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考点十三角恒等变换与解三角形一、选择题1(2019全国卷)已知，2sin2cos21，则sin()A. B. C. D.答案B解析由2sin2cos21，得4sincos2cos2.又，tan，sin.故选B.2(2019辽宁丹东质量测试二)若tan3，则sin2cos2()A. B C1 D3答案A解析因为tan33tan2，所以sin2cos2，故选A.3(2019湖北4月调研)已知sinxcosx，则cos()A. B. C. D.答案B解析由sinxcosx，得2sin，所以cossin，故选B.4(2019山西吕梁阶段性测试一)已知ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若2cosB，则该三角形一定是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案A解析由2cosB得2，即c2b2，bc，ABC为等腰三角形，故选A.5(2019湖南湘东五校联考)已知sin()，sin()，则log 2等于()A2 B3 C4 D5答案C解析因为sin()，sin()，所以sincoscossin，sincoscossin，所以sincos，cossin，所以5，所以log 2log 524.故选C.6如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A. B. C. D.答案D解析根据题意可设此三角形的三边长分别为2t,2t，t，由余弦定理得它的顶角的余弦值为.7在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，则()A. B. C. D.答案B解析由a，b，c成等比数列得b2ac，则有a2c2b2bc，由余弦定理得cosA，故A，对于b2ac，由正弦定理得，sin2BsinAsinCsinC，由正弦定理得，.8(2019山东栖霞模拟)设锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，B2A，则b的取值范围为()A(0,4) B(2,2)C(2，2) D(2，4)答案C解析a2，B2A，02A，AB3A，3A，A，又0A，cosA，由正弦定理得b2cosA，即b4cosA，24cosA2，则b的取值范围为(2，2)，故选C.二、填空题9(2019吉林联合模拟一)已知sin10mcos102cos40，则m_.答案解析由sin10mcos102cos40得sin10mcos102cos(1030)2，所以m.10(2019江西景德镇第二次质检)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m2sin18.若m2n4，则_.答案2解析因为m2sin18，m2n4，所以n4m244sin2184cos218，所以2.11(2019河南八市重点高中模拟)已知点(3，a)和(2a,4)分别在角和角45的终边上，则实数a的值是_答案6解析由题得tan，tan(45)，所以a25a60，解得a6或1，当a1时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，舍去，所以a6.12(2019华南师大附中一模)在ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，ac3，cosB，则_.答案解析因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.又因为ac3，cosB.根据余弦定理得b2a2c22accosB(ac)22ac2accosB，所以ac322acac，解得ac2，所以cacos(B)accosB2.三、解答题 13(2019河北保定二模)已知ABC中，A，cosB，AC8.(1)求ABC的面积；(2)求AB边上的中线CD的长解(1)cosB，且B(0，)，sinB，sinCsin(AB)sin(AB)sinAcosBcosAsinB，在ABC中，由正弦定理得，即，解得AB7.所以ABC的面积为SABACsinA7828.(2)解法一：在ACD中，AD，所以由余弦定理得CD282228，所以CD.解法二：因为cosB，A，C为锐角，故cosC.2，4|2()2|22|26428550130，所以CD.14(2019河南郑州第三次质量检测)在ABC中，AB2，AC，AD为ABC的内角平分线，AD2.(1)求的值；(2)求角A的大小解(1)在ABD中，由正弦定理得，在ACD中，由正弦定理得，sinADBsinADC，AC，AB2，2.(2)在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcos168cos，在ACD中，由余弦定理得CD2AC2AD22ACADcos74cos，所以4，解得cos，又，即A.