阵称为称为的范数。的范数。都是矩阵都是矩阵和和，则则令令对对nmHnmFFHminjijFijjiminjijnmijCBAABtrBACFrobeniusAAAAAAAAtraAaAaACaA ,)(),(,)(|; |max; |,)(12121112,111第28页/共82页使得使得与与有关的正数有关的正数在仅与在仅与则存则存上的矩阵范数上的矩阵范数是是与与设设,21ddCnm nmCAAdAAd ,21 定理定理3.3.3由定理由定理3.3.1即得矩阵范数等价性定理即得矩阵范数等价性定理。第29页/共82页如果如果上的矩阵范数上的矩阵范数和和分别是分别是和和设设,kmknnmCCC 定义定义3.3.5knnmCBCABAAB , 满足满足的矩阵范数的矩阵范数上上如果如果特别地特别地是相容的是相容的和和则称则称 nnC,., nnCBABAAB ,.,或简称相容范数或简称相容范数是自相容的矩阵范数是自相容的矩阵范数则称则称 3 3. .相容矩阵范数相容矩阵范数Compatible Matrix Norms)Compatible Matrix Norms)第30页/共82页.,相容的向量范数相容的向量范数上存在与上存在与则在则在上的相容矩阵范数上的相容矩阵范数是是设设 nnnCC定理定理3.3.4定理定理3.3.5有有对任意对任意则则上的任一相容矩阵范数上的任一相容矩阵范数是是设设,nnnnCAC )(,AAii 第31页/共82页为矩阵为矩阵A A的谱半径的谱半径. .定义定义3.3.6 3.3.6 设设 ，其特征值，其特征值 ，称，称n nAC1,n( )AA1( )maxii nA 由定理由定理3.3.5知知第32页/共82页,nC设是上向量范数 则点集1| xCxn.中中的的有有界界闭闭集集是是nC,.mm nnCACAxxC 设是上向量范数则是的连续函数4 4. .算子范数算子范数（Induced Matrix Norms)Induced Matrix Norms)第33页/共82页令令对对范数范数上的两个向量上的两个向量和和分别是分别是与与设设,nmnmCACC AxAx1,max .,相容相容和和并且并且上的矩阵范数上的矩阵范数是是则则vvnmvC 定理定理3.3.6第34页/共82页定义定义3.3.7,1, max,.mnm nxm nCCAAxACC 设与分别是和上的向量范数 由定义的非负实值函数称为上的算子范数或称为由向量范数和导出的矩阵范数第35页/共82页则则和和上的算子范数上的算子范数与与分别定义分别定义如果按如果按向量范数向量范数上的上的与与分别是分别是与与设设,max,max,max,1,1,1, kmknnmkmxknxnmxknmCCCCCCxCCBBxBCAAxACCCknnmCBCABAAB , 定理定理3.3.7第36页/共82页定理定理3.3.8即即是相容矩阵范数是相容矩阵范数导出的矩阵范数导出的矩阵范数向量范数向量范数上由上由则在则在上的向量范数上的向量范数是是设设, nnnCCnnCBABAAB ,AxCACxnnn1maxA . ,., 导出的矩阵范数记为导出的矩阵范数记为由向量范数由向量范数对对，上的同一向量范数上的同一向量范数为为若若 第37页/共82页,1(1,2,),:max(1,2,).3.7pmnkpm nn km kppp ppxpCCCCCCAAAxp设是或或上的向量范数可定义或或上的算子范数，则由定理3， 得knnmpppCBCABAAB ,第38页/共82页例例. 通常将通常将|A|1叫做叫做A的的列和范数列和范数， |A|2叫做的叫做的谱范数谱范数， |A|叫做的叫做的行和范数行和范数。,max11 njijmiaA ;)(21max2AAAH ;max111 miijnjaA则则有有设设,)(nmijCaA 定理定理3.3.9., ,11111221FAAAAA 计算计算设设第39页/共82页22221,.UAVAAAA, ,m nFFACUVmnUAVA设和 分别为 阶和 阶酉矩阵 则定理定理3.3.10第40页/共82页定义定义3.3.8即即限限都有极都有极的每一个元素的每一个元素矩阵矩阵时时如果当如果当设矩阵序列设矩阵序列,)., 2 , 1()()()()()(ijkijknmkijkaaAkkCaA njmiaaijkijk 1,1,lim)( 记为记为收敛于收敛于或称或称的极限的极限称为称为矩阵矩阵是收敛的是收敛的则称矩阵序列则称矩阵序列,)(,)()()(AAACaAAkknmijk )(lim)()( kAAAAkkk或或5.5.