微积分 差分方程

差分方程对连续型变量而言，我们常常导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致另一类的问题.一、差分的定义 定义 设是一个函数, 自变量从x变化到x+1, 这时函数的增量记为, 我们趁这个量为在点x步长为1的一阶差分,简称为的一阶差分. 为了方便我们也记,即 .称为二阶差分,简记为.同样记为,并称为三阶差分.一般记,称为n阶差分.且有.性质: 当a,b,C是常数, yx和zx 是函数时,(1) (C)=0;(2) (Cyx)= C(yx);(3) (ayx+ b zx)= ayx+ b zx ;(4) (yx zx)= zx+1yx+yx zx = yx+1zx+zx yx;(5) .例已知求(yx). 解 (yx)= .特别, 当n为正整数时, (yx)= , 阶数降了一阶.推论 若m, ,n为正整数时, m, n P(x)为n次多项式,则.例已知求(yx).解 (yx)= .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。 它的一般形式为或，其中F, G是表达式，x是自变量. 使等式成立自变量的取值范围称为该方程的定义域. 的方程，也称为n阶差分方程. n为方程的阶. 形如 （14-7-1）称为n阶线性差分方程. 时为齐次的. 为非齐次的.差分方程是含有未知函数及其导数的方程, 满足该方程的函数称为差分方程的解对于一阶差分方程来说，它的含有一个任意常数的解，称为此微分方程的通解一般来说，对于n阶差分方程，其含有n个互相独立的任意常数的解称为差分方程的通解不含有任意常数的解称为差分方程的特解同微分方程一样椰油初值问题. 初值条件也有如下情形: 一阶的如: .二阶的如: ,等等.对于线性差分方程的解的结构有如下结论.定理 如果和都是方程（14-7-1）的解，则对任意常数C1, C2, 也是方程（14-7-1）的解定理 设 ，是的n个线性无关的特解，则是它的通解.定理 设 ，是齐次方程的n个线性无关的特解，是非齐次方程的一个特解,则是非齐次方程的通解.定理 设，是方程 的解，是方程 的解,则是方程的解. 本书着重研究一阶和二阶常系数的差分方程. 三、一阶常系数的差分方程 一阶常系数的差分方程是 (常数p0).（a）当，设是其齐次方程的解, 即 ,所以 r=p . 那么有通解(C为任意常数)例 求差分方程的通解.解 事实上原方程是所以其通解为 (C为任意常数).（b）当，用待定系数法求其特解. (i) 如果(n次多项式),则非齐次方程为 .若 p=1, 即 , 那么可以是n+1次多项式.,相减时常数项和最高次数相被消去, 所以可以设, 代入方程后,比较系数确定便得到一个特解.若 p1, 最高次数相不可能被消去, 所以可以设有特解, 同样代入方程后,比较系数确定便得到一个特解.(ii) 如果(是n次多项式,是常数),则非齐次方程为 .为了求之一个特解,分两步: 第一步, 令 ,代入方程得 ,它等价于. 第二步, 用(i)的方法.总之,对这种情况,可以直接设其特解为,其中当p时, s=0 , 当p=时, s=1 . 例 求差分方程 的通解.解 显然其齐次方程的通解为(C为任意常数). 设其特解为, 所以有, 从而得b=-7.因此,原方程的通解为.四、二阶常系数的差分方程 这里讨论的是这样的方程: (p ,q是常数). 先给结论 .定理 是方程 (16-7-2)的解的充分必要条件r为方程 (16-7-3)的根 (读者自己证明). (16-7-3)称为原方程的特征方程. 下面分步讨论.（a）当，如果 , 即其特征方程有两个不同实根,记为. 注意到是线性无关的, 所以(16-7-2)有通解, (是任意常数). 如果, 即其特征方程有两个相同实根,记为.,可以验证是(16-7-2)的线性无关的特解. 所以(是任意常数)是(16-7-2)的通解. 如果 ,因 p, q是实数, 即其特征方程有两互为共轭的复根, 记为,记为 . 可以验证是(16-7-2)的线性无关的特解. 所以(是任意常数)是(16-7-2)的通解 .例 求的通解.解 其特征方程, 有根 -1, -3 . 原方程有通解 (是任意常数) 例 求的通解. 解 其特征方程, 有根 -2i, 2i . 原方程有通解, (是任意常数). （a）当，同一阶相似,只要求其一个特解即可. (i) 如果(n次多项式),注意到可以写成 .若, 令特解为.若,令特解为.若,令特解为.将特解代入原方程,再比较系数确定便得到一个特解. 例 求的通解.解 前例已知其齐次的通解,故只需求一个特解.令,代入的,所以它的通解为, (是任意常数).(ii) 如果(是n次多项式,是常数),则非齐次方程为 .可以直接设其特解为,其中当不是其特征方程的根时, s=0 , 当是其特征方程的单根时, s=1 ; 当是其特征方程的重根时, s=2. 例 求的通解.解 令, , 所以, 所以其通解, (是任意常数).习题 14-71求下列函数的一阶和二阶差分 1）； 2）； 3）； 4）； 5）。2求下列差分方程的特解 1）； 2）； 3）； 4）；3求下列差分方程的通解 1）； 2）； 3）； 4）； 4求下列差分方程的通解和特解 1）； ；2）；3）； 4）；.