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考点二十坐标系与参数方程 解答题1在直角坐标系xOy中，直线l：yx，圆C：(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l与圆C的极坐标方程；(2)设直线l与圆C的交点为M，N，求CMN的面积解(1)将C的参数方程化为普通方程，得(x1)2(y2)21，xcos，ysin，直线l的极坐标方程为(R)，圆C的极坐标方程为22cos4sin40.(2)将代入22cos4sin40，得2340，解得12，2，|MN|12|，圆C的半径为1，CMN的面积为1sin.2已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t是参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 4cos.(1)求曲线C1的普通方程及曲线C2的直角坐标方程并说明各曲线名称；(2)判断曲线C1与曲线C2的位置关系？若相交，求出弦长解(1)由消去t得x2y30，所以曲线C1的普通方程为x2y30，是斜率为的直线由4cos两边同乘以得24cos，所以x2y24x，配方得(x2)2y24，即曲线C2的普通方程为(x2)2y24，是以(2,0)为圆心，2为半径的圆(2)由(1)知，曲线C2：(x2)2y24的圆心为(2,0)，半径为2，由点到直线的距离公式得，圆心(2,0)到直线x2y30的距离为d0，设方程的两根是t1，t2，则t1t2，t1t2，所以AB|t1t2| .故直线l与曲线C相交所得的弦AB的长为.4(2019全国卷)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，)，弧，所在圆的圆心分别是(1,0)，(1，)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|，求P的极坐标解(1)由题设可得，弧，所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin，2cos，所以M1的极坐标方程为2cos，M2的极坐标方程为2sin，M3的极坐标方程为2cos.(2)设P(，)，由题设及(1)知若0，则2cos，解得；若，则2sin，解得或；若，则2cos，解得.综上，P的极坐标为或或或.5(2019河南洛阳第三次统考)已知极点与坐标原点O重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：2sin上任一点，点P满足3.设点P的轨迹为曲线Q.(1)求曲线Q的平面直角坐标方程；(2)已知曲线Q向上平移1个单位后得到曲线N，设曲线N与直线l：(t为参数)相交于A，B两点，求|OA|OB|的值解(1)设P(，)，3，点M的极坐标为，代入曲线C，得2sin，即曲线Q的极坐标方程为6sin，26sin，x2y26y，x2(y3)29，曲线Q的平面直角坐标方程为x2(y3)29.(2)曲线Q向上平移1个单位后得到曲线N的方程为x2(y4)29.l的参数方程化为两方程联立得t24t70，t1t24，t1t27，|OA|OB|t1|t2|t1t24.6(2019全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cossin110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解(1)因为11，且x2221，所以C的直角坐标方程为x21(x1)，l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，0)在曲线C：4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当0时，求0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程解(1)因为M(0，0)在曲线C上，当0时，04sin2.由已知得|OP|OA|cos2.设Q(，)为l上除P外的任意一点连接OQ，在RtOPQ中，cos|OP|2.经检验，点P在曲线cos2上，所以，l的极坐标方程为cos2.(2)设P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因为P在线段OM上，且APOM，所以的取值范围是.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos，.2在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的方程为(x2)2(y1)25.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线l及圆C的极坐标方程；(2)若直线l与圆C交于A，B两点，求cosAOB的值解(1)由直线l的参数方程得，其普通方程为yx2，直线l的极坐标方程为sincos2.又圆C的方程为(x2)2(y1)25，将代入并化简得4cos2sin，圆C的极坐标方程为4cos2sin.(2)将直线l：sincos2，与圆C：4cos2sin联立，得(4cos2sin)(sincos)2，整理得sincos3cos2，或tan3.不妨记点A对应的极角为，点B对应的极角为，且tan3.于是，cosAOBcossin.3(2019湖北4月调研)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(是参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)若射线与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|OB|取最大值时tan的值解(1)由得x22xy20，将代入得2cos，故曲线C1的极坐标方程为2cos.由4sin得24sin，将代入得x2y24y，故曲线C2的直角坐标方程为x2y24y0.(2)设点A，B的极坐标分别为(1，)，(2，)，将分别代入曲线C1，C2的极坐标方程得12cos，24sin，则|OA|OB|2cos4sin22sin()，其中为锐角，且满足sin，cos，当时，|OA|OB|取最大值，此时，tantan.4已知直线l的参数方程为(t为参数，00得|sin|.又0，所以的取值范围是.(2)由(1)中的(*)可知2sin，代入得整理得P1P2中点M的轨迹的参数方程为.5在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数，00，得a0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由|PA|2|PB|得|t1|2|t2|，即t12t2或t12t2，当t12t2时，解得a；当t12t2时，解得a，综上，a或.
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