矩阵序列矩阵序列(Sequences of Matrices)(Sequences of Matrices)第41页/共82页( ),m nm nkCCAA设是上的任一矩阵范数中矩阵序列收敛于矩阵 的充分必要条件是定理定理3.3.110lim)( AAkk第42页/共82页关于矩阵序列的极限运算有如下性质关于矩阵序列的极限运算有如下性质: 则则且且中矩阵序列中矩阵序列是是,lim,lim,)1()()()()(BBAACBAkkkknmkk bBaAbBaAkkk )(lim)()(.,是是常常数数其其中中Cba 则则并且并且中矩阵序列中矩阵序列与与分别是分别是与与设设,lim,lim,)2()()()()(BBAACCBAkkkkknnmkk ABBAkkk )()(lim第43页/共82页定理定理3.3.12. 1)(0lim, AACAkknn 条条件件是是的的充充分分必必要要则则设设推论推论3.3.1. 0lim, 1, kknnnnAACCA则则使使相容矩阵范数相容矩阵范数上的一种上的一种如果存在如果存在设设第44页/共82页定理定理 3.3.13,1,n nACAIA设如果则非奇异 且AAI 11)(11(),1AIAIA. 1 ICnn足足上的相容矩阵范数且满上的相容矩阵范数且满是是其中其中第45页/共82页3.4 3.4 三角矩阵与三角形方程组 1. 1. 三角矩阵及其性质 112122120nnnnaaaAaaa 如下形状的矩阵称为下三角矩阵，对角元全为1的下三角矩阵称为单位下三角矩阵。 下三角矩阵具有如下性质：（1）两个下三角矩阵的和、乘积仍是下三角矩阵；（2）下三角矩阵可逆的充分必要条件是其对角元均非零。 当下三角矩阵可逆时，其逆矩阵仍是下三角矩阵；（3）两个单位下三角矩阵的乘积仍是单位下三角矩阵， 并且单位下三角矩阵的逆矩阵仍是单位下三角矩阵。 类似地，讨论上三角矩阵及其性质。第46页/共82页2. 2. 下下三角形方程组的解法 下三角形线性方程组 容易得到其求解递推式 Lyb11112122120,nnnnnnlybllLybyblll11()/,1,2,iiiijjiijybl ylin第47页/共82页算法3.4.1 求解下三角方程组的前推法 for j=1:n-1 b(j)=b(j)/L(j,j); b(j+1:n)= b(j+1:n)-b(j)L(j+1:n,j); end b(n)=b(n)/L(n,n) 算法3.4.1所需要的乘除运算次数 (1)2n n第48页/共82页3. 3. 上上三角形方程组的解法 上三角形线性方程组 容易得到其求解回代式 Uxy11121112220,00nnnnnnuuuxyuuUxyxyu1()/,1,1niiijjiij ixyu xuin n 第49页/共82页算法3.4.2 求解上三角方程组的回代法 for j=n:-1:2 y(j)=y(j)/U(j,j); y(1:j-1)= y(1:j-1)-y(j)U(1:j-1,j); end y(1)=y(1)/U(1,1) 算法3.4.2所需要的乘除运算次数 (1)2n n第50页/共82页3.5 Gauss消去法与矩阵的LU分解思路首先将首先将A化为上三角阵，再回代求解化为上三角阵，再回代求解 。nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211=(0)(0)(0)(0)(0)11121311(1)(1)(1)(1)222322(2)(2)(2)3333(1)(1)000000nnnnnnnnaaaabaaabaabab1.1.Gauss 消元法第51页/共82页步骤如下：第一步：1111(),2,iaiina 第 行第 行nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211111211(1)(1)(1)2222(1)(1)(1)200nnnnnnaaabaabaab乘除运算量：(n-1)(n+1)(n-1)(n+1)第52页/共82页11121311(1)(1)(1)(1)222322(2)(2)(2)3333(2)(2)(2)300000nnnnnnnaaaabaaabaabaab乘除运算量：(n-2)n第二步：(2)2(2)222(),3,iaiina 