一、选择题1在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，A60，a4，b4，则B()AB30或B150 BB150CB30 DB60或B150答案C解析A60，a4，b4，sinB，ab，B60，B30，故选C.2(2019江西新八校第二次联考)我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S，若a2sinC2sinA，(ac)26b2，则用“三斜求积”公式求得ABC的面积为()A. B.C. D1答案A解析a2sinC2sinA，a2c2a，即ac2，又(ac)26b2，a2c22ac6b2，即a2c2b262ac642，则ABC的面积为 ，故选A.3(2019湖北黄冈元月调研)已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，已知C45，c，ax，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是()A.x1 B.x2C1x2 D1x答案B解析在ABC中，由正弦定理得，即，可得sinAx，由题意得当A时，满足条件的ABC有两个，所以x1，解得x2，则a的取值范围是(，2)，故选B.4若sin2，sin()，且，则的值是()A. B.C.或 D.或答案A解析因为，所以2，又sin2，所以2，所以cos2.又，所以，故cos()，所以cos()cos2()cos2cos()sin2sin()，又，故，选A.5(2019河北邯郸一模)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知absinC20sinB，a2c241，且8cosB1，则b()A6 B4C3 D7答案A解析因为absinC20sinB，所以由正弦定理得abc20b，所以ac20，又因为a2c241，cosB，所以由余弦定理，得b2a2c22accosB4122036，所以b6.6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足abc643，则()A B.C D答案A解析由已知得b，c，所以cosA.因为cosA，所以.故选A.7(2019闽粤赣三省十校联考)已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，点M在边AC上，且cosAMB，BM，则AB()A4 B2 C. D.答案A解析由正弦定理可知即sinAcosC2sinBcosAcosAsinCsin(AC)2sinBcosA，即sinB2sinBcosAcosAsinA，cosAMBsinAMB，在AMB中，即，解得AB4，故选A.8(2019福建宁德第二次质量检查)如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得ADC67.5，从C点测得ACD45，BCE75，从E点测得BEC60.若测得DC2，CE(单位：百米)，则A，B两点的距离为()A. B2 C3 D2答案C解析根据题意，在ADC中，ACD45，ADC67.5，DC2，则DAC1804567.567.5，则ACDC2，在BCE中，BCE75，BEC60，CE，则EBC180756045，则，变形得BC，在ABC中，AC2，BC，ACB180ACDBCE60，则AB2AC2BC22ACBCcosACB9，则AB3，故选C.二、填空题9已知cossin()，0，则cos_.答案解析依题意得cossin()cossinsincossinsin，sin，coscos12sin2122.10.的值是_答案解析原式.11如图，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB的长为_答案解析在ACD中，cosADC，所以ADC120，所以ADB60.在ABD中，由正弦定理，得，所以AB.12(2019安徽合肥模拟)在锐角ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b，且满足(2ca)cosBbcosA0，则ABC周长的取值范围是_答案(3，3解析由(2ca)cosBbcosA0及正弦定理知(2sinCsinA)cosBsinBcosA0，sinC(2cosB1)0，sinC0，cosB，又B(0，)，B，b，根据正弦定理得，2，ac2sinA2sinC2sin2sinCcosC3sinC2sin，又ABC是锐角三角形，C，C，sin，ac的取值范围是(3，2，ABC周长的取值范围是(3，3三、解答题13(2019河北示范性高中联合体3月联考)在ABC中，3sinA2sinB，tanC2.(1)证明：ABC为等腰三角形；(2)若ABC的面积为2，D为AC边上一点，且BD3CD，求线段CD的长解(1)证明：3sinA2sinB，3a2b，tanC2，cosC，设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得c2a2b22abcosCa2b22acosCb2，即bc，则ABC为等腰三角形(2)tanC2，sinC，则ABC的面积SabsinCa22，解得a2.设CDx，则BD3x，由余弦定理可得(3x)2x2224x，解得x(负根舍去)，从而线段CD的长为.14(2019山西晋城第三次模拟)如图所示，锐角ABC中，AC5，点D在线段BC上，且CD3，ACD的面积为6，延长BA至E，使得ECBC.(1)求AD的值；(2)若sinBEC，求AE的值解(1)在ACD中，SACDACCDsinACD53sinACD6，所以sinACD，因为0ACD90，所以cosACD.由余弦定理得，AD2CD2CA22CDCAcosACD56，得AD2.(2)因为ECBC，所以sinACEsin(90ACD)cosACD.在AEC中，由正弦定理得，即，所以AE.
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