第 行第 行111211(1)(1)(1)2222(1)(1)(1)200nnnnnnaaabaabaab第53页/共82页乘除运算量： (nk)(nk2)第k步：111211(1)(1)(1)(1)(1)(1)1,1,1(1)(1)(1)0000nkkkkkknkkkkkkknkkkknknnnaaabaabaabaab( )( )k(),1,kikkkkaiikna 第 行第 行111211(1)(1)(1)( )( )( )1,11,1( )( )( ),100000nkkkkkknkkkkkkknkkkkn knnnaaabaabaabaab第54页/共82页11121311(1)(1)(1)(1)222322(2)(2)(2)3333(1)(1)000000nnnnnnnnaaaabaaabaababn n1 1步以后，可得变换后的矩阵消元的乘除运算量：11)2)(nkknkn 如果加上解上述上三角形方程组的乘除运算量(n+1)n/2(n+1)n/2，总的乘除运算量为)(33323nOnnn第55页/共82页如果 ，Gauss消去法的第1步取初等下三角矩阵211111111001,001naaLaa11121(1)(1)222(1)1(1)(1)200nnnnnaaaaaL AAaa2. 矩阵的LU分解 11 1TLIl e其中 ，即110a12111111(0,) ,/(2, )Tniillllaain第56页/共82页如果 ，Gauss消去法的第2步取初等下三角矩阵(1)32(1)222(1)2(1)221000010001,0001naaLaa22 2TLIl e其中 ，即(1)220a(1)(1)23222222(0,0,) ,/(3, )Tniillllaain1112131(1)(1)(1)22232(1)(2)(2)(2)2333(2)(2)300000nnnnnnaaaaaaaL AaaAaa第57页/共82页如果 ，Gauss消去法的第k步取初等下三角矩阵(1)1,(1)(1),(1)1011,001kkkkkkkkn kkkkaLaaaTkkkLIl e其中 ，即(1)0kkka(1)(1)1,(0,0,) ,/(1, )Tkkkkknkikikkkllllaaikn111111(1)(1)(1),1(1)( )( )( )1,11,( )( ),10000kknkkkkkk kknkkkkkkkknkkn knnaaaaaaaL AAaaaa第58页/共82页1112131(1)(1)(1)22232(2)(2)(1)121333(1)000000nnnnnnnnaaaaaaaLL L AaaAUa经过n n1 1步计算，可得记 ，则111121nLL LL21313212,1111,.1nnn nlllLALUlll第59页/共82页 的计算则 和 的前k行元素相同，并且 ( )kA( )kA( )(1)(1)(1)(1)()kkTkkTkkkkkkAL AIl eAAl e A(1)kA( )(1)(1)( ,1, ).kkkijijikkjaal ai jkn 4阶矩阵经过2步计算后，其存贮形式为 11121314(1)(1)(1)21222324(2)(2)31323334(2)(2)41424344aaaalaaallaallaa第60页/共82页算法3.5.1 矩阵的LU分解算法 for k=1:n-1 A(k+1:n,k)= A(k+1:n,k)/A(k,k); A(k+1:n,k+1:n)= A(k+1:n,k+1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n); end Gauss消去法或算法3.5.1能进行到底当且仅当(1)0(1,1).kkkakn问题：矩阵A满足什么条件才能保证所有的主元都不为零？ 第61页/共82页定理3.5.1 算法3.5.1中主元 的充分必要条件是矩阵A的前n-1阶顺序主子式均非零，并且 (1)0 (1,1)kkkakn(0)(1)111111,(2,1).1111kkkkAkaaaknkAk定理3.5.2 设A是n阶矩阵，如果A的前n-1阶顺序主子式均非零，则存在唯一的单位下三角矩阵 L 和上三角矩阵U, 使得 A=LU。 注意：如果A是n阶非奇异矩阵，定理3.5.2的条件也是必要的。 分解式A=LU称为矩阵A的LU分解。第62页/共82页定理3.5.3 设A是n阶矩阵，如果A的前n-1阶顺序主子式均非零，则存在唯一的下三角矩阵 L 和单位上三角矩阵U, 使得 A=LU。 第63页/共82页因为非奇异上三角矩阵 nnnnnnnnuuuuuuuuuu000, 11, 122322113121111011001, 1, 12222223111111311121, 12211nnnnnnnnnnuuuuuuuuuuuuuuuu定理3.5.4 设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的单位下三角矩阵 L， 对角矩阵 和单位上三角矩阵U, 使得 A=LDU的充分必要条件是A的所有顺序主子式均非零，并且 ),(21nddddiagDnkdadkkk, 2,1111其中 表示矩阵A的k阶顺序主子式。 分解式A=LDU称为矩阵A的LDU分解。 k第64页/共82页3.6 主元Gauss消去法Gauss 消元法存在的问题：（1 1）如果矩阵A非奇异，则Ax=b有唯一解。但A非奇异并不能 保证A的所有顺序主子式非零，所以Gauss消去法可能出 现中断（break-down)；（2）如果主元 很小，会引入大的舍入误差，Gauss消去 法是数值不稳定的（unstable）. (1)kkka第65页/共82页例. 解方程组 211021219xxxx/* 精确解为 和 */.1000.00. 1101191 x8个.8999.99. 0212 xx8个用Gauss 消去法计算：9212111/10laa9992221110.0 . 01 101010al 8个92212110bl 999910111011112010100, 112 xx第66页/共82页在第k步消元时，通常采用如下方式选取主元：（1 1）列主元：在 中选择模最大者作为主元； （2）全主元：在 中选择模最大者作为主元 。 (1)(, )kikaiknL(1)( , )kijai jknL在消元过程中必须避免绝对值相对小的数做主元。第67页/共82页 211021219xxxx例. 用列主元Gauss 消去法解方程组解. 21111109 11102119 1102111,112 xx第68页/共82页3.7 三对角线性方程组的追赶法 如下形式的矩阵称为三对角矩阵。如果所有次对角元都不等于零，则称A为不可约三对角矩阵。1122100nnndcadAcad第69页/共82页定理3.7.1 设A是如下不可约三对角矩阵如果A满足以下条件则A非奇异，并且 A的所有顺序主子式非零。1122100nnndcadAcad11(1) | |;(2) | |(2,1);(3) | |,iiinndcdacinda第70页/共82页 如果A是不可约三对角矩阵，且满足定理3.7.1的条件，则由定理3.5.3知，其中11112222110001001000001nnnnnndcadAcad101(2, ),(1,2, ),0/()(1,2,1),iiiiiiiiiiiaindaincdain第71页/共82页求解三对角线性方程组的追赶法如下：(1) 计算 的递推公式(2) 解Ly = b(3) 解Ux = yi1111/,/()(2,1).iiiiicdcdain11111/(2, ),()/()(2, ).iiiiiiiybdinyba ydain1,(1,2,1).nniiiixyxyxinn追赶法的乘除运算次数为5n，存储量为6n .第72页/共82页3.8 对称正定线性方程组的Cholesky分解法 1. Hermite正定矩阵及其性质 . 0,)(, 0; 0,0, 0, AAAxxCxAAAxxxCxHermitenAHnHn记作记作矩阵矩阵半正定半正定为非负定为非负定则称则称都有都有果对任意果对任意如如记作记作为正定矩阵为正定矩阵，则称，则称都有都有且且如果对任意如果对任意矩阵矩阵阶阶是是设设定义定义3.8.1第73页/共82页正定（非负定）矩阵具有如下基本性质正定（非负定）矩阵具有如下基本性质：；单单位位矩矩阵阵0)1( I；则则数数若若0, 0, 0)2( kAkA；则则若若0, 0, 0)3( BABA. 0, 0, 0)4( BABA则则若若1(2)(,)00(1,. )nidiag aaain；1(3)(,)00(1,. )nidiag aaain；第74页/共82页定理定理3.8.1 设设A是是n 阶阶Hermite矩阵，则下列命题等价矩阵，则下列命题等价：(1) A是正定矩阵是正定矩阵；(2) 对任意对任意n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P,PHAP 都是都是Hermite正定正定 矩阵矩阵；(3) A的的n 个特征值均为正数个特征值均为正数；(4) 存在存在n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P使得使得PHAP = I；(5) 存在存在n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵Q使得使得A = QHQ；(6) 存在存在n 阶可逆阶可逆Hermite矩阵矩阵S 使得使得A = S2 ； (8) A的顺序主子式均为正数；的顺序主子式均为正数；(9) A的所有主子式全大于零的所有主子式全大于零;(10) 存在存在n 阶非奇异下三角矩阵阶非奇异下三角矩阵 L 使得使得 .HLLA (7) 存在存在n 阶阶Hermite正定矩阵正定矩阵S 使得使得A = S2 ； 第75页/共82页，则，则正定矩阵，其特征值为正定矩阵，其特征值为阶阶是是设设nHermitenA ,21推论推论3.8.1是正定矩阵；是正定矩阵；1)1( A; 0)2( AQQmnQH列满秩矩阵，则列满秩矩阵，则是任一是任一如果如果;0)3( A. ), 2 , 1()()4(niAtri 第76页/共82页定理定理3.8.2 设设A是是n 阶阶Hermite矩阵矩阵, 则下列命题等价则下列命题等价：(1) A是非负定矩阵是非负定矩阵；(2) 对任意对任意n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵P, PHAP是是Hermite非负定非负定 矩阵矩阵；(3) A的的n 个特征值均为非负数个特征值均为非负数；);(,0004ArankrIAPPPnrH 其中其中使得使得阶可逆矩阵阶可逆矩阵）存在）存在（;)5(QQAQrH 使得使得的矩阵的矩阵存在秩为存在秩为.62SASHermiten 使使得得矩矩阵阵阶阶）存存在在（(7) A的所有主子式均非负的所有主子式均非负。第77页/共82页推论推论3.8.2 ，则，则为为非负定矩阵，其特征值非负定矩阵，其特征值阶阶是是设设nHermitenA ,21; 0)1( AQQmnQH矩阵，则矩阵，则是任一是任一如果如果;0)2( A. ), 2 , 1()()3(niAtri 第78页/共82页2. Cholesky分解法 由定理3.8.1，实对称正定矩阵A可分解为111211111211212222122222121200nnnnnnnnnnnnnnaaallllaaallllAaaallll比较两边对角元21,kkkkppal11221kkkkkkpplal比较两边非对角元11(1, )kikip kpik kkpal ll likn11/(1, )kikikip kpkkplal llikn第79页/共82页算法3.8.1 对称正定矩阵的Cholesky分解算法 for k=1:n-1 A(k,k)=sqrt(A(k,k); A(k+1:n,k)= A(k+1:n,k)/A(k,k); for j=k+1:n A(j:n,j)=A(j:n,j)-A(j:n,k)*A(j,k); end end A(n,n)= sqrt(A(n,n) 算法3.8.1所需四则运算的次数为313n第80页/共82页解对称正定线性方程组的解对称正定线性方程组的Cholesky分解法如下：分解法如下：(1) 用算法用算法3.8.1计算计算A的的Cholesky分解分解(2) 用算法用算法3.4.1解下三角形方程组解下三角形方程组 Ly = b；(3)用用算法用用算法3.4.2解上三角形方程组解上三角形方程组;TALL.TL xy第81页/共82页感谢您的观看！第82页/